专题11圆的有关性质暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题11圆的有关性质暑假预习讲义 1. 理解对称性：知晓圆兼具轴对称、旋转对称性，以此为基础理解垂径定理由来。 2. 运用垂径定理：牢记定理及推论，结合勾股定理计算弦长、半径、弦心距。 3. 掌握圆心角规律：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者可等量互推。 4. 活用圆周角定理：明白同弧圆周角是圆心角的一半，熟记直径对应直角这一推论，用于角度计算与倒角。 5. 熟知内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 6. 掌握辅助线思路：弦类问题作弦心距，直径题型构造直角三角形。 7. 规避易错要点：垂径推论留意弦不能为直径，等量关系仅限同圆、等圆条件。 8. 培养数学思想：借助方程、分类讨论思想解题，搭建圆性质的知识框架。 预习必备 知识梳理 1.基础相关概念 2.垂径定理及推论 3.弦.弧.圆心角 4.圆周角定理及推论 5.圆内接四边形 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用垂径定理求值 2.由垂径定理求平行弦问题 3.由垂径定理求同心圆问题 4.由垂径定理求解其他问题 5.垂径定理的推论 6.垂径定理的实际应用 7.圆心角概念辨析及简单运算 8.由弧.弦.圆心角关系求解 9.由弧.弦.圆心角关系求证 10.求圆弧的度数 11.圆周角的概念辨析及简单运算 12.圆周角定理 13.同弧或等弧锁定圆周角相等 14.半圆所对的圆周角是直角 15.90的圆周角所对的弦是直径 16.圆内接四边形求角度. 17.求四边形外接圆的直径 强化题型 解答题8题 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称 “知二推三”。 3.垂径定理五大条件（知二推三） 一条直线只要满足下面任意两条，就能推出剩余三条： ① 过圆心（直径 / 半径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对劣弧；⑤ 平分弦所对优弧 ⚠️ 重要限制：当条件为「过圆心 + 平分弦」时，这条弦不能是直径，否则推论不成立。 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点04：圆周角定理及推论（考试高频大题考点） 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角。 判定两点：顶点在圆周；两边都和圆相交。 2. 圆周角定理 知识点05：圆内接四边形 知识点06：清晰区分三类角 角的名称 顶点位置 核心性质 圆心角 圆心 角度 = 所对弧的度数 圆周角 圆周上 角度 = 所对弧度数的一半 圆内接四边形内角 圆周上 对角之和为180 知识点07：高频易错点（老师课堂反复强调） 1.使用垂径定理、弧弦圆心角关系时，忽略「同圆或等圆」前提； 2.平分直径的直径，不能推出垂直，忘记限制条件； 3.混淆圆心角、圆周角顶点位置，判断角类型出错； 4.计算时忘记圆周角是圆心角的一半，直接等量； 5.圆内接四边形做题忘记对角互补，外角等于内对角； 6.优弧、劣弧书写不规范，优弧只用两个字母表示。 题型1.利用垂径定理求值 【典例】如图，于E，，，则的半径为___________． 【跟踪专练1】如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【跟踪专练3】如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 题型2.由垂径定理求平行弦问题 【典例】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【跟踪专练1】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 题型3.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【跟踪专练1】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【跟踪专练2】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4.由垂径定理求解其他问题 【典例】垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 【跟踪专练3】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型5.垂径定理的推论 【典例】平分弦（不是直径）的直径 _______于弦，并且平分 __________． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【跟踪专练3】如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型6.垂径定理的实际应用 【典例】如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B和C，D四点．利用刻度尺量得该纸条宽为，则纸杯的直径为________． 【跟踪专练1】如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【跟踪专练2】如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【跟踪专练1】如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型8.由弧.弦.圆心角关系求解 【典例】如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【跟踪专练2】如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 题型9.由弧.弦.圆心角关系求证 【典例】如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为______．    【跟踪专练1】如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是______．    【跟踪专练2】如图，是的直径，，垂足为点，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型10.求圆弧的度数 【典例】．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 【跟踪专练1】如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 【典例】如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【跟踪专练1】下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 题型12.圆周角定理 【典例】如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【跟踪专练1】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【跟踪专练2】如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 题型13.同弧或等弧锁定圆周角相等 【典例】如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 【跟踪专练1】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型14.半圆所对的圆周角是直角 【典例】如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，为的直径，点，在圆上，且．若，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 题型15.90的圆周角所对的弦是直径 【典例】如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 【跟踪专练1】《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 【跟踪专练2】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型16.圆内接四边形求角度. 【典例】如图，是半圆的直径，，则等于__________． 【跟踪专练1】如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型17.求四边形外接圆的直径 【典例】正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【跟踪专练1】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 2．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 4．如图，A，B，C是上的点，其中，过点B画于点D． (1)求证：． (2)若，，求涂色部分的周长． 5．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 7．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 8．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆的有关性质暑假预习讲义 1. 理解对称性：知晓圆兼具轴对称、旋转对称性，以此为基础理解垂径定理由来。 2. 运用垂径定理：牢记定理及推论，结合勾股定理计算弦长、半径、弦心距。 3. 掌握圆心角规律：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者可等量互推。 4. 活用圆周角定理：明白同弧圆周角是圆心角的一半，熟记直径对应直角这一推论，用于角度计算与倒角。 5. 熟知内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 6. 掌握辅助线思路：弦类问题作弦心距，直径题型构造直角三角形。 7. 规避易错要点：垂径推论留意弦不能为直径，等量关系仅限同圆、等圆条件。 8. 培养数学思想：借助方程、分类讨论思想解题，搭建圆性质的知识框架。 预习必备 知识梳理 1.基础相关概念 2.垂径定理及推论 3.弦.弧.圆心角 4.圆周角定理及推论 5.圆内接四边形 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.利用垂径定理求值 2.由垂径定理求平行弦问题 3.由垂径定理求同心圆问题 4.由垂径定理求解其他问题 5.垂径定理的推论 6.垂径定理的实际应用 7.圆心角概念辨析及简单运算 8.由弧.弦.圆心角关系求解 9.由弧.弦.圆心角关系求证 10.求圆弧的度数 11.圆周角的概念辨析及简单运算 12.圆周角定理 13.同弧或等弧锁定圆周角相等 14.半圆所对的圆周角是直角 15.90的圆周角所对的弦是直径 16.圆内接四边形求角度. 17.求四边形外接圆的直径 强化题型 解答题8题 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称 “知二推三”。 3.垂径定理五大条件（知二推三） 一条直线只要满足下面任意两条，就能推出剩余三条： ① 过圆心（直径 / 半径）；② 垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对劣弧；⑤ 平分弦所对优弧 ⚠️ 重要限制：当条件为「过圆心 + 平分弦」时，这条弦不能是直径，否则推论不成立。 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点04：圆周角定理及推论（考试高频大题考点） 1. 圆周角定义 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫圆周角。 判定两点：顶点在圆周；两边都和圆相交。 2. 圆周角定理 知识点05：圆内接四边形 知识点06：清晰区分三类角 角的名称 顶点位置 核心性质 圆心角 圆心 角度 = 所对弧的度数 圆周角 圆周上 角度 = 所对弧度数的一半 圆内接四边形内角 圆周上 对角之和为180 知识点07：高频易错点（老师课堂反复强调） 1.使用垂径定理、弧弦圆心角关系时，忽略「同圆或等圆」前提； 2.平分直径的直径，不能推出垂直，忘记限制条件； 3.混淆圆心角、圆周角顶点位置，判断角类型出错； 4.计算时忘记圆周角是圆心角的一半，直接等量； 5.圆内接四边形做题忘记对角互补，外角等于内对角； 6.优弧、劣弧书写不规范，优弧只用两个字母表示。 题型1.利用垂径定理求值 【典例】如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 【跟踪专练1】如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       【跟踪专练3】如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 题型2.由垂径定理求平行弦问题 【典例】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 【跟踪专练1】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 【跟踪专练2】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 题型3.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【跟踪专练2】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 题型4.由垂径定理求解其他问题 【典例】垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 【答案】 平分 两条弧 【分析】根据垂径定理的概念即可求解． 【详解】解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：平分；两条弧． 【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，掌握垂径定理的概念是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 【答案】/72度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据垂径定理，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵过点O 作交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 题型5.垂径定理的推论 【典例】平分弦（不是直径）的直径 _______于弦，并且平分 __________． 【答案】 垂直 弦所对的弧 【分析】根据垂径定理的相关推论，即可判断， 本题考查了，垂径定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 故答案为：垂直；弦所对的弧． 【跟踪专练1】如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，圆周角定理，由垂径定理的推理可得，则由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点，则，利用圆周角定理得到，接着计算出的长，则可计算出，从而得到四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积． 即四边形的面积的最大值是1． 题型6.垂径定理的实际应用 【典例】如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B和C，D四点．利用刻度尺量得该纸条宽为，则纸杯的直径为________． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，的长，设cm，由勾股定理构建方程求解． 【详解】解：如图， 设杯口所在圆的圆心为O，CD的中点为M，AB的中点为N，连接OD，OB， 则，且MN过圆心O， ，． 设． ， ， ， 解得，即， ， ∴纸杯的直径为． 故答案为：. 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形． 【跟踪专练1】如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型8.由弧.弦.圆心角关系求解 【典例】如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 【跟踪专练2】如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 题型9.由弧.弦.圆心角关系求证 【典例】如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：．    【跟踪专练1】如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是______．    【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出，即可得出，进而根据得出，即可判断②，根据不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，即可判断④． 【详解】解：∵ ∴ 又∵,则 ∴ ∴，故①正确； 连接，，    ∵， ∴， 又，则， 又 ∴ ∴ ∴垂直平分，故②正确； 当且仅当时，，故③错误， ∵ ∴ ∵ ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，是的直径，，垂足为点，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径，是的弦，且， ， ， 故选：C． 题型10.求圆弧的度数 【典例】．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补）与圆周角定理（圆周角与所对弧度数的关系）．解题关键是通过内接四边形性质找到关联的圆周角，再利用圆周角定理建立弧度数与圆周角的数量关系，从而求出弧的度数． 【详解】解：连接、，如图： 四边形是的内接四边形，， ， 的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 题型11.圆周角的概念辨析及简单运算 【典例】如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【跟踪专练1】下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 题型12.圆周角定理 【典例】如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【答案】/30度 【详解】解：由题意得，， ． 【跟踪专练2】如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 题型13.同弧或等弧锁定圆周角相等 【典例】如图，是的直径，点都在上，若，则的度数是_____． 【答案】/25度 【分析】由直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 【跟踪专练2】如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型14.半圆所对的圆周角是直角 【典例】如图，是的直径，内接于，，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为的直径，点，在圆上，且．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用直径定理和圆周角定理进行求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴半圆的度数为， ∵， ∴的度数为， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 【跟踪专练2】如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 题型15.90的圆周角所对的弦是直径 【典例】如图，在四边形中，是两条对角线，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理及应用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，由，可得四点共圆，从而得到，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的一种使用方法：如图2，在平面内固定两个钉子，，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用一个数学概念或定理解释这种方法的道理：___________________________． 【答案】圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形 【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，理解“圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点到中点的距离等于， “矩”的顶点的运动路线是以线段的中点为圆心，的长为半径的圆， 这种方法的道理：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 【跟踪专练2】如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 题型16.圆内接四边形求角度. 【典例】如图，是半圆的直径，，则等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理和圆内接四边形的性质等知识点，能根据直径所对的圆周角是直角得出是解此题的关键．由直径所对的圆周角为直角可得，由三角形内角和定理求，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 题型17.求四边形外接圆的直径 【典例】正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 解答题 1．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 2．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 3．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 4．如图，A，B，C是上的点，其中，过点B画于点D． (1)求证：． (2)若，，求涂色部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，利用弧、弦、圆心角的关系求解，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合垂径定理得，，结合，得，即可作答． （2）先整理得，把数值代入，进行计算，得，则 ，结合垂直平分，得，证明为等边三角形，再求出弧的长，即可得出涂色部分的周长． 【详解】（1）证明：延长交圆于E． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，， 设， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 得， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴弧的长， ∴涂色部分的周长弧的长 5．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，然后求解，再由圆内接四边形的性质求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵，，，是上的四点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到，又，所以，根据等腰三角形的判定和性质定理证明． 【详解】略． 8．【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析； （2）见解析； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $