专题09圆的有关概念暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题09圆的有关概念暑假预习讲义 1 识记：掌握圆的两种定义，动态旋转定义、静态集合定义；明确圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，熟记圆标准记法⊙O。 2 辨析：分清弦与直径的从属关系，理解直径是过圆心的弦、为圆内最长弦，但普通弦不一定是直径；识别半径、圆心、圆上点基础要素。 3 认知：区分三类圆弧概念，半圆、劣弧、优弧，掌握优弧、劣弧不同书写标注方式，能根据两点快速判断弧的类型。 4 理解：弄懂等圆、同心圆、等弧定义；重点吃透等弧前提条件：必须在同圆或等圆中，弧长与弯曲程度完全一致才可判定为等弧。 5 判定：掌握点与圆的三种位置关系判定方法，通过点到圆心距离d和半径r大小对比：d>r点在圆外、d=r点在圆上、d<r点在圆内。 6 实操：会使用圆规规范画圆，根据指定圆心、半径完成作图；能在圆的图形中精准找出弦、直径、各类圆弧。 7 推理：简单证明“直径是圆中最长的弦”，借助圆内半径相等的性质完成基础几何说理，培养圆相关逻辑推理能力。 8 计算：结合同圆所有半径相等的性质，求解线段长度，解决圆内半径、直径互求基础计算题。 9 避错：规避高频易错点，混淆圆（圆周）与圆面、忽略等弧的同圆/等圆前提、误将优弧只用两个字母标注、判定点与圆位置关系搞反d与r大小。 10 应用：结合车轮、圆桌等生活实例，解释圆结构的优势，利用圆的定义解决简单实际应用题。 11 素养：建立曲线型几何图形认知，区分圆与之前直线型几何的差异，为垂径定理、圆周角等圆章节重难点内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的定义 2.点与圆的位置关系 3.圆相关基础概念 4.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.求小圆绕图形一圈自转圈数 6.判断点与圆的位置关系 7.点与圆的位置关系求半径 8.由半径和圆上两点作圆 9.点与圆上一点的最值问题 强化题型 解答题5题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充拓展概念 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆； 等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。 确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r. “” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 注意： （1） 圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。 （2） “圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3） 确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点04：高频易错点 1.混淆圆周与圆面，数学中 “圆” 仅指外围封闭曲线； 2.等弧必须满足同圆 / 等圆，只长度相等不能判定为等弧； 3.优弧书写只用两个字母，格式错误； 4.圆心不在圆周上，不属于 “圆上的点”； 5.判断点与圆位置关系，分不清d和r的大小关系； 6.认为所有弦都是直径，概念颠倒。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【跟踪专练1】以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【跟踪专练2】如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【跟踪专练3】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 题型3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【跟踪专练1】如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【跟踪专练3】如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】周长为的圆，面积为_______．（取）． 【跟踪专练1】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【跟踪专练2】如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【跟踪专练3】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（   ） A． B． C． D． 题型5.求小圆绕图形一圈自转圈数 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练1】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【跟踪专练2】如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 题型6.判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【跟踪专练1】如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 【跟踪专练3】如图，中，弦的长为，点在上，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 题型7.点与圆的位置关系求半径 【典例】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 【跟踪专练1】已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 题型8.由半径和圆上两点作圆 【典例】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【跟踪专练1】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【跟踪专练2】【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型9.点与圆上一点的最值问题 【典例】已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【跟踪专练1】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【跟踪专练3】如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 2．完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 4．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 5．如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆的有关概念暑假预习讲义 1 识记：掌握圆的两种定义，动态旋转定义、静态集合定义；明确圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，熟记圆标准记法⊙O。 2 辨析：分清弦与直径的从属关系，理解直径是过圆心的弦、为圆内最长弦，但普通弦不一定是直径；识别半径、圆心、圆上点基础要素。 3 认知：区分三类圆弧概念，半圆、劣弧、优弧，掌握优弧、劣弧不同书写标注方式，能根据两点快速判断弧的类型。 4 理解：弄懂等圆、同心圆、等弧定义；重点吃透等弧前提条件：必须在同圆或等圆中，弧长与弯曲程度完全一致才可判定为等弧。 5 判定：掌握点与圆的三种位置关系判定方法，通过点到圆心距离d和半径r大小对比：d>r点在圆外、d=r点在圆上、d<r点在圆内。 6 实操：会使用圆规规范画圆，根据指定圆心、半径完成作图；能在圆的图形中精准找出弦、直径、各类圆弧。 7 推理：简单证明“直径是圆中最长的弦”，借助圆内半径相等的性质完成基础几何说理，培养圆相关逻辑推理能力。 8 计算：结合同圆所有半径相等的性质，求解线段长度，解决圆内半径、直径互求基础计算题。 9 避错：规避高频易错点，混淆圆（圆周）与圆面、忽略等弧的同圆/等圆前提、误将优弧只用两个字母标注、判定点与圆位置关系搞反d与r大小。 10 应用：结合车轮、圆桌等生活实例，解释圆结构的优势，利用圆的定义解决简单实际应用题。 11 素养：建立曲线型几何图形认知，区分圆与之前直线型几何的差异，为垂径定理、圆周角等圆章节重难点内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的定义 2.点与圆的位置关系 3.圆相关基础概念 4.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.求小圆绕图形一圈自转圈数 6.判断点与圆的位置关系 7.点与圆的位置关系求半径 8.由半径和圆上两点作圆 9.点与圆上一点的最值问题 强化题型 解答题5题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充拓展概念 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆； 等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。 确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。 知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， 那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r. “” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 注意： （1） 圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。 （2） “圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3） 确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点04：高频易错点 1.混淆圆周与圆面，数学中 “圆” 仅指外围封闭曲线； 2.等弧必须满足同圆 / 等圆，只长度相等不能判定为等弧； 3.优弧书写只用两个字母，格式错误； 4.圆心不在圆周上，不属于 “圆上的点”； 5.判断点与圆位置关系，分不清d和r的大小关系； 6.认为所有弦都是直径，概念颠倒。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 【详解】解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 【跟踪专练1】以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练3】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【跟踪专练2】如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 题型3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知中最长的弦为14厘米，则此圆半径为_______厘米． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的认识，掌握“直径是圆中最长的弦”是解题的突破口．直径是圆中最长的弦，根据圆的直径是14厘米求解即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，中最长的弦为14厘米， ∴的直径是14厘米． ∴的半径是7厘米． 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图，的半径，是半径上一点（不与点重合），过点作弦，沿把翻折得到，连接、，当弦的长是整数时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念，等边三角形的判定和性质，弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．根据不过原点的弦小于直径，得到，再根据弦的长是整数，得到，则是等边三角形，得到，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的半径， ， 是半径上一点（不与点重合）， ， 弦的长是整数， 弦， 是等边三角形， ， 的长， 的长为， 故选：B 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，作于H．首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题； 【详解】解：连接、、，作于H．    ∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点，，P分别是，，的中点． ∴，，， ∴，， 当是直径时，的值最大，最大值为6， ∴的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 【跟踪专练1】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 【跟踪专练2】如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 【跟踪专练3】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，设半径为，在中，根据勾股定理，得到，即，解得，则该桨轮船的轮子周长为，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， ∴该桨轮船的轮子周长为． 故选D． 题型5.求小圆绕图形一圈自转圈数 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 【跟踪专练1】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 【跟踪专练2】如图1至图5，均作无滑动滚动，，，，均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为c． 阅读理解： 如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周； 如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点B处，必须由的位置旋转到的位置，绕点B旋转的角，在点B处自转周． 实践应用： (1)在阅读理解的（1）中，若，则自转_______周；若，则自转_______周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转_______周；若，则在点B处自转________周； (2)如图3，，．从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转_______周． 【答案】(1)2；；； (2) 【分析】此题主要考查三角形外角的性质，圆的基本性质，阅读理解能力，也是一道探索规律题，找准规律是关键． （1）读懂题意，套公式易得若，则自转2周；若，则自转周．在阅读理解的（2）中，若，则在点B处自转周；若，则在点B处自转周． （2）因，，则自转周． 【详解】（1）解：由阅读材料①可知：若，则自转周数（周）； 若，则自转周数为（周）． 由阅读材料②可知：若，则在点B处自转周数（周）； 若∠ABC=60°，则在点B处自转周数（周）． 故答案分别为：2；；；． （2）解：∵，， ∴自转（周）． 故答案为：． 题型6.判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【跟踪专练1】如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：连接，如下图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， 在直角中，， ∴， 由图可知，的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，弦的长为，点在上，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，正确求出是解题关键．根据圆周角定理得到，根据垂径定理求出，即可得出，比较与的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵点在上，， ∴， ∵，弦的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴点在内． 故选：B． 题型7.点与圆的位置关系求半径 【典例】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点P在外，则点O到点P的距离d大于半径，再结合的直径是10，即可作答． 【详解】解：∵点P在外， ∴点O到点P的距离d大于半径， ∵的直径是10， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记点与圆的位置关系是解题关键． 根据点与圆的位置关系，点在圆外等价于，由此可得的取值范围． 【详解】解：∵ 是的中点，， ∴ ， ∵ 点在外， ∴ ， 即， 又∵， ∴ ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型8.由半径和圆上两点作圆 【典例】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 【跟踪专练1】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型9.点与圆上一点的最值问题 【典例】已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 【跟踪专练1】如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【跟踪专练3】如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 解答题 1．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 2．完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 【答案】(1)或 (2)点在内；点在外；点在上 【分析】（1）先移项、再将系数化为1，直接开平方求解即可得到答案； （2）作出，连接，由勾股定理求出，由点与圆心的距离和半径大小比较即可得出点与的位置关系． 【详解】（1）解：， ， ， 则， 或； （2）解：连接，如图所示： 在矩形中，，，则由勾股定理可得， 的半径为，，，， 则， 点在内；点在外；点在上． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 4．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 5．如图，经过A，B两点的优弧与海岸线围成的区域是一个暗礁区，点O是该优弧所在圆的圆心，船C在暗礁区外行驶，连接交优弧于D． (1)实践与操作：使用直尺和圆规，在图中确定暗礁区内离海岸线最远的点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与说理：连接，测得，若要使船C不会进入暗礁区，则的大小应保持在什么范围内？ 【答案】(1)如图所示，点E即为所求； (2) 【分析】（1）过点作的垂线，与优弧的交点即为所求； （2）连接，则由圆周角定理可得，，要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 则由圆周角定理可得， 要使得船C不会进入暗礁区，则点在优弧外即可， ∵ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $