第15讲 圆的有关性质（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第15讲 圆的有关性质 （3大考点17大题型） 学习目标 1.掌握垂径定理及其应用。（重点、难点） 2.掌握圆周角定理及其应用。（重点、难点） 3.掌握圆内接四边形的内角的关系. 考点整理 一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 题型归纳 【题型1 利用垂径定理求值】 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用垂径定理求平行弦】 5．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 6．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 8．已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 9．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 10．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 13．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 14．下列事件为必然事件的是（   ） A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一月 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 D．同位角相等 15．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 16．是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【题型5 垂径定理的推论】 17．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．下列命题中，是真命题的个数有（     ） ①平行四边形是轴对称图形； ②若在实数范围内有意义，则； ③平分弦（不是直径）的直径一定垂直于该弦； ④在中，若，则是直角三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 19．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 20．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【题型6 垂径定理的实际应用】 21．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 23．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（   ）． A．22 B．21 C．16 D．10 24．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【题型7 圆心角概念及简单运算】 25．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 26．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 27．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 28．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 29．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 30．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 31．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型9利用弧、弦、圆心角的关系求证】 33．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 34．如图，是的直径，，垂足为点，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 35．如图，A、B、C、D是上的四点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 36．如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【题型10 求圆弧的度数】 37．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 38．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 39．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 40．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【题型11 圆周角概念及简单运算】 41．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 42．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 43．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 44．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 【题型12 圆周角定理】 45．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 46．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 47．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 48．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型13 同弧或等弧对的圆周角相等】 49．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 50．如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 51．如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．如图，内接于，是的直径，点P是的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．3.5 【题型14 直径对的圆周角是直角】 53．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 54．如图，为正方形边上一点，，作关于对称，得到于点，为上一点，且满足，连接，则的最小值为（　　） A． B． C．7 D． 55．如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度，以及，的长度和 D．已知，的长度及的度数 56．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【题型15 90度圆周角对的弦是直径】 57．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 58．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 59．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 60．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【题型16 已知圆内四边形求角度】 61．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 62．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 63．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 64．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型17 求四边形外接圆的直径】 65．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 66．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 67．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 68．如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 圆的有关性质 （3大考点17大题型） 学习目标 1.掌握垂径定理及其应用。（重点、难点） 2.掌握圆周角定理及其应用。（重点、难点） 3.掌握圆内接四边形的内角的关系. 考点整理 一、垂径定理 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心． 2．垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三. 二、圆周角定理 定理 示例 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． 如图，． 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． 如图，是半圆（AB是直径），则 推论2：圆内接四边形的对角互补． 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． 三、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系． 1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等． 2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等． 3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条． 题型归纳 【题型1 利用垂径定理求值】 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 3．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 4．如图，直径，弦，垂足为．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接， 由垂径定理可得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，连接， 弦，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 【题型2 利用垂径定理求平行弦】 5．若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 6．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 7．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 8．已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断. 【详解】解：由作法可知， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图，过点O作交圆于，交弧于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如解图，连接，在和中， ， ∴ ， ∴, ， 假设， 结合垂径定理同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 此时，与题干矛盾， 所以假设不成立，故D选项错误，符合题意． 【点睛】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理、全等三角形． 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 9．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 10．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 11．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 12．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型4 利用垂径定理求其他问题】 13．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 14．下列事件为必然事件的是（   ） A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一月 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C．国奥队篮球队员在罚球线上投篮未投中 D．同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查必然事件定义，垂径定理，两直线平行，同位角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据必然事件定义，垂径定理，同位角，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．一年有12个月，13名同学时，根据鸽巢原理，至少有两名同学生日在同一月，即A为必然事件； B．当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，即B不是必然事件； C．投篮是否投中不确定，即C不是必然事件； D，只有当两直线平行时同位角才相等，即D不是必然事件． 故选A． 15．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 16．是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【答案】A 【分析】本题考查角平分线作法及性质，垂直平分线作法及性质，垂径定理等．根据题意逐一对作法进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 【题型5 垂径定理的推论】 17．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 18．下列命题中，是真命题的个数有（     ） ①平行四边形是轴对称图形； ②若在实数范围内有意义，则； ③平分弦（不是直径）的直径一定垂直于该弦； ④在中，若，则是直角三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题需要逐一判断每个命题的真假，统计真命题的个数，用到轴对称图形的概念，零指数幂、二次根式有意义的条件，垂径定理推论和三角形内角和定理等知识点． 【详解】① 平行四边形是中心对称图形，普通平行四边形不是轴对称图形，故①是假命题； ②要使在实数范围内有意义，需满足，解得且，与命题给出的不符，故②是假命题； ③根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于该弦，故③是真命题； ④设，，， 三角形内角和为， ，解得， 最大角，不是直角，故不是直角三角形，④是假命题； 综上，真命题共个． 19．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似 C．方程没有实数根 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 【答案】C 【分析】根据垂径定理、相似三角形的判定、一元二次方程的根的判别式、平行线的性质及判定进行判断即可. 【详解】解：对于选项A， ∵当被平分的弦是直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，∴A错误； 对于选项B， ∵必须是两边成比例且夹角对应相等才能判定两个三角形相似，不能判定三角形相似，∴B错误； 对于选项C， 对于一元二次方程，计算得判别式，∴方程没有实数根，C正确； 对于选项D， ∵一个角的两边分别平行于另一个角的两边时，这两个角相等或互补，不是一定相等，∴D错误. 20．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点，则，利用圆周角定理得到，接着计算出的长，则可计算出，从而得到四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积． 即四边形的面积的最大值是1． 【题型6 垂径定理的实际应用】 21．如图，翠湖公园一座拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱高为8米，求圆弧所在圆的半径为（    ）米． A．5 B．12 C．13 D．26 【答案】C 【分析】延长到，使得，利用勾股定理和垂径定理解答． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 拱桥的跨度米，， ， ， 即， 解得． 圆弧所在圆的半径为． 22．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 23．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（   ）． A．22 B．21 C．16 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 24．盾构机是一种大型隧道掘进专用工程机械，被称为“地下蛟龙”，我国盾构机已实现从依赖进口到全球领跑的跨越．如图，高速公路隧道的有效高度为，隧道入口宽为，该隧道所在圆的圆心为，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据勾股定理可得，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， 圆的半径为． 故选：B． 【题型7 圆心角概念及简单运算】 25．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 26．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 27．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 28．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 29．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 30．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 31．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 32．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【题型9利用弧、弦、圆心角的关系求证】 33．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 34．如图，是的直径，，垂足为点，连接、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径，是的弦，且， ， ， 故选：C． 35．如图，A、B、C、D是上的四点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理可知，再根据垂径定理得，再根据同弧所对圆心角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 故选：B． 36．如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 【题型10 求圆弧的度数】 37．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 38．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 39．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 40．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 【题型11 圆周角概念及简单运算】 41．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 42．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 43．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 44．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据题意得：OD=OC=PD，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：OD=OC=PD， ∴∠ODC=∠OCD，∠DOP=∠OPD， ∵， ∴∠ODC=∠OCD=， ∴∠DOP=∠OPD=， ∴∠POC=∠DOP-∠AOB=15°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型12 圆周角定理】 45．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 46．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 47．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 48．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【题型13 同弧或等弧对的圆周角相等】 49．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 50．如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得，利用是的直径，可得，进而求出，最后利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．由圆周角定理得，由为的中点，得，进而得到，即可求出． 【详解】如图，连接． 为的直径， ，即． 为的中点， ， ， ． 52．如图，内接于，是的直径，点P是的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．3.5 【答案】A 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【题型14 直径对的圆周角是直角】 53．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 54．如图，为正方形边上一点，，作关于对称，得到于点，为上一点，且满足，连接，则的最小值为（　　） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】取，记的中点为O，连接、、，根据正方形的性质和轴对称的性质可推出，，从而证得，进而得到，由直径所对圆周角是直角，可知点是在以为直径的半圆上，则当点在上时，最小，最后利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：如图，取，记的中点为O，连接、、， ∵正方形，，关于对称，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ， ， ∴点是在以为直径的半圆上， ∴当点在上时，最小， ∵， ∴， ∴的最小值． 【点睛】利用辅助线构造出相似三角形，结合直径所对圆周角是直角，求得点H的轨迹是解题的关键． 55．如图，在锐角三角形中，分别以三边，，为直径作圆．记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（　　）． A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度，以及，的长度和 D．已知，的长度及的度数 【答案】C 【分析】由题意，推出，推出，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ， ， A、若已知的三条中位线的长度，则由三角形中位线性质可得三边的长度， 对于三角形，若已知其三条边长，可根据海伦公式，其中是三角形的三边，，求出其面积，即可得到的值，选项不符合题意； B、已知的面积，代入即可求得，选项不符合题意； C、∵已知两边长度和， 的长度不确定， 的面积也不确定， ∴不一定能求出的值，选项符合题意； D、连接，如图所示： 由是直径得，即， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ，据此即可求得的值，选项不符合题意． 【点睛】证明是本题的突破点． 56．如图，是的直径，，是的弦，点在上，且．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆周角定理得，则，然后由平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【题型15 90度圆周角对的弦是直径】 57．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 58．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的轨迹是以为直径的圆，求出圆心和半径，结合勾股定理计算定点到圆心的距离，即可求出的最值，得到结果． 【详解】解：∵直线恒过定点，直线恒过定点，且，垂足为， ∴，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点C， ∵， ∴圆心为中点，坐标为，圆C的半径为4， ∵， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，的最小值为， 即的取值范围是． 所以选项B正确，选项A、C，D错误． 59．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 60．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 【题型16 已知圆内四边形求角度】 61．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 62．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 63．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 64．如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 【题型17 求四边形外接圆的直径】 65．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 66．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 67．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 68．如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，， ∵点O为正方形的中心， ∴，， ∴四边形为正方形，为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴E、I、O、P四点共圆， ∴， ∵， ∴点P运动的轨迹是线段， 作点A关于直线的对称点，   当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交延长线于点Q， 同理得四边形为正方形，且边长为4， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $