暑假预习：解不含参的一元二次不等式、解分式不等式、解含参的一元二次不等式专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦初升高衔接核心不等式求解，以“不含参-分式-含参”递进逻辑构建训练体系，精选各地期末真题，覆盖选择填空题型，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不含参的一元二次不等式|8题/考点（选择+填空，含各地期末真题）|侧重解集求解及充分条件判断|从具体不等式到解集表达，夯实整式不等式基础，培养数学语言表达能力| |解分式不等式|8题/考点（选择+填空，含各地期末真题）|涉及解集、充要条件及空集问题|由整式拓展到分式，强化等价转化思维，发展推理意识| |解含参的一元二次不等式|7题/考点（选择+填空，含各地期末真题）|包含参数范围、整数解及充分不必要条件|从无参到含参，提升分类讨论能力，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

暑假预习：解不含参的一元二次不等式、解分式不等式、解含参的一元二次不等式专项训练 暑假预习：解不含参的一元二次不等式、解分式不等式、解含参的一元二次不等式专项训练 考点目录 解不含参的一元二次不等式 解分式不等式 解含参的一元二次不等式 考点一 解不含参的一元二次不等式 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. 例4．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 变式1．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 变式4．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 考点二 解分式不等式 例1．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________． 例4．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 变式1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________． 变式4．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 考点三 解含参的一元二次不等式 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 变式1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 变式3．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：解不含参的一元二次不等式、解分式不等式、解含参的一元二次不等式专项训练 暑假预习：解不含参的一元二次不等式、解分式不等式、解含参的一元二次不等式专项训练 考点目录 解不含参的一元二次不等式 解分式不等式 解含参的一元二次不等式 考点一 解不含参的一元二次不等式 例1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，所以不等式的解集为 例2．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 例3．（24-25高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. 【答案】 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 例4．（24-25高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 变式1．（25-26高一下·四川泸州·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式等价于. 解得或， 即原不等式的解集为. 变式3．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 变式4．（2026·河北沧州·三模）不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 考点二 解分式不等式 例1．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 例2．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）“ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】令，得到，化简得， 得到，解得或， 则“ ” 是 “ 或 ”的充分不必要条件． 例3．（25-26高一下·上海·期中）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】由不等式分式求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 例4．（2026·新疆·三模）不等式的解集为__________. 【答案】或. 【详解】由可得， 故或， 故不等式的解集为或. 变式1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】不等式， 转化为，即， 即且， 解得，故解集为. 变式2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式组，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】分式不等式等价于：，即. 解得或. 故不等式的解集为或. 变式3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由，得， 则，解得， 则不等式的解集为. 变式4．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 考点三 解含参的一元二次不等式 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简得，作差比较与的大小，利用一元二次不等式即可求解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 则，故有， 则原不等式等价于， 所以原不等式的解集为. 例2．（24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 例3．（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【详解】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 变式2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】分别求解一元二次不等式化简与，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于的不等式求解． 【详解】解：由，得或， 即：或； 由，解得,即：， 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：A． 变式3．（24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $