25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾一般形式、根的判别式及求根公式等旧知搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新关系的探究。 其亮点在于采用求根公式推导和因式分解两种方法培养推理能力，结合变式题与拓展题（如不解方程求平方和）发展模型意识，课堂练习含中考题和一题多解提升抽象能力。小结系统梳理关系及变形公式，助力学生构建知识体系，教师可利用丰富例题提升教学效果。

第二十五章　一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 问题1.一元二次方程的一般形式是什么？ 问题4.一元二次方程的求根公式是什么？ 问题3.当Δ>0、Δ=0、Δ<0时，一元二次方程根的情况如何? 问题2.一元二次方程有实数根的条件是什么? Δ≥0 有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。 知识关联 【情境问题】 求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 由一元二次方程的解法可知，当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根可由系数a、b、c确定。 由求根公式 可知，通过对系数a、b、c进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的根。 【探究】 根与系数的关系 探究与应用 方法一：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号。这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 思考：观察求根公式 它有什么特点？由此考虑一元二次 方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发? 由此得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2与其系数a、b、c有如下关系: 探究与应用 反过来，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，即ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2, 【探究】 根与系数的关系 方法二： 我们知道，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的左边可以分解因式为a(x-x1)(x-x2)，那么方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2。 由此可得-a(x1+x2)=b，ax1x2=c. 【探究】根与系数的关系 探究与应用 【概括新知】 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 【理解应用】 探究与应用 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0 ；(2) 3x2＋7x－9＝0；(3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15. 注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a、b、c的值，比较b2-4ac与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值. 【理解应用】 探究与应用 变式1　已知x1、x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根, 则x1x2的值为 ( ) C A.-4　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.4 变式2　若x1、x2为方程x2-2x-1=0的两个实数根,求x1+x2-x1x2的值. 答案： 【理解应用】 探究与应用 变式3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值. 由于x1·x2 = 1×5 = 得m = 15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ， 解得x2 = 5. 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 解：根据根与系数的关系可知： 例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 【探究】根与系数的关系 探究与应用 常见的变形公式: 归纳总结 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 例3　已知关于x的一元二次方程x2- x+m=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的最大整数值; (2)在(1)的条件下,方程的实数根是x1,x2,求代数式x12+x22-x1x2的值. 解:∵一元二次方程x2- x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=8-4m>0，解得m<2， 故整数m的最大值为1; 当m=1时，此一元二次方程为x2- x+1=0， ∴x1+x2= ，x1x2=1, ∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=8-3=5 【小结】 课堂小结与检测 一元二次方程根与系数的关系 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 注意 式子成立的前提条件是b2-4ac≥0. 1.[2025湖北中考]一元二次方程的两个实数根为， ， 下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为，，，所以 ， ． 课堂练习 14 2.一题多解 [2026重庆长寿实验中学校月考]若 是方程 的一个根，则此方程的另一个根是( ) B A. B. C. D. 【解析】 （利用根与系数的关系） 方程的一个根是,两根之和为 ， , . （利用解方程） 把代入方程,得,解得, 原方程 为,解方程得, . 15 3．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值为 ( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 C 4.[2026上海嘉定区期末]若关于的一元二次方程 的两根 为，，且，则 的值为( ) B A.4 B.8 C.12 D.16 【解析】 方程的两根为，， ， ，又，， ， ， . 17 5．如果一元二次方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A．m＝0 B．m＝－1 C．m＝1 D．以上结论都不对 B 6．若a≠b，且a2－2a＝3，b2－2b＝3，则ab＋a＋b－1的值是 (　 　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 B 7．设a，b是方程x2＋x－2 026＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值是( ) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 D 8．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积： (1)4x2＋1＝7x，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (2)3x2－1＝0，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ； (3)x2－6x＝0，x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 0 6 0 － 9.[2026上外浦东附中月考]以和 为根，且二次项系数为1的一 元二次方程的一般式为__________________. 【解析】 设这个一元二次方程为 ，且它的两根分别为 ， ，根据根与系数的关系，得 ，即 ， ，即 ，因此 所求方程的一般式为 ． 22 10.易错题 [2026上海普陀区期末]如果关于 的一元二次方程 的两实数根互为相反数，那么 的值为____. 【解析】 设方程的两根为和，由根与系数的关系，得 . 和互为相反数，，解得 ， 当 时，，方程无实数根；当 时， ，方程有两个不相等的实数 根.综上， . 23 11.[2026上外浦东附中月考]若，是关于 的方程 的两个实数根，且，则 ____. 【解析】 ，是关于的一元二次方程 的两 个实数根，， ， ， ，即 ， ，整理得，解得 或 .当时，方程为 ， 24 ，方程无实数根，不符合题意；当 时， 方程为， ，方程有两个不相 等的实数根，符合题意.综上， ． 12.设，是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 下列各式的值： 解：,是方程 的两个根， ， . （1） ； 解： . （2） ； 解： ． 26 （3） . 解： . 27 13.[2026安徽江淮教育联盟期末]已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根. 解：证明： ． ， ， 不论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 28 （2）若原方程的两个实数根分别为，，且，求 的值. 解：由根与系数的关系，得, ， ， 又， ， 解得， ， 的值为或 ． 29 14.[2025九江外国语学校月考]已知关于的方程 有 实数根. （1）求 的取值范围. 解：当时，方程化为 ，为一元一次方程，方程有实数根； 当 时，方程为一元二次方程，根据题意，得 ，得，且 . 综上所述，的取值范围为 . 30 （2）是否存在实数，使方程两实数根的倒数和为1？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下： 设方程的两实数根分别为， ， 根据根与系数的关系得, . ，即， ， ，解得 . 由（1）知，且时有两实数根，而 ， 不存在实数 ，使方程两实数根的倒数和为1． 31 $