精品解析：广东汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

河溪中学2025-2026学年度第二学期高二数学期末考试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合， 所以． 2. 已知复数则在复平面内对应的点位于（  ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：，对应的坐标为，在第四象限. 3. 为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85 93 95 92 88 92 95 90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】先对数据进行从小到大排序，然后根据数据集的大小计算出第25百分位数在排序后数据中的位置，对于偶数个数据点，第25百分位数将是排序数据中的一个特定位置或两个相邻数据点的平均值. 【详解】对8位学生的数学考试分数进行从小到大的排序，得到的序列如下： 85，88，90，92，92，93，95，95 共8个数据点的数据集，第25百分位数的位置为， 所以第25百分位数为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：在计算百分位数时，特别要注意数据点的排序和百分位数位置的计算。当数据点个数为偶数时，百分位数的位置会落在两个数据点之间，此时百分位数应取这两个数据点的平均值。这一原则是准确估算数据集百分位数的关键. 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据，套入平面向量平行坐标公式即可求解. 【详解】 . . 解得. . 故选：C. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案. 【详解】由， 则. 故选：D 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结合，再由条件概率公式计算可得. 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示， 则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件， 包含共个基本事件， 所以，，所以. 故选：C 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设，则，，再由双曲线的定义可得，，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得，的关系，可求出离心率． 【详解】，设，则，， 由双曲线的定义可得，， 因为， 在中，由余弦定理有， 即，① 在中，由余弦定理有， 即，② 由②可得，代入①可得，即. 所以C的离心率为：， 故选：A. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，结合条件判断其单调性，利用单调性解不等式可得结论. 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】由即可判断选项A；令，即可判断选项B；展开式中的第2项是，即可判断选项C；展开式的二项式系数和为，即可判断选项D. 【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确； 令，则，故选项B正确； 展开式中的第2项是，故选项C错误； 展开式的二项式系数和为，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 则， 所以，故B错误； 对于选项C：构建，则， 因为，且当时，恒成立， 则，解得， 若，则当时恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意 综上所述：符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 整理得，即， 由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得， 不妨设， 构建， 因为在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即， 可得， 注意到在上单调递减，且， 所以，即，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本小题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据自变量范围确定内层函数的解析式算出内层值，再以该值为自变量根据范围确定外层解析式，最终得到结果. 【详解】因为，所以. 13. 已知，，且满足，则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】，，， （当且仅当，时取等号）， 则的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则______，______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】根据题意分析可知：，进而求出相应的的值，结合古典概型求， 【详解】由题意得：，若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，则， 据此即可得到，，又因为从到共有三条路径可走， 故从1到9经过6的路径共有，故, 故答案为： ， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值，无极大值． 【解析】 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，并求出切点坐标，利用点斜式，即可求解； （2）求出单调区间，即可判断极值点，求出极值. 【小问1详解】 因为，所以，切点为， 因为，所以， 切线方程为，即． 【小问2详解】 由（1）可知，有， 当时，令，得， 当x变化时，和的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，有极小值，无极大值． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对原式用正弦定理进行边换角，然后结合三角恒等变换进行计算求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 整理得：， 而， 结合两式得：， 整理得：,因为，故，又,故, 【小问2详解】 由（1）得，故， 因为故， 根据三角形面积公式， 又边上的高为1，, 由余弦定理得：，即， 故，所以三角形的边长为. 17. 深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 【答案】（1）列联表如下： 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 性别因素与学生使用的经常性有关系 （2）（ⅰ）； （ⅱ）的分布列如下 【解析】 【分析】（1）完善列联表，提出零假设性别与使用手机情况独立，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）（i）利用超几何分布的概率公式求解即可； （ii）由题意得，的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 零假设为性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过． 【小问2详解】 （ⅰ）设抽取的三人中男生的人数为，易知名周末使用手机小时及以上的同学中有名男生，名女生， 所以的所有可能取值为、、、， 且服从超几何分布：， 则恰好抽中名男生的概率为； （ⅱ）由题意得，的所有可能取值为、、， 则，，， 则的分布列如下 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接， 因为分别为的中点，所以且， 在正方形中，是中点，可得且， 所以且，故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，故直线平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，所以，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为底面四边形为正方形，且底面， 以为坐标原点，以所在的直线分别为为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设，则， 因为，所以，可得，且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角的为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 【答案】（1）1 （2）（i）证明见解析，；（ii）2 【解析】 【分析】（1）分析函数定义域与单调性，利用的最小值满足非负的条件，确定的值. （2） (i)对数列递推式取倒数变形，构造等比数列，进而求出数列的通项公式. (ii)将前项积取对数转化为和，结合第(1)问的结论放缩求和，估计出积的范围，从而确定的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由题意可得. 若，则单调递增，当时，，不符合题意； 若，则，令，解得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时为最小值， 若，则有，不满足题意， 若，则，故. 【小问2详解】 （i）因为， 所以，即， 又，故是以首项为，公比为的等比数列， 故，得， 经检验时同样成立，故. （ii）由，且，可得， 则即， 而， 又， 由（1）可得，则，当且仅当等号成立， 故， 故 ， 故，所以，则，故最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学2025-2026学年度第二学期高二数学期末考试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数则在复平面内对应的点位于（  ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85 93 95 92 88 92 95 90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 94 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 11. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 三、填空题：本小题共3小题.每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则____． 13. 已知，，且满足，则的最小值为_______________. 14. 如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若边上的高为1，求的周长． 17. 深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 （1）若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 （2）对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $