广东汕头市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

2025一2026学年度第二学期期末考试 高二级数学科参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的。 2 3 4 6 8 A D A A D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9 10 11 BD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 3 13.6 14.10或11或17 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)如图所示： 4分 (2)在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, 过点B作BG⊥AD交AD于点G,1分 由AD=2,BC=1,∠BAD=60°，所 pG-(D-BC)- , 2分 在直角三角形ABG中， 4G=1 2,∠BAD=60°，得AB=1.3分 在△ABD中，由余弦定理BD=AD'+AB-2AD·AB cos∠BAD,4分 BD=122+12-2×2×1×5=V3 得 5分 所以AD=AB2+BD,所以AB⊥BD,6分 又因为AB⊥PB,PB∩BD=B,PB,BDC平面PBD,(条件不齐不给分)7分 因此AB⊥平面PBD,8分 而ABC平面ABCD, 所以平面PBD⊥平面ABCD.(9分) 13x 16.【答案】(1)3 cosB=5V分 (2) 14 【详解】(1)由2 acosC-=2b+c及正弦定理得：2 sin AcosC=2sinB+sinC,1分 因为A+B+C=元，所以sinB=sin(A+C)=-sin AcosC+cosAsinC ,2分 所以2sin4cosC=2((sin cosC+cos4sinC)+sinC,3分 cos 4=-1 化简得2 cos Asin C+sinC=0,而sinC≠0，所以 2,4分 又4∈(0，，5分 2π A= 所以3.(6分) D (2) 因为AD=BD=2,CD=3,所以BC=BD+CD=5,即a=BC=5,1分 在△ADB中，AD=BD=2,所以∠BAD=B,∠ADC=2B,2分 在△ADC中，AC=b,AD=2,CD=3,∠ADC=2B, 由余弦定理得：AC2=AD+CD2-2AD.CD.cos∠ADC,3分 所以b2=22+32-2×2×3×c0s2B,即b2=13-12c0s2B①，4分 b 0=b sin 2n sin B b=10sinB 在△ABC中，由sinA sin B,得3 即V5②，5分 100sinB=13-12cos2B 将②代入①中，得3 100snB=13-12-2s5in2B）5in2B= 即3 ,解得 28,6分 cos'B=1-sin'B=1-3=25 所 2828,7分 As2π 因为3，所以 8分 cos B= 5W7 所以 14 (9分) 65 17.【答案】(1)81 (2)X的分布列为： X 1 2 3 4 P 1-3 2 4 27 x刘到 2600 (3)9 16 【详解】(1)由题意可知，小朋友套娃娃未成功的概率为 3 81 2分 1 1665 则小朋友套娃娃成功的概率为8181， (4分) (2)由题意知，随机变量X的可能取值为1,2,3,4,1分 则 x=4品Px=- P(X=)=.4分 所以X的分布列为：5分 X 1 2 3 4 1 2 4 8 3 9 27 27 2 4 865 E(X)=1×-+2×2+3× +4× 3 9 27 2727. (6分) (3)法1：记每位小朋友套娃娃摊主获得的利润为Z元，摊主每天利润为Y元， Z可取-8,2,12,22,401分 P(Z=2)= z=- 2分 由(2)可知，Z的分布列为： Z -8 2 12 22 40 1 2 4 8 16 3 9 27 81 81 E(Z)=-8×5+2x2+12 4 8 +22x +40× 16260 3 9 27 81 81 27 3分 则每天30位小朋友套娃娃摊主获得的总利润Y的期望为： E(Y)=30×E(Z)= 2600 9,4分 2600 故摊主每天利润的期望为9元。 (5分) 1665 1- 法2：由(1)可知，小朋友套娃娃成功的概率为8181,1分 记每位小朋友套娃娃摊主获得的利润为Z元，摊主每天利润为Y元，2分 7×18=65 E(Z)=E(X)x10-65x18 81 10-65, 271 7×18=260 81 27,3分 则每天30位小朋友套娃娃摊主获得的总利润Y的期望为： E(Y)=30xE(Z)=2600 9,4分 2600 故摊主每天利润的期望为9元. (5分) 18.【答案】(1)y=3x-2 (2)[-n2,0) 【详解】1)当a=1时，h()=r+xnx,h0=L.1分 h(x)=2x+Inx+1 3分 N(0)=3 4分 故曲线)=h()在x=1处的切线方程为y=3x-2.(6分) (2)因为h(在，+0)上存在1级“平移点”， 所以存在∈[L+o）,使h(+)=A(,)+h(0.1分 由a(,+ly+(+1)h(+1)=a+l血x+a 得2a,=nx-(+1)血(+），2分 ,3分 图象有公共点，4分 op6)=nx-（+hcr+x≥ ，5分 in(+D):1 6分 In(x+1)>0 7分 所以p(在，+0)上单调递增。8分 所以p()≥p(0=-2血2,9分 +1>1 因为x之1，所以hx<h(x+),x p(x)-x-x+Im(x+D)<0 所以 10分 所以p(x)e[-2n2,0),所以a∈-lh2,0) (11分) x2,y2 19【答案】1)4+3】 9 (2)(i)V5x-2y-V5=0或V5x+2y-V5=0: (i)4 【详解】(1)由题意得2a=4,所以a=2,1分 e== 又因为a2,所以c=1,2分 b=a2-c2=3,3分 x+少 所以C的方程为4十了引.4分) (2)①当直线MN与y轴垂直时，此时O,F,M,N四点共线，不合题意；1分 当直线MN与y轴不垂直时，设MN:x=my+1,M(,),N(x,) 不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，即乃>0，片<0,2分 联立x=my+1，消去x并整理得3m+4y+6my-9=0. 6m 9 4>0,+乃= 3m+4,%=3m+4,3分 53a25.20咖（为户2o2=2.1分 6m 61m 所以 月+%=-%=3m2+4,月=3m+4. 9。 9 4-23m2+4、 -26m+4 5分 6m 9 ,2W5 3m2+4 m2=4 所以 3m+4,解得5m=女 5, 6分 N:= 2 所以 5y+1x=-25 或 5y+1 即直线MN的方程为V5x-2y-5=0或V5x+2y-V5=0, (7分) x=4 ②若直线EW过定点，由对称性可知定点必在x轴上，设为H=(x,0) 设M(,,N(),所以E(4y),1分 kaw=业当 所以 wy=4u-刊.湖 x2-4,所以 x=4-片（玉-=4-(m+1-4-4-myy-3y 令y=0得少片 y2-y1 y2-y,3分 9m 6m 为04=3nm+4,片+%=3m+4.所以0 my y= 因为 2y+) 4分 =4m=4-2+小3y为-3 3 =4-24-2 =435 所以 y2- y2-y1 ,-出22 ,5分 H 以"20为直线EN所过定点。(6分) 2025～2026学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．观察下列散点图，其中图1两个变量的相关系数为，图2两个变量的相关系数为，则判断一定正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 4．在等比数列，，，则数列的前5项之和为（ ） A． B． C． D． 5．形状各异的4片磁力片，分给甲乙丙3个小朋友，每个小朋友至少1片，其中正方形磁力片只能给甲．共有多少种分法（ ） A．6 B．15 C．9 D．12 6．已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则该双曲线渐近线的方程可以是（ ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ） A． B． C． D． 8．某抽奖游戏规则如下：抽奖箱有大小、形状均相同的4个球．其中有3个新球和1个旧球．每次从中随机抽取1个球，若抽到新球，则此球变为旧球，抽奖者再将此球放回到抽奖箱；若抽到旧球，则直接丢弃．游戏持续进行，直到抽奖箱中剩余球全部为新球时中奖，若抽奖箱为空，则没有中奖，中奖或抽奖箱为空时，游戏结束．设X为游戏结束时抽取的次数，则X的期望为（ ）． A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．若复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 10．已知一组样本数据，，的方差为3，则（ ） A．，，不可能都相等 B．，，的方差也为3 C．该组样本数据的平均数有最值 D．的最小值为9 11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为M，过F的直线与E分别交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A．F坐标为 B．当时， C．若，则 D．过点F作与垂直的直线与E交于C，D两点，则四边形面积的最小值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，是第二象限角，则__________． 13．如图，直三棱柱中，点M，N分别为和的中点，则三棱锥与三棱柱的体积之比为__________． 14．已知6个数为：1，2，4，8，16，29．将这6个数分为3组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为3且公差为的等差数列，则公差d的值可以为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（分） 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，． （1）在图中作出平面与平面的交线为l（保留作图痕迹）； （2）若，求证：平面平面． 16．（分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若D为边上一点，且，，求的值． 17．（分） 许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏．在一个套娃娃的摊位上，一轮“套娃娃”游戏规则是： ①规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，即中途不放弃，直到成功一次为止或套4次结束； ②每次套娃娃费用是10元，例如第一、二次未成功，第三次成功，费用30元．每次套娃娃成功的概率为且相互独立． （1）求小朋友一轮套娃娃成功的概率； （2）记随机变量X为小朋友一轮套娃娃的次数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩一轮套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望． 18．（分） 定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中k为大于0的常数，则称点为函数的k级“平移点”．已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上存在1级“平移点”，求a的取值范围． 19．（4+7+6=17分） 已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线交椭圆C于M，N两点，过点M作直线的垂线，垂足为E． ①若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； ②证明直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $