广东汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高二数学期末卷聚焦“三会”核心素养，以集合、概率、导数、统计等知识为载体，通过手机使用时长统计、游戏选择概率等现实情境，考查数学建模与数据分析能力，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、向量、复数|基础概念辨析，如第3题百分位数计算| |多选题|3/18|二项式定理、概率分布|选项分层，如第10题综合考查期望方差| |填空题|3/15|函数导数、路径计数|创新情境，如第14题移动路线概率| |解答题|5/77|统计检验、立体几何、数列|现实应用与逻辑推理结合，如17题手机使用统计分析，19题数列与函数综合证明|

2025-2026学年度第二学期高二数学期末考试 (答案详解) 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B C D C A B ABD BCD ACD 填空题 12. 1 13. 3 14. 5 ， 一、单项选择题 1．B 【详解】 由集合 得 2.D 【详解】 3.B 【详解】将8位学生的数学考试分从小到大排序为：85,88,90,92,92,93,95,95。 ·根据百分位数的计算公式，第p百分位数的位置i=np%(n为数据个数，p%为百分位数)，这里n=8,p%= 25%，则 i=8*25%=2。由于i=2是整数，所以第25百分位数是第2项和第3项数据的平均值，即(88+90)/2=89。因此答案选B。 4. C 【详解】，. .解得..故选：. 5.D 【详解】由，则. 6.C 【详解】用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，则所有可能情况有，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，共个结果. 其中包含共个基本事件，包含共个基本事件， 所以，，所以.故选C 7. A 【详解】，设，则，， 由双曲线的定义可得，，因为， 在中，由余弦定理有， 即，① 在中，由余弦定理有， 即，② 由②可得，代入①可得，即. 所以C的离心率为：， 8.B 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，所以． 二、多项选择题 9. ABD 【详解】由可知的展开式共有6项，故选项A正确；令，则，故选项B正确；展开式中的第2项是，故选项C错误；展开式的二项式系数和为，故选项D正确.故选：ABD. 10．BCD 【详解】对于选项A，因为，故A错误；对于选项B，因为，故B正确；对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 11.ACD 【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得；则函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 则，所以，故B错误； 对于选项C：构建，则， 因为，且当时，恒成立，则，解得， 若，则当时恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意，综上所述：符合题意，故C正确；对于选项D：因为，整理得，即，由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，不妨设， 构建，因为在上恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以，即，可得， 注意到在上单调递减，且， 所以，即，故D正确；故选：ACD. 3、 填空题 12．【答案】1 【详解】因为，所以. 13.【答案】3 【详解】 14. 【答案】 ①. 5 ②. 【详解】由题意得：，若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，则，据此即可得到，，又因为从到共有三条路径可走，故从1到9经过6的路径共有，故,故答案为： ， 4、 解答题 15．解：（1）因为，所以， ------1分 切点为， ------2分 因为， ------3分 所以， ------4分 切线方程为，即． ------6分 （2）由（1）可知，有， ------7分 当时，令，得， ------8分 当x变化时，和的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ------11分 所以当时，有极小值， ------12分 无极大值． ------13分 16.解：（1）由正弦定理得， ------1分 整理得：， ------2分 而， 结合两式得：， ------3分 整理得：, ------4分 因为，故， ------5分 又,故, ------6分 （2）由（1）得，故， ------8分 因为故， ------10分 根据三角形面积公式， ------11分 又边上的高为1，,即 ------12分 由余弦定理得：，即， ------13分 故， ------14分 所以三角形的边长为. ------15分 17．解：（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 ------2分 零假设为性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关； ------3分 根据列联表的数据计算可得， ------5分 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过． ------6分 （2）（ⅰ）设抽取的三人中男生的人数为，易知名周末使用手机小时及以上的同学中有名男生，名女生， 所以的所有可能取值为、、、， ------7分 且服从超几何分布：， ------8分 则恰好抽中名男生的概率为； ------9分 （ⅱ）由题意得，的所有可能取值为、、， ------10分 则，，， ------13分 则的分布列如下 ------14分 所以． ------15分 18.（1）证明：取的中点为，连接， ------1分 因为分别为的中点，所以且， ------2分 在正方形中，是中点，可得且， ------3分 所以且， ------4分 故四边形为平行四边形，所以， ------5分 又因为平面，平面， ------6分 故直线平面. ------7分 . （2）解：因为底面四边形为正方形，且底面， 以为坐标原点，以所在的直线分别为为轴，建立空间直角坐标系，-----8分 如图所示，则 则， ------10分 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， ------12分 设，则， 因为，所以，可得，且，----13分 设平面的法向量为，则， ------14分 取，可得，所以， ------15分 设平面与平面的夹角的为， 则， ------16分 所以平面与平面的夹角的余弦值为. ------17分 19.解：（1）函数的定义域为， ------1分 由题意可得. ------2分 若，则单调递增，当时，，不符合题意； ------3分 若，则，令，解得， ------4分 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ------5分 此时为最小值， ------6分 若，则有，不满足题意， ------7分 若，则，故. ------8分 （2）（i）因为， 所以，即， ------9分 又，故是以首项为，公比为的等比数列， ------10分 故，得， ------11分 经检验时同样成立，故. ------12分 （ii）由，且，可得， ------13分 则即， 而， ------14分 又， 由（1）可得，则，当且仅当等号成立， 故， ------15分 故 ， ------16分 故 ，所以，则，故最小值为. ------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $河溪中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学答题卡 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 答案 题号 5 6 7 8 答案 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 15(13分) 数学答题卡第1页 16(15分) 14 四、解答题：本题共5小题，共77分 数学答题卡第2页 17(15分) 使用手机 性别 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 18(17分) P G B M 数学答题卡第3页 19(17分) 数学答题卡第4页 河溪中学2025-2026学年度第二学期高二数学期末考试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．为了解某学校某年级数学学习的情况，随机抽取8位学生，其数学考试分数如下：85，93，95，92，88，92，95，90，据此估计该年级数学考试第25百分位数为（  ） A．88 B．89 C．90 D．94 4．已知平面向量，若，则（  ） A. B. C. 0 D. 1 5．已知，则的值是（  ） A. B. 2 C. D. 6．同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（  ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（  ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于的展开式，下列说法正确的是（  ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式的第2项是 D. 展开式的各二项式系数之和为32 10．下列说法正确的有（  ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 11． 已知函数，下列选项正确的是（  ） A. 有最大值 B. C. 若时，恒成立，则 D. 设为两个不相等的正数，且，则 三、填空题：本小题共3小题.每小题5分，共15分. 12．已知函数，则____． 14．如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字的概率记为，则______，______． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15． (本题满分13分) 已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值． 16．（本题满分15分） 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若边上的高为1，求的周长． 17．（本题满分15分）深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表： 周末使用手机时长（h） 0 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若将周末使用为小时及小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”． 性别 使用手机 合计 不经常 经常 男生 女生 合计 请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系； (2)对于周末使用手机小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况： （ⅰ）在样本的名周末使用手机小时及以上的同学中，随机抽取人进行访谈，求恰好抽中名男生的概率； （ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为，求的分布列和数学期望． 附：，． 18． （本题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，是中点，是中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 19．（本题满分17分） 已知函数. （1）若，求的值； （2）已知数列满足，且. （i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式； （ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值. 参考数据：，，. 第 2 页 共 3 页 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $