精品解析：2022年山东省临沂市费县朱田镇初级中学九年级数学中考模拟试卷 (3)

初三数学中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（　　） A. 1269×108 B. 1.269×108 C. 1.269×1010 D. 1.269×1011 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°．若直线l∥BC，则∠1的度数为（　　） A. 117° B. 120° C. 118° D. 128° 6. 2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　） A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形 C. 它的外角和是360° D. 它的每个内角都是140° 7. 电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（ ） A. A B. B C. C D. 无法确定 8. 如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 9. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 11. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥．已知长为，圆周角．则这个人工湖的直径为________． 15. 如图，水平面上有一个坡度的斜坡，矩形货柜放置在斜坡上，已知．，，则点D离地面的高为________ ．（结果保留根号） 16. 如图，菱形中，已知，将它绕着点逆时针旋转得到菱形，使与重合，则点运动的路线的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩） 进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息： a．七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90）： b．七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 c．七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 71.1 m 80 八年级 72 73 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是 　　，理由是 　　． （3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人． 19. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°． （1）求点M到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米） 20. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 21. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝ (k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围． 22. 如图1，锐角中，D、E分别是、的中点，F是上的点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2， ①求证：； ②从线段上取一点H，连接使，若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF． （1）如图1，当点F落在BD上时，求BE的长； （2）点E在射线AB上运动的过程中，是否存在为等腰三角形的位置，若存在，求AE的长，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考数学模拟试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】2022的倒数是， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（　　） A. 1269×108 B. 1.269×108 C. 1.269×1010 D. 1.269×1011 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】1269亿=1.269×1011 故选D. 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并规则、单项式的乘法与除法的运算法则、幂的乘方法则逐一判断选项，得到正确结果． 【详解】解：∵选项A中，与不是同类项，不能合并， ∴A错误． ∵选项B中，根据同底数幂除法法则，， ∴B错误． ∵选项C中，根据同底数幂乘法法则，，计算正确， ∴C正确． ∵选项D中，根据幂的乘方法则，， ∴D错误． 5. 如图，在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝72°．若直线l∥BC，则∠1的度数为（　　） A. 117° B. 120° C. 118° D. 128° 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质，得∠2与∠B的关系，再利用三角形的外角和内角的关系得结论． 【详解】解：∵直线l∥BC， ∴∠2＝∠B＝72°． ∴∠1＝∠2+∠A ＝72°+46° ＝118°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确利用外角和内角结论是解题的关键． 6. 2021年3月考古人员在山西阳泉发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（　　） A. 它是轴对称图形 B. 它是中心对称图形 C. 它的外角和是360° D. 它的每个内角都是140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的正误；根据正n边形的内角为可判断D的正误． 【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形 ∴A正确，B错误； 由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360° ∴C正确； 由正n边形的内角为，可得 ∴D正确； 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性． 7. 电脑上有一个有趣的“扫雷”游戏，图是扫雷游戏的一部分，说明：图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格），则A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是（ ） A. A B. B C. C D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形发现B、C中只有一个地雷，所以知道A必为雷，则可得到答案． 【详解】解：由图形及题意可知：B、C中只有一个有地雷， 所以A必定有地雷， 所以A、B、C三个方格中有地雷的概率最大的方格是A，概率为1． 故选：A． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 8. 如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】D 【解析】 【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案． 【详解】∵直线AB是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCB=90°， ∵OD∥AB， ∴∠COD=90°， ∴∠CED=∠COD=45°， 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理． 9. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解． 【详解】解：如图， ∵BC⊥y轴， ∴BC∥AD， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设点，则， ①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，解得：，该方程有解， ∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确； ②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB， ∵点A的坐标是， ∴点B的横坐标为5， ∵点B是函数图象上， ∴点B的纵坐标为， ∴ ∵BC⊥y轴， ∴点C的纵坐标为， ∵点C是函数的图象的一点， ∴点C的横坐标为， ∴此时， ∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误； ③若a=1时，点，则， ∴AD=BC=7，， ∴此时四边形ABCD的周长为， 若a=2时，点，则， ∴AD=BC=4，， ∴此时四边形ABCD的周长为， ∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误； ∵，， ∴AD=，点B到x轴的距离为a， ∴四边形ABCD的面积为， ∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确； ∴正确的有①④． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 11. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是简单概率的计算； 找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可． 【详解】解：如图， ，，，均可与点A和点B组成直角三角形，即有4个点满足条件． ∴使为直角三角形的概率是， 故选：D． 12. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， … 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选B． 考点：规律型：图形的变化类． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 不等式两边同时除以2，得． 14. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥．已知长为，圆周角．则这个人工湖的直径为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由圆周角定理可得，在中，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接，，则， ∵, ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴这个人工湖的直径为． 15. 如图，水平面上有一个坡度的斜坡，矩形货柜放置在斜坡上，已知．，，则点D离地面的高为________ ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】作，垂足为H，且与相交于S，根据三角形的内角和定理、对顶角的性质可得出，则，结合坡度得出，求出，根据勾股定理求出，设，则，在根据勾股定理得出，解方程求出，即可求解． 【详解】解：作，垂足为H，且与相交于S， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，菱形中，已知，将它绕着点逆时针旋转得到菱形，使与重合，则点运动的路线的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，BD交于点O，由菱形的性质得出AC的长，由旋转的性质∠EAC=60゜，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接AC，BD交于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OA=OC，∠BAC=∠DAB=30゜ ∴ 由勾股定理得， ∴ 连接AE， 当AB与AD重合时，旋转了60゜，则∠EAC=60゜ ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、菱形的性质以及求弧长，运用菱形的性质求出AC是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解：原式 把代入得： 原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． 18. 2022年2月20日晚，北京冬奥会在国家体育场上空燃放的绚丽烟花中圆满落幕，伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰上运动、了解冰上运动知识的热潮，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机从七八两个年级各抽取30名同学的数据（成绩） 进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息： a．七年级测试成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90）： b．七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 c．七、八两个年级测试成绩的数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 71.1 m 80 八年级 72 73 73 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是 　　，理由是 　　． （3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人． 【答案】（1）74 （2）同学B；同学A在七年级的排名是第15名，八年级测试成绩的中位数和众数都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前 （3）140人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可求出七年级成绩的中位数m； （2）由题可得同学A在七年级的排名，由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，可知同学B在八年级的排名中在第17名或第17名之后，故可推出同学A排名更靠前； （3）根据频数分布直方图的数据和七年级测试成绩在70≤x＜80这一组的数据，可估算出七年级所有学生中成绩不低于75分的人数． 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在40≤x＜70的共有1+4+7=12（人）， 七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 ∵七年级抽取的是30名同学的数据， ∴七年级成绩的中位数； 【小问2详解】 根据频数分布直方图的数据，可知七年级测试成绩在80≤x＜90的有10人， 七年级测试成绩的数据在70≤x＜80这一组的是： 70 72 73 75 76 77 78 78 故可得出同学A在七年级的排名是第15名， 由八年级测试成绩的中位数和众数都是73，且八年级抽取的是30名同学的数据， 可知八年级的第15、16名的成绩都是73，故同学B在八年级的排名中在第14名或第14名之前， 故同学B排名更靠前； 【小问3详解】 （人） 故七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人． 【点睛】本题考查的是平时分布直方图、中位数、众数、用样本估计总体，能够综合运用以上知识分析数据是解题的关键． 19. 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°． （1）求点M到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米） 【答案】（1）3.9米；（2）货车能安全通过． 【解析】 【分析】(1)过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，在Rt△OMN中，求出ON的长，即可求得BN的长，即可求得点M到地面的距离； (2)左边根据要求留0.65米的安全距离，即取CE=0.65，车宽EH=2.55，计算高GH的长即可，与3.5作比较，可得结论． 【详解】(1)如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N， 在Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°， ∴ONOM＝0.6， ∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9， 即点M到地面的距离是3.9米； (2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7， 过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， ∵∠GOP＝30°，∴tan30°， ∴GPOP0.404， ∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5， ∴货车能安全通过． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 20. 已知、两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为_________千米/时，的值为____________． （2）求乙车出发后，与之间的函数关系式． （3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【答案】（1）40，480；（2）；（3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480； （2）根据题意直接运用待定系数法进行分析解得即可； （3）由题意分两车相遇前与相遇后两种情况分别列方程解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40（千米/时）； a=40×6×2=480， 故答案为：40；480； （2）设与之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点，， 所以解得 所以与之间的函数关系式为； （3）两车相遇前： 解得： 两车相遇后： 解得： 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝ (k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）1＜x＜4. 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标（1，4）代入，即可求出反比例函数的解析式； （2）一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y=﹣x+5的图象过点A（1，n）， ∴n=﹣1+5，解得：n=4， ∴点A的坐标为（1，4）． ∵反比例函数y=（k≠0）过点A（1，4）， ∴k=1×4=4， ∴反比例函数的解析式为y=． 联立，解得：或， ∴点B的坐标为（4，1）． （2）观察函数图象，发现： 当1＜x＜4.时，反比例函数图象在一次函数图象下方， ∴当一次函数y=﹣x+5的值大于反比例函数y=（k≠0）的值时，x的取值范围为1＜x＜4． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．解题的关键是：（1）联立两函数解析式成二元一次方程组；（2）求出点C的坐标；（3）根据函数图象上下关系结合交点横坐标解决不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组求出交点的坐标是关键． 22. 如图1，锐角中，D、E分别是、的中点，F是上的点，且，交于点M． （1）求证：； （2）点G在上，且，如图2， ①求证：； ②从线段上取一点H，连接使，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②1 【解析】 【分析】（1）证明，用等角对等边即可证明结论； （2）①由D、E分别是、的中点，可知，于是，，又，，根据等式性质得，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证； ②通过证明和，可得，又，所以． 【小问1详解】 证明：如图1所示， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①证明：如图2所示， ∵D、E分别是、的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ． ②解：如图3所示， ，， ， ∴， ， ，， ， 又， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，发现等线段是解决问题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3； （2）存在；P点坐标为（3，）． （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3） 【解析】 【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)． 把点A(0，4)代入上式，解得a＝． ∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－． ∴抛物线的对称轴是直线x＝3． (2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB． ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC． ∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC． ∴此时△PAB的周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋4． ∵点P的横坐标为3， ∴y＝－×3＋4＝． ∴P(3，)． (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大． 如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)． 过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D． 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4． 把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4． ∴G(t，－t＋4)． ∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t． ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋． ∵当t＝时，△NAC面积的最大值为． 由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3． ∴N(，－3)． 24. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E为射线AB上的动点，连接DE，作点A关于DE的对称点F，连接DF，EF，BF，CF． （1）如图1，当点F落在BD上时，求BE的长； （2）点E在射线AB上运动的过程中，是否存在为等腰三角形的位置，若存在，求AE的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1）BE= （2）存在为等腰三角形的位置，AE=0，或12-6或或 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质得出AD=AB=6，∠ABD=45°，利用勾股定理求出BD=，利用对称性质得出DF=AD=6，EF=AE，∠EFD=∠A=90°，可证△EFB是等腰直角三角形，得出BF=EF=AE， 设BE=x，AE=6-x, 利用勾股定理建立方程，解方程即可； （2）存在为等腰三角形的位置，分以下四种情况当点E与点A重合，点F与点E重合，此时AE=0时，△FBC为等腰直角三角形，当FC=BC=6=DF，取DE中点，过点H作GH⊥DE，交AD于G，连结EG，构造30度直角三角形求解；当BF=CF，连结AF，证明△ABF≌△DCF（SAS），再证△ADF为等边三角形，当FC=BC=6时，取DE中点为S，过点S作RS⊥DE，连结DR，构造30°直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD的边长为6，BD为对角线， ∴AD=AB=6，∠ABD=45°， ∴BD=， ∵A、F关于DE对称， ∴DF=AD=6，EF=AE，∠EFD=∠A=90°， ∴∠EFB=90°， ∴△EFB是等腰直角三角形， ∴BF=EF=AE， 设BE=x，AE=6-x， ∴在Rt△EFB中，，即， ， 解得， ∴BE=； 【小问2详解】 解：存在为等腰三角形的位置，分以下四种情况： 当点E与点A重合，点F与点E重合， 此时AE=0时，△FBC为等腰直角三角形， 取DE中点，过点H作GH⊥DE，交AD于G，连结EG， 当FC=BC=6=DF， ∴△DFC为等边三角形， ∴∠FDC=60°， ∴∠ADE=∠FDE=15°， ∵GH为DE的垂直平分线， ∴GE=GD， ∴∠GDE=∠GED=15°， ∴∠AGE=∠GDE+∠GED=30°， ∴GE=2AE，AG=， ∴2AE+=AD=6， ∴AE=12-6； 当BF=CF，连结AF， ∵BF=CF， ∴∠FBC=∠FCB， ∴∠ABF=90°-∠FBC=90°-∠FCB=∠DCF， 在△ABF和△DCF中， ， ∴△ABF≌△DCF（SAS）， ∴AF=DF=AD， ∴△ADF为等边三角形， ∴∠ADF=60°， ∴∠ADE=30°， ∴AE=ADtan30°=， 当FC=BC=6时，取DE中点为S，过点S作RS⊥DE，连结DR， ∵DF=CF=DC， ∴△DFC为等边三角形， ∴∠FDC=60°， ∴∠ADF=∠ADC+∠FDC=150°， ∴∠ADE=75°，∠AED=15° ∵RS为DE的垂直平分线， ∴DR=ER，∠RDE=∠RED=15°， ∴∠ARD=∠RDE+∠RED=30°， ∴DR=2AD=12，AR=， ∴AE=AR+RE=AR+DR=， 综合为等腰三角形，AE=0，或12-6或或． 【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，30°直角三角形性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数，本题综合性强，是图形变换的典型题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $