3.1.3 相似多边形 课时练习 2026-2027学年 北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦相似多边形概念、性质与判定，通过选择、填空、解答题分层设计，实现从概念辨析到综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|相似多边形概念、对应角/边关系|单选题1-8直接辨析图形相似性，填空题11-13强化周长比计算，夯实基础| |理解应用|相似性质应用、简单推理|解答题17-18结合图形求边长与角度，填空题14-16涉及正方形相似比，培养模型意识| |综合拓展|相似判定与几何综合|解答题19-22含菱形证明、动点相似分类讨论、矩形分割设计，发展空间观念与创新意识|

3.1.3 相似多边形 课时练习 一、单选题 1．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．120° 4．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 5．在如图所示的各组图形中，相似的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．下列说法正确的是（　　） A．相似多边形都是位似多边形 B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似 C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似 D．所有的菱形都相似 7．下列说法错误的是（　　） A．含 角的直角三角形与含 角的直角三角形是相似的 B．所有的矩形是相似的 C．所有边数相等的正多边形是相似的 D．所有的等边三角形都是相似的 8．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（　　） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 9．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（　　） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 10．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是　 　. 12．以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为　 　。 13．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为　 　 ． 14．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为　 　． 　 15． 同步练习）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是　 　度，最小角是　 　度． 16．图中的两个四边形相似，则 =　 　，a=　 　． 三、解答题 17．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长． 18．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度． 19．如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： . 20．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 21．如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值． （1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似． （2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割． 22．试判断如图所示的两个矩形是否相似． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解. 2．【答案】C 【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴ . 由此可得，只有选项C正确，故答案为：C. 【分析】先由两组对角分别相等得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边成比例列式，结合每项分别判断即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°， ∴∠E＝∠A＝80°， 故答案为：B 【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故答案为：C． 【分析】根据相似图形的判定方法：对应边成比例和夹角相等，逐项判定即可。 5．【答案】C 【解析】【解答】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例， ∴两图形不相似； ②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等， ∴两正方形相似； ③∵菱形的角相等，对应边的比也相等， ∴两个菱形相似． ④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等， ∴两个矩形不一定相似． 故答案为：C． 【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：A、当多边形对应顶点连线相交于一点，且对应边成比例的两个相似多边形是位似多边形，故A选项错误； B、因为三角形内角和为 ，所以有一个角100°的等腰三角形一定是顶角为100°，故两个等腰三角形三个角相等，故两个三角形相似，故B选项正确； C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C选项错误； D、正方形也属于菱形，与普通菱形不相似，故不是所有菱形都相似，故D选项错误. 故答案为：B. 【分析】根据三角形相似的判定可以判断出B、C选项，根据相似多边形以及位似多边形的性质判断A、D即可得出答案. 7．【答案】B 【解析】【解答】A. 含 角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含 角的直角三角形是相似的，故不符合题意； B. 若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意； C. 所有边数相等的正多边形是相似的，符合题意，故不符合题意； D. 所有的等边三角形都是相似的，符合题意，故不符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：用一个放大镜去观察一个五边形，放大后的五边形与原五边形相似， A.相似五边形的对应边成比例，所以各边长都变大，故A选项不符合题意； B.相似五边形的对应角相等，所以对应角大小不变，故B符合题意; C.相似五边形的周长得比等于相似比，故C选项不符合题意; D.相似五边形的面积比等于相似比的平方，故D选项不符合题意. 故答案为：B． 【分析】用放大镜观察一个图形，则与原图形相似，根据相似图形的性质进行判断.即相似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 9．【答案】B 【解析】【解答】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断. ∵ ∴是相似形的是甲和丙 故答案为：B. 【分析】根据多边形相似的判定定理，即可得到答案。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a， ∵小长方形与原长方形相似， ∴ = ， ∴a=2b． 故答案为：B 【分析】由题得对折两次后的小长方形纸片的长和宽，再根据相似多边形的性质可得，化简可得a与b的关系。 11．【答案】28 【解析】【解答】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有 x：（1+2+3+4+5+6）=8：6， 解得x=28． 故另一个多边形的周长是28． 【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答． 12．【答案】 ：1 【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则新正方形的边长为， ∴ 新正方形与原正方形的相似比为. 故答案为：. 【分析】设正方形的边长为2，根据题意求出新正方形的边长为，再根据相似多边形的性质得出新正方形与原正方形的相似比为，即可求解. 13．【答案】6 【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似 则 解得 故答案为：6． 【分析】根据相似多边形的性质即可得． 14．【答案】 【解析】【解答】解：设BG=x， 则BE= x， ∵BE=BC， ∴BC= x， 则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2， 故答案为： 【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比. 15．【答案】80；40 【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°． ∴另一个内角为：180°-40°-60°=80°， ∵两个三角形相似， ∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°． 故答案为：80，40 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可求解。 16．【答案】63；85° 【解析】【解答】解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以 ，解得x=36，y=27，则 ． ． 故答案为63；85° 【分析】两个四边形相似，可得出它们的对应角相等，对应边成比例，就可求出答案。 17．【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14， ∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14， ∵四边形ABCD的周长为40， ∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14． ∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14 【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。 18．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似， ∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ， ∴ ， ∴EH=28（cm）． 答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm 【解析】【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形EFGH相似，可得出它们的对应边成比例，对应角相等，就可求出∠α、∠β的大小及EH的长度。 19．【答案】解：∵菱形 菱形 ， ∴∠DAB=∠EAG， ∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD， ∵四边形ABCD、AEFG都是菱形， ∴AE=AG，AB=AD， 在△EAB和△GAD中 ， ∴△EAB≌△GAD， ∴GD=EB. 【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB. 20．【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s． 【解析】【分析】由题意根据路程=速度时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解： ①当△APQ∽△ABC时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解； ②当△APQ∽△ACB时，可得比例式，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。 21．【答案】解：（1）∵是自相似2分割， ∴BF=FC=BC， 根据相似矩形对应边成比例， ∴a•a=1， 解得a=； （2）如图所示： 【解析】【分析】（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可； （2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解． 22．【答案】解：这两个矩形的角是直角，因而对应角一定相等， 小矩形的长是40﹣10﹣10=20，宽是20﹣5﹣5=10， 因为=，即两个矩形的对应边的比相等， 因而这两个矩形相似． 【解析】【分析】如果两个矩形的对应角相等，且对应边的比相等，那么这两个矩形相似，依此判断即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $