2.2.1 用配方法求解一元二次方程 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，梯度化巩固配方法解一元二次方程，培养运算能力与推理意识，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|配方步骤与结果判断|10道单选题聚焦配方关键环节，强化概念理解| |技能应用|配方变形与代数式求值|6道填空题训练配方变形技能，提升运算准确性| |综合拓展|纠错、规律探究与实际应用|8道解答题含方程求解、错误分析及几何模型应用，发展推理与模型意识|

2.2.1 用配方法求解一元二次方程 课时练习 一、单选题 1．用配方法解方程 的过程中，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2） 2＝3 C．（x+2） 2＝5 D．（x+2） 2＝3 3．一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 4．将一元二次方程 配方，其正确的结果是（　　） A． B． C． D． 5．若用配方法解一元二次方程 ，则方程可变形为（　　） A． B． C． D． 6．一元二次方程2x2＋6x＋3＝ 0 经过配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 7．下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．把方程 配方成 的形式，结果应是（　　） A． B． C． D． 9．用配方法解下列方程时，配方错误的是（　　） A． 化为 B． 化为 C． 化为 D． 化为 10．若用配方法解方程 ，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．将一元二次方程 变形为 的形式为　 　. 12．当 　 　时，代数式 的值等于 ． 13．当 　 　时，代数式 与 的值相等. 14．用配方法解方程 时，可配方为 ，其中 　 　. 15．一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=　 　. 16．规定： ，如： ，若 ，则 ＝　 　. 三、解答题 17．解方程： x2﹣x﹣1＝0． 18．用配方法解方程： . 19．用配方法解方程： . 20．用配方法解方程2x2-6x+1=0 21．解方程：2x2﹣5x+1=0 22．已知多项式 ． （1）化简多项式 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是　 　；请写出正确的解答过程　 　． （2）小亮说：“只要给出 的合理的值，即可求出多项式 的值．”小明给出 值为4，请你求出此时 的值． 小明的作业 解： 23．根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为　 　； ②方程x2－3x＋2＝0的解为　 　； ③方程x2－4x＋3＝0的解为　 　； …… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为　 　； ②关于x的方程　 　的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的符合题意性． 24．阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。 他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解： 将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。 所以(x＋1)2＝36，则 x＝5. 任务：请回答下列问题 （1）上述求解过程中所用的方法是（　　） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 （2）所用的数学思想方法是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想 （3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解： ， 移项得， ， 配方得， ， 即 ， 故答案为：A. 【分析】用配方法解方程即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：移项得 x2+4x＝-1 配方得： x2+4x+4＝-1+4 ∴ （x+2） 2＝3 故答案为：D. 【分析】先移项，再在方程两边同时加上4，然后将方程左边写成完全平方公式即可. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ，即 ， 故答案为：B． 【分析】先将常数项3移到等号右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解： ， 配方得： ，即 . 故答案为：D. 【分析】在方程的两边同时加上1，再将方程左边写成完全平方，可得答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：x2－4x=5， x2－4x+4=9， （x－2）2=9. 故答案为：B. 【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方4，然后将方程左边写成完全平方式，可得答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＝−3， ∴x2＋3x＝− ， 则x2＋3x＋ ＝− ＋ ，即（x＋ ）2＝ ， 故答案为：A． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：解方程 ， 去分母得： ，即 ， 配方得： ，即 ， 开方得： ， 解得： ， 则四个步骤中出现错误的是④． 故答案为： ． 【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，得出结果. 【分析】根据配方法求解即可。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：A、 化为 ； B、 化为 ； C、 化为 ； D、 化为 ； 故答案为：C． 【分析】利用配方法的计算方法逐项判定求解即可。 10．【答案】C 【解析】【解答】解：方程 变形为 ， ∴ 故答案为：C 【分析】利用配方法逐项判定即可。 11．【答案】 【解析】【解答】解： 移项得 ， 配方得 即 故答案为： . 【分析】根据配方法的步骤，先把常数项移到方程的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，再把方程的左边写成完全平方的形式，右边合并同类项，即可得出答案. 12．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4， 配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5， 开方得：x-1=± ， 解得：x=1± ． 故答案为1± ． 【分析】根据题意得：3x2-6x=12，利用配方法求解即可。 13．【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意得 =x-1， 整理得： ， ∴ ， 解得：x=1 故答案为：1. 【分析】根据题意得出 =x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得. 14．【答案】-6 【解析】【解答】解： ， ， ， 可配方为 ， . 故答案为： . 【分析】把方程 左边配成完全平方，与 比较即可. 15．【答案】6 【解析】【解答】根据题意，(x−3) 2=3可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=6. 【分析】将方程 (x-3)2=3 展开，可得x2-6x+6=0，从而求出a值. 16．【答案】1或-3 【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3， 整理，得 x2+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3. 故答案是：1或-3. 【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可. 17．【答案】解：∵ x2﹣x﹣1＝0， ∴x2﹣2x﹣2＝0， ∴x2﹣2x+1＝3， ∴（x﹣1）2＝3， ∴x＝1± ； 【解析】【分析】利用配方法求解即可。 18．【答案】解： ， 解得 ， . 【解析】【分析】首先将含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；其次配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方36，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项；最后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解. 19．【答案】解： ， 移项得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： ， 解得： ， . 【解析】【分析】根据配方法解方程的步骤依次移项、配上一次项系数一半的平方，写成完全平方形式，最后开方可得. 20．【答案】解：2x2-6x+1=0， 二次项系数化为1得， ， 移项得， ， 两边加上一次项系数一半的平方得， ， 配方得， ， 开方得， ， ∴x1= ，x2= 【解析】【分析】先把二次项系数化为1，再配方，然后用直接开方法解方程即可． 21．【答案】解：∵2x2-5x=-1， ∴ ， ∴ ，即 ， 则 ， ∴x= 【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可. 22．【答案】（1）①；正确的解答过程如下： （2）解： 或 或 方法一： 当 时， 当 时， 方法二： 当 时， 当 时， 综上，此时 的值为10或 ． 【解析】【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x的值，再代入（1）中的化简结果即可得． 23．【答案】（1）x1＝1，x2＝1；x1＝1，x2＝2；x1＝1，x2＝3 （2）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0 （3）解：x2－9x＋8＝0 x2－9x＝－8 x2－9x＋ ＝－8＋ (x－ )2＝ ∴x－ ＝± ． ∴x1＝1，x2＝8 【解析】【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可. 24．【答案】（1）C （2）B （3）解：如图所示， 大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16， 而x2+8x−9=x2+8x+16−25=0. 所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1. 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法， 故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的， 故答案为：B. 【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $