13.3.2 三角形的外八大题型 训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形外角概念和性质为核心，通过八大题型一例三练，系统构建从概念辨析到综合应用的解题方法体系，逻辑递进覆盖中考高频考点，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1例3变式|定义判断法|从外角定义出发，辨析图形特征，强化抽象能力| |角度计算|1例3变式|性质直接应用|应用外角等于不相邻内角和，培养运算能力| |平行线综合|1例3变式|平行性质转化|结合平行线性质与外角定理，发展推理意识| |角平分线综合|1例3变式|角平分线模型|构建角平分线与外角关系模型，提升逻辑推理| |三角板应用|1例3变式|三角板角度迁移|利用三角板固定角度，强化几何直观| |翻折问题|1例3变式|折叠性质转化|通过翻折不变性转化角度，培养空间观念| |新定义问题|1例3变式|定义建模法|理解新定义建立方程，发展创新意识| |实际应用|1例3变式|实际问题抽象|将现实情境抽象为几何模型，提升应用意识|

13.3.2 三角形的外角八大题型 一例三练（学生版） （2026年7月） 【题型1 三角形外角的概念】 【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【题型4 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【题型6 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【题型8 三角形的外角性质的应用】 知识点1 三角形的外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 知识点2 三角形外角的性质 性质： 1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如上图：∠A+∠B=∠ACD 2.三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角. ∠ACB+∠ACD=180° 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角， ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 【题型1 三角形的外角概念】 【例1】是下图中某个三角形的外角，该三角形是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-2】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下图中∠ 1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】 【例2】体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【变式2-2】一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例3】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，两个直角三角板的直角顶点A，D分别在斜边，上，且，， ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【变式3-3】如图，直线，，，若求的度数． 【题型4 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【例4】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，平分，与边交于点，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为________． 【变式4-2】某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【变式4-3】如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【例5】如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． (4)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．当的某条边与的某条边平行时，直接写出锐角的度数． 【题型6 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【例6】如图，在中，，将沿着直线翻折，使点与点重合，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【例7】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【变式7-1】在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【变式7-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【变式7-3】定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【题型8 三角形的外角性质的应用】 【例8】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【变式8-2】如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【变式8-3】图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，即，． (1)若，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若光线与直管壁平行，求的度数； (3)如图2，调整平面镜，的角度，设（），，若在直管壁处放置一块平面镜，当光线经过镜面处反射后照射到直管右壁时，经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，请直接写出此时与的数量关系． 13.3.2 三角形的外角八大题型 一例三练（教师版） （2026年7月） 【题型1 三角形外角的概念】 【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【题型4 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【题型6 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【题型8 三角形的外角性质的应用】 知识点1 三角形的外角的概念 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 知识点2 三角形外角的性质 性质： 1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 如上图：∠A+∠B=∠ACD 2.三角形的外角与和它相邻的内角互为邻补角. ∠ACB+∠ACD=180° 3.三角形的外角和等于360°． 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角， ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°． 【题型1 三角形外角的概念】 【例1】是下图中某个三角形的外角，该三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的定义； 根据三角形外角的定义可得答案． 【详解】解：是的一个外角， 故选：D． 【变式1-1】如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形． 【详解】解：∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角大于， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式1-2】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 【变式1-3】下图中∠ 1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】 【例2】体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】解：由题意可得： 【变式2-1】如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：135． 【变式2-2】一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【详解】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 【变式2-3】在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例3】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，两个直角三角板的直角顶点A，D分别在斜边，上，且，， ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出的度数，分点P在点E与之间、点P在下方、点P在点E上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立、和的关系，据此判断即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 分情况讨论： （1）当点P在点E与之间时： 设与交于点， 是和的外角， ， ， ； （2）当点P在下方时： 如图，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ； （3）当点P在点E上方时： ， 在四边形中，， ， ， 综上所述，点在运动过程中，与的关系可能是：①②③． 【变式3-3】如图，直线，，，若求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为与平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型4 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【例4】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，在中，平分，与边交于点，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形外角的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据是的高，结合三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：是的边上的高， ， ， 平分， ， 是的外角， ． 【变式4-2】某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解： ， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解： ， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解： ，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 解得：． 【变式4-3】如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点；作和的平分线交于点；…；以此类推得到点，则的大小为_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，整理可得，同理可得，由此推出，即可求解． 【详解】解： 与的平分线交于点， ， ， ， ， 同理可得， …… 以此类推， 的大小为． 【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【例5】如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式5-1】如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式5-2】将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可确定，，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式5-3】在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． (4)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．当的某条边与的某条边平行时，直接写出锐角的度数． 【答案】(1) (2)证明：， ．   (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求解． （2）根据，即可得出； （3）根据三角形的外角的性质，即可求解； （4）分五种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质以及三角板的角度，即可求解． 【详解】（1）解：依题意 ∴； （2）上面已证明 （3）解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为 如图②，直线与相交所成的锐角的度数为 （4）如图③，， ∴ ∴ 如图④，， ∴ 如图⑤， ∴ ∴ ∴ 如图⑥， ∴ 如图⑦， ∴ ∴ ∴ 综上所述，锐角的度数为或或或． 【题型6 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【例6】如图，在中，，将沿着直线翻折，使点与点重合，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折得到垂直平分，，由直角三角形两锐角互余得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵将沿着直线翻折，使点与点重合， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【变式6-1】如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质求出，然后利用三角形的外角定理求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∴， ∴． 【变式6-2】如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据翻折的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴． 【变式6-3】【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如：，，，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则______； (2)如图1，在中，，是的角平分线，过作，射线平分且与射线交于点，若与互为“黄金角”，求的度数； (3)如图2，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，．若和互为“黄金角”，求的度数； (4)如图3，将纸片沿折叠，使点落在四边形外部处，若和互为“黄金角”，求的度数． 【答案】．(1) (2)的度数为或 (3)的度数为或 (4) 【分析】（1）根据题意构造二元一次方程组求解； （2）首先表示出，，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别表示出，然后利用三角形内角和定理列方程求解； （3）首先根据三角形内角和定理和折叠的性质得到，然后根据“黄金角”的定义分两种情况讨论，分别联立方程组求解即可； （4）设与交于点F，由折叠得，然后利用三角形外角的性质得到，然后结合“黄金角”的定义求解． 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ∴， 解得； （2）解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互为“黄金角”， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的度数为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 由折叠得， ，， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴当时， 联立得， ， 解得； 当时， 联立得， ， 解得； 综上所述， 的度数为或； （4）解：如图，设与交于点F， 由折叠得， ， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“黄金角”， ∴， ， ∴． 【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【例7】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 【变式7-1】在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）根据三角形内角和定理得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）当是锐角时，先证明，再由角平分线的定义和平角的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可证明结论；当是钝角时，同理可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：根据表格可猜想 （3）解：如图③所示，当是锐角时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 如图④所示，当是钝角时，同理可得． 【变式7-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）见解析；（3）或． 【分析】（）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据是“和谐三角形”，即可求解； 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”； 故答案为：， 不是； （）∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， ∵， ∴或． 【变式7-3】定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 【题型8 三角形内角和的应用】 【例8】如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 【变式8-1】如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 【详解】解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 【变式8-2】如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】图1是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，即，． (1)若，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若光线与直管壁平行，求的度数； (3)如图2，调整平面镜，的角度，设（），，若在直管壁处放置一块平面镜，当光线经过镜面处反射后照射到直管右壁时，经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，这样经过三次反射后，离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1)，理由： ， ， ，， ， ； (2) (3)或 【分析】（1）根据题意可得，即可推出； （2）根据题意可得，则，根据题意可得，则，根据，即可解答； （3）分两种情况讨论，即或，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， 根据题意可得， ， ， ，即， 解得， ； （3）解：离开潜望镜的光线与入射光线的夹角为，与入射镜筒壁平行， 或， 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即； 当时， ， ， ， ， 如图，延长交于点,则可得, , , , ,即，不符合题意， 综上，或. 试卷第2页，共3页 38 / 51 学科网（北京）股份有限公司 51 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $