空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元综合检测，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间向量运算、线面关系及夹角计算，适配高中数学单元复习，助力数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型观念）素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量运算、线面平行判定|基础巩固，直接考查概念| |多选题|3/18|法向量、投影向量|能力提升，辨析空间关系| |填空题|3/15|异面直线夹角、正方体动态问题|创新应用，结合几何体动态| |解答题|5/77|折叠问题、面面垂直、线面角|综合探究，如第16题折叠问题考查空间观念，第18题菱形背景体现推理能力|

空间向量与立体几何全章综合检测 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.已知向量，则 A. B. C. D. 2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 3.若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于(　　) A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11 4.已知均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么 A. B. C. D. 5.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 6.在正四棱柱中，，点在棱上，且，点为的中点，则点到直线的距离是( ) A. B. C. D. 7.已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 10.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（） A.已知，则在上的投影向量的坐标为 B.若向量且在夹角的余弦值为，则或 C.已知三棱锥，点为平面内的一点，且()，则 D.已知向量不共线，若，则可以构成空间的一个基底 11.（多选）如图，四面体中，为的中点，点是棱上的动点，则下列说法正确的是（） A. B.当是靠近点的三等分点时，共面 C.当时， D.的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________． 13.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分) 14.如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确有 . ①D1P⊥AB1；②D1P与AC所成的角可能是；③是定值；④当A1P＝2PB时，点C1到平面D1AP的距离为2. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点． （1）若，求x+y+z的值； （2）求． 16.（15分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝DC＝1，DE⊥AB于E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB＝90°，N，F分别是棱BC，PB的中点． （1）证明：EF⊥BC； （2）求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值． 17.（15分）四棱锥P﹣ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点． （1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB； （2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值． 18.（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F， M分别为PC，BD和AD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PMB⊥平面PAD； （3）若PA＝AD＝PB，求直线AC与平面PAD夹角的正弦值． 19.（17分）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD，AB＝AE＝1，CD＝3，把 三角形DAE沿着AE翻折，得到图2所示的四棱锥D﹣ABCE，，记二面角D﹣ AE﹣C的平面角为θ． （1）证明：AD∥平面BEM； （2）当θ＝90°时，求证：CB⊥平面BDE； （3）当θ＝60°时，求点A到平面BEM的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何全章综合检测 时间120分钟 总分：150分 姓名： 得分： 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1.已知向量，则 A. B. C. D. 解：方法1:由已知得，所以. 方法2: .故选：A. 2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 解：由l∥α，故a⊥μ，即a·μ＝0.故选D. 3.若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x等于(　　) A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11 解：因为a·b＝(x，4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为， 所以，解得x＝3或－11(舍去)，故选A. 4.已知均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么 A. B. C. D. 解：已知均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，则，则 .故选：C. 5.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 解：c＝ma＋nb＋(4，－4,1)＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1) ＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)， 由c为平面α的法向量，得，即，解得.故选：A. 6.在正四棱柱中，，点在棱上，且，点为的中点，则点到直线的距离是( ) A. B. C. D. 解：连接，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 可得，则，所以点到直线的距离为故选：A. 7.已知空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 A. B. C. D. 解：因为,，与夹角的余弦值为， 所以在上的投影向量为.故选：D. 8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解：如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)， ∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)． 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，得n＝. 又平面ABE的法向量为m＝(1,0,0)， ∴cos〈n，m〉＝. ∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9.（多选）已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 解：因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足与法向量垂直，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选ABC. 10.（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（） A.已知，则在上的投影向量的坐标为 B.若向量且在夹角的余弦值为，则或 C.已知三棱锥，点为平面内的一点，且()，则 D.已知向量不共线，若，则可以构成空间的一个基底 解：在上的投影向量为，A正确； ，显然，等式两边平方后化简得，得，B错误； 点为平面内的一点，设，即，所以，又，故 故.C正确； 已知向量不共线，设，则解得.所以，所以共面，所以不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC. 11.（多选）如图，四面体中，为的中点，点是棱上的动点，则下列说法正确的是（） A. B.当是靠近点的三等分点时，共面 C.当时， D.的最小值为 解：以为基底，则.对于A，因为，所以，A错误； 对于B，当是靠近点的三等分点，即时，，所以共面，B正确； 对于C，因为，所以，所以，即，C正确； 对于D，设，则，所以，当时，取到最小值，为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12.在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________． 解：不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)． ∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)． cos〈，〉＝.故答案为：. 13.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分) 解：(1)以D为原点，以DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示， A1(1,0,1)，E，B(1,1,0) ，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内， 所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)， ＝，＝(a－1，b－1,1)，＝(m－1，n－1,1) ， 因为BP⊥A1E , BQ⊥A1E ， 所以 ，解得. ＝(n－b，n－b，0)，＝(－1，－1,0) ，所以PQ与BD的位置关系是平行． (2)由(1)可知：b－a＝，. 当a＝时，有最小值，最小值为. 14.如图所示，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确有 . ①D1P⊥AB1；②D1P与AC所成的角可能是；③是定值；④当A1P＝2PB时，点C1到平面D1AP的距离为2. 解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点， DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），B1（3，3，3），D（0，0，0），C1（0，3，3），设P（3，a，3﹣a），（0＜a＜3），则，， 因为3a﹣3a＝0，所以D1P⊥AB1，故①正确； 因为， 所以， 若D1P与AC所成的角是，则，即， 整理得（2a+3）2＝0，解得，与0＜a＜3矛盾，故②错误； 因为（0，a，3﹣a），（0，3，3）， 所以，为定值，故③正确； 当A1P＝2PB时，P（3，2，1）， 则，，， 设平面D1AP的一个法向量为， 由，令z＝2，则x＝2，y＝﹣1， 则平面D1AP的一个法向量， 故点C1到平面D1AP的距离为，故④错误． 故答案为：①③． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15.（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点． （1）若，求x+y+z的值； （2）求． 解：（1）根据题意可知，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝3，E，F分别为CA1，AB的中点， ，又因为，则， 所以x+y+z＝0； （2）由题意可知：，又因为， 所以． 16.（15分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝DC＝1，DE⊥AB于E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB＝90°，N，F分别是棱BC，PB的中点． （1）证明：EF⊥BC； （2）求平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值． 解：（1）证明：依题意，由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，EB，ED⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面EBCD，而BC⊂平面EBCD， 则BC⊥PE，而BC⊥BE，PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PEB， 所以BC⊥平面PEB，又EF⊂平面PEB， （2）由（1）知，直线EB，ED，EP两两垂直， 以E为原点，直线EB，ED，EP分别为x，y，z建立空间直角坐标系， 由F是棱PB中点，N为BC的中点， 则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），，，，， （1，1，﹣2），（0，1，﹣2）， 设平面EFN的法向量为（x，y，z），则， 取z＝1，得（﹣2，4，1）， 设平面PCD的法向量（a，b，c），则， 取c＝1，得（0，2，1）， 因此， 所以平面EFN和平面PCD的夹角的余弦值为． 17.（15分）四棱锥P﹣ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点． （1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB； （2）若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值． 解：（1）证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， ∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°， 不妨设AD＝CD＝2，∴，∴BC＝4， ∵E、F分别为BC、PD的中点，∴2，∴GM＝1， ∵∠DAC＝45°，∠ACB＝45°，∴AD∥BC，∴FN∥GM， ∴四边形FGMN为平行四边形，∴FG∥MN， ∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB； （2）∵PA⊥平面ABCD， ∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），，， ∴，，， 设平面PCD的一个法向量为， ∴，∴，取x＝1，∴y＝﹣1，z＝1， ∴（1，﹣1，1）， 设AB与平面PCD成的角为θ， 则， 即AB与平面PCD成角的正弦值为． 18.（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F， M分别为PC，BD和AD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：平面PMB⊥平面PAD； （3）若PA＝AD＝PB，求直线AC与平面PAD夹角的正弦值． 解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，则F是BD中点的同时也是AC中点， 因为E，F分别为PC，AC的中点， 所以EF∥PA， 又因为PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， 所以EF∥平面PAD； （2）证明：因为PA＝PD，M是AD中点，等腰三角形三线合一， 所以PM⊥AD， 又因为DA＝AB，∠DAB＝60°，所以△DAB是等边三角形， 而M是AD中点，等边三角形三线合一，所以BM⊥AD， 因为BM∩PM＝M， 所以AD⊥平面PMB， 而AD⊂平面PAD， 故平面PMB⊥平面PAD； （3）解：由（2）可知BM⊥MA，故以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过点M垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AD＝PB＝2，可得M（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），，， 则，， 再设P（x，y，z），由PA＝PD＝2，，PB＝2， ，解得， 即，， 设平面PAD的法向量， ，即， 令c＝﹣1，则， 可得•3×020×（﹣1）＝2，||2， ||3，可得cos，， 设直线AC与平面PAD夹角为θ，sinθ＝|cos，|． 故直线AC与平面PAD夹角的正弦值为． 19.（17分）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AE⊥CD，AB＝AE＝1，CD＝3，把 三角形DAE沿着AE翻折，得到图2所示的四棱锥D﹣ABCE，，记二面角D﹣ AE﹣C的平面角为θ． （1）证明：AD∥平面BEM； （2）当θ＝90°时，求证：CB⊥平面BDE； （3）当θ＝60°时，求点A到平面BEM的距离． 解：（1）证明：连接AC交BE于点O，连接OM， 由题意知，EC＝2，易知△AOB∽△COE， 则有．因为，所以， 根据相似性得AD∥OM，又OM⊂平面BEM，AD⊄平面BEM，所以AD∥平面BEM． （2）证明：如图，因为翻折前AE⊥CD，所以翻折后CE⊥AE，ED⊥AE， 由二面角的定义可知，二面角D﹣AE﹣C的平面角θ＝∠CED， 当θ＝90°时，∠CED＝90°，即ED⊥CE， 又因为DE⊥AE，且AE∩CE＝E，AE，CE⊂平面ABCE， 所以DE⊥平面ABCE，因为BC⊂平面ABCE，所以DE⊥BC， 在△BCE中，易知，，CE＝2， 满足：BE2+BC2＝CE2，由勾股定理可知，BC⊥BE， 因为BC⊥DE，且DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BDE，所以BC⊥平面BDE． （3）过点D作DH⊥EC于点H，，，， 作MG⊥EC于G，连接BG， 因为CE⊥AE，ED⊥AE，CE∩ED＝E，CE、ED⊂平面CDE， 所以AE⊥平面CDE，又MG⊂平面CDE，所以AE⊥MG， 因为AE⊥MG，MG⊥EC，AE∩EC＝E、AE、EC⊂平面ABCE， 所以MG⊥平面ABCE， 因为，所以，所以，CG＝1，，BG＝1， 所以， ， ， 所以△BME为等腰三角形，且BE边上的高， 所以， 令A到平面BME的距离为d，且， 因为VA﹣BME＝VM﹣ABE， 所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $