第一章 空间向量与立体几何 期末复习单元测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025学年期末复习（人教A版选必一第一章空间向量与立体几何） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.在四棱锥中，，，则底面的一个法向量可以为(    ) A. B. C. D. 3.已知点，，，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 7.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知，，点在直线上，且设，若，则的值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间直角坐标系中的四点，，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有(    ) A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与夹角的正切值为 D. 异面直线与夹角的余弦值为 11.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面内四边形的内部且包括边界的动点，且，则下列说法正确的有(    ) A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为 C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，，若点在平面内，则          ． 13.已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为          ． 14.如图所示，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点若，，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间三点，，，设，． 求和的夹角的余弦值 若向量与互相垂直，求的值． 16.本小题分 如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 18.本小题分 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，，分别为，上的点，且，． 求证：平面． 求直线与平面所成角的正弦值． 求平面与平面夹角的余弦值． 19.本小题分 如图，在四棱柱中，四边形是一个边长为的菱形，，侧棱平面，． 求二面角的余弦值． 设是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 2025学年期末复习（人教A版选必一第一章空间向量与立体几何） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为， 可得点关于平面的对称点的坐标为， 2.在四棱锥中，，，则底面的一个法向量可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：设平面的法向量为，则， 令，可得，，即． 令，可得，，即． 3.已知点，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解：由已知，得 ，，所以． 4.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解：， 5.已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 解：若平面，则，，，反之，若，则，，并不能保证平面． 6.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 解：依题意得，，则点到直线的距离为． 7.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 解：由题可得．又动点在所在平面内运动， 所以，解得． 8.已知，，点在直线上，且设，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 解：设，则，，． ，即， ，，，． 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知空间直角坐标系中的四点，，，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABD  解：，项正确，，项正确 ，，不成立，项错误 ，，，项正确． 10.如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有(    ) A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与夹角的正切值为 D. 异面直线与夹角的余弦值为 【答案】BCD  解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示：设，则， 则，，，，，，，， 对于选项，，， 则，故与不垂直， 进而可知与平面不垂直，选项错误； 对于选项，在正四棱柱中， 且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，选项正确； 对于选项，，与所成的角为， 四边形为正方形，，选项正确； 对于选项，，， 则，， 异面直线与所成角的余弦值为，选项正确． 11.在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点是底面内四边形的内部且包括边界的动点，且，则下列说法正确的有(    ) A. 动点的轨迹是一段圆弧 B. 动点的轨迹长度为 C. 线段长度的最小值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】BCD  解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，． 设，，， 则，． 由，可知，即． 记，的中点为，可知点在直线上，易知， 所以项错误，项正确． 因为，所以 ，所以的最小值为，所以项正确． 平面的一个法向量可以取， 因为， 设直线与平面所成角为，， 所以，，则， 所以直线与平面所成角的正切值最大为，项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点，，若点在平面内，则          ． 【答案】  解：由题意，得， 因为点在平面内，所以，、， 所以．则，解得，， 13.已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为          ． 【答案】  解：设，又，，， 由题意得点的坐标为． 14.如图所示，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点若，，则          ． 【答案】  解：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，则，， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知空间三点，，，设，． 求和的夹角的余弦值 若向量与互相垂直，求的值． 【答案】解：， ． 所以，即与的夹角的余弦值为． 因为， ， 所以． 即，所以或．  16.本小题分 如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面． 【答案】如图所示，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，，则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以，因为平面的一个法向量为，  所以，即又因为不在平面内，所以平面   ，所以，所以， 又不在平面内，所以平面又因为，，平面， 所以平面 平面．  17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则 又， 设点到平面的距离为，则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接，． 由，． 取的中点，连接． ，，， 可得． 设点到平面的距离为，由， 得，解得，即点到平面的距离为． ． 18.本小题分 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，，分别为，上的点，且，． 求证：平面． 求直线与平面所成角的正弦值． 求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】解：证明：如图，在上取一点，使得，连接，， 易知，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 同理， 所以F. 因为平面，平面， 所以平面． 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则，即． 今，则，，于是， 设直线与平面所成的角为， 则． 则直线与平面所成角的正弦值为． 由知，，． 设平面的法向量为， 则，即 令，则，，于是． 设平面与平面所成的角为，因为为锐角， 所以． 则平面与平面夹角的余弦值为．  19.本小题分 如图，在四棱柱中，四边形是一个边长为的菱形，，侧棱平面，． 求二面角的余弦值． 设是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】解：由题意，是正三角形，设是的中点，连接，则， 所以． 由平面，得，，即，，两两垂直． 如图，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，，，． 显然，平面的一个法向量是． 设平面的法向量为， 则 令，得． 设二面角的平面角为由图可知为锐角， 则． 故二面角的余弦值为． 设． 因为，， 所以，又，， 所以，． 设平面的法向量为， 则 令，得 因为，， 所以 因为平面，所以， 即 ，解得， 所以线段上存在点，使得平面，此时．  1 学科网（北京）股份有限公司 $