第二章 直线和圆的方程单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修2直线和圆的方程单元卷，覆盖直线方程、圆的方程等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学眼光、逻辑推理与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|倾斜角、直线平行与距离、交点象限|基础概念辨析，如倾斜角计算| |多选题|3题|点关于直线对称、直线围成三角形|多选项设计，考查分类讨论能力| |填空题|3题|圆的直径、斜率范围、单位圆与直线关系|情境化问题，如斜率范围确定| |解答题|5题|点斜式方程、中点坐标、等腰直角三角形、圆的方程、轨迹方程|综合应用，如轨迹方程探究发展逻辑推理，光线反射问题培养数学眼光|

高中数学人教A版直线与圆的方程双向细目表 考查范围：选择性必修第一册 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 2.1.1倾斜角与斜率 2 容易 2.1.2两条直线平行和垂直的判定 3 容易 2.2直线的方程 容易 2.3直线的交点坐标与距离公式 5 容易 2.3.1两条直线的交点坐标 6 容易 23.3点到直线的距离公式 适中 2.4圆的方程 8 困难 2.5直线与圆、圆与圆的位道关系 二、多选题 9 容易 第二章直线和圆的方程 10 适中 2.3直线的交点坐标与距离公式 11 困难 2.5直线与圆、圆与圆的位道关系 三、填空题 12 容易 2.4圆的方程 13 适中 2.1.1倾斜角与斜率 14 困难 2.5直线与圆、圆与圆的位省关系 四、解答题 15 容易 2.2直线的方程 16 容易 2.3直线的交点坐标与距离公式 17 容易 2.4圆的方程 18 适中 2.5.1直线与圆的位道关系 19 困难 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 高中数学人教A版选择性必修一直线和圆的方程解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A B B C D AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2．C 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3．A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 4．A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 5．B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 6．B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 7．C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 8．D 【分析】由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果. 【详解】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 9．AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 10．ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 11．ACD 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，，    因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图：    连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，    因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图：    设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 12． 【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心的坐标，然后结合题意以及中点坐标公式即可求解. 【详解】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 13． 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 14． 【分析】先确定单位圆与轴交点、的坐标，设点的坐标为，将用的坐标展开化简，得到关于的表达式，因为在直线上，所以可将表达式转化为仅含的不等式，最后利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】令，代入，得，所以， 设直线上任意点， ， 所以 . 由题对任意恒成立，即对满足的所有恒成立， 将代入不等式得 ， 整理为关于的二次不等式 ，对任意恒成立， 因为，二次函数开口向上，只需判别式： 得到 ， 解得. 所以的取值范围是.    15．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标； （2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案. （3）由点A，B，D能构成三角形，得到三点不共线，列不等式求解. 【详解】（1） 是线段AB的中点，记为坐标原点， ，； （2） 设，则， 因为，，解得：， ∴点的坐标是． （3）点A，B，D能构成三角形，则三点不共线， 所以与不共线， 又，，所以， 解得. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 18．(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 19．(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据，得出动点的轨迹方程； （2）（i）两圆作差，得出公共弦所在直线的方程，求出圆心和半径，从而得出圆的方程； （ii）先假设存在这样的点，根据条件得，通过根与系数的关系，求出的值. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修2直线和圆的方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，则（    ） A．2 B．或2 C． D．或1 3．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 7．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 二、多选题 9． (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 11．在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题 12．已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 13．已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 14．已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 四、解答题 15．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 16．已知点是线段AB的中点． (1)求点和的坐标； (2)若是轴上一点，且满足，求点的坐标． (3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 17．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 18．已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 19．已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $