第二章 直线和圆的方程 强化训练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学第二章“直线和圆的方程”单元复习卷，45分钟100分，通过基础与综合题型梯度设计，强化斜率、直线方程、平行垂直等核心知识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6/30|斜率比较、直线方程求法、方向向量|结合图形考查斜率（几何直观），基础概念辨析| |多项选择|2/12|平行垂直判定、方向向量、截距|多选项设计考查逻辑推理（数学思维）| |填空题|4/20|交点直线、对称直线、取值范围|综合运用方程与几何性质（空间观念）| |解答题|3/38|平行判定、倾斜角应用、内接正方形面积|第15题结合几何图形求面积最值（模型观念），体现真题应用趋势|

第二章 直线和圆的方程 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 下图4条直线中，斜率最小的是( 　) A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 2. 过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为( 　) A. 3x－y－4＝0 B. x－y＝0 C. x＋y＝0 D. x＋y＝0 3. 直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( 　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (－3，2) D. (3，2) 4. 直线m与直线l：x－2y＋1＝0平行，且直线m过点(－2，0)，则直线m和l的距离为( 　). A. B. C. 1 D. 5. 已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为( 　) A. 1，3 B. ， C. －2，0 D. ， 6. 设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( 　) A. B. C. D. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：mx＋y－1＝0，则下列说法中，正确的是( 　) A. 若l1∥l2，则m＝±1 B. 当l1∥l2时，两条平行线之间的距离为 C. 若l1⊥l2，则m＝0 D. 直线l2过定点(0，1) 8. 已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(－1，2)，则下列说法中，正确的是( 　) A. l的一个方向向量为u＝ B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线x－3y＋2＝0垂直 D. l与直线x＋y＋2＝0平行 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 过直线2x－y＋8＝0与3x－2y－4＝0的交点，且经过坐标原点的直线方程是 .  10. 已知直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且直线l在y轴上的截距为4，则直线l的方程为 .  11. 若直线l与直线x＋y－1＝0关于直线y＝2对称，则直线l的一般式方程为 .  12. 已知点A(1，3)，B(3，1)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是 .  四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分) 已知直线l1：(m＋2)x＋my－8＝0与直线l2：mx＋y－4＝0，m∈R. (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若点P(1，m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 14. (13分)已知直线l过点P(，－1)，且其倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程. 15. (15分) (2024·安徽怀远一中高二月考)已知P(t，t)，Q(10－t，0)，t∈(0，5]. (1)写出直线PQ的方程； (2)在△OPQ(O为坐标原点)内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上，若|OA|＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、 单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 下图4条直线中，斜率最小的是(　C　) A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 【解析】 由图可知，直线l1的倾斜角为锐角，则＞0，直线l2的倾斜角为0，斜率为0，直线l3和l4的倾斜角为钝角，斜率小于0，l4的倾斜角大于l3的倾斜角，∴斜率最小的是l3. 2. 过点P(，－2)且倾斜角为135°的直线方程为(　D　) A. 3x－y－4＝0 B. x－y＝0 C. x＋y＝0 D. x＋y＝0 【解析】 ∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，又直线过点P(，－2)，∴直线方程为y＋2＝－(x)，即x＋y＝0. 3. 直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　D　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (－3，2) D. (3，2) 【解析】 由题意可得，直线2x－3y＋1＝0的斜率为，∴直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量为(3，2). 4. 直线m与直线l：x－2y＋1＝0平行，且直线m过点(－2，0)，则直线m和l的距离为(　A　). A. B. C. 1 D. 【解析】 由题意可知，直线m和l的距离即为点(－2，0)到直线l的距离，则d＝. 5. 已知点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　B　) A. 1，3 B. ， C. －2，0 D. ， 【解析】 ∵点A(2，0)与B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，∴直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直且线段AB的中点在直线ax＋y＋b＝0上，直线AB的斜率为＝－2，线段AB的中点为(1，2)，则有解得 6. 设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　C　) A. B. C. D. 【解析】 由已知得两条直线的距离是d＝，∵a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个根，∴a＋b＝－1，ab＝c，则|a－b|＝，∵0≤c≤，∴≤≤，即≤d≤. 二、 多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：mx＋y－1＝0，则下列说法中，正确的是(　BCD　) A. 若l1∥l2，则m＝±1 B. 当l1∥l2时，两条平行线之间的距离为 C. 若l1⊥l2，则m＝0 D. 直线l2过定点(0，1) 【解析】 若l1∥l2，则1×1＝m2⇒m＝±1，当m＝1时，两直线方程分别为x＋y－1＝0，x＋y－1＝0，两直线重合，当m＝－1时，两直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0两直线不重合，∴m＝－1，A错误；当l1∥l2时，两直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，∴两条平行线之间的距离为，B正确；若l1⊥l2，则m＋m＝0⇒m＝0，C正确；直线l2：mx＋y－1＝0可化为y＝－mx＋1， ∴直线l2过定点(0，1)，D正确. 8. 已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(－1，2)，则下列说法中，正确的是(　ACD　) A. l的一个方向向量为u＝ B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线x－3y＋2＝0垂直 D. l与直线x＋y＋2＝0平行 【解析】 由题意直线l的斜率为k＝tan 120°＝，直线方程为y－2＝(x＋1)，即x＋y－2＝0，它与直线x＋y＋2＝0平行，D正确；直线的一个法向量是(，1)，而(，1)·＝0，因此是直线l的一个方向向量，A正确；在直线方程中令y＝0得x＝1，B错误；由于1×(－3)＝0，C正确. 三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 过直线2x－y＋8＝0与3x－2y－4＝0的交点，且经过坐标原点的直线方程是　8x－5y＝0　.  【解析】 联立方程得∴直线2x－y＋8＝0和3x－2y－4＝0的交点坐标为A(－20，－32)，∴经过A和坐标原点的直线方程是8x－5y＝0. 10. 已知直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且直线l在y轴上的截距为4，则直线l的方程为　x－y＋4＝0　.  【解析】 ∵直线l与直线x＋y－2＝0垂直，∴直线l的斜率k＝1.∵直线l在y轴上的截距为4，∴直线l的方程为y＝x＋4，整理得x－y＋4＝0. 11. 若直线l与直线x＋y－1＝0关于直线y＝2对称，则直线l的一般式方程为　x－y＋3＝0　.  【解析】 设M(x，y)为直线l上的任意一点，则点M关于直线y＝2的对称点M'的坐标为(x，4－y)，∵直线l与直线x＋y－1＝0关于直线y＝2对称，∴点M'(x，4－y)在直线x＋y－1＝0上，即x＋4－y－1＝0，整理得直线l的一般式方程为x－y＋3＝0. 12. 已知点A(1，3)，B(3，1)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是　(－∞，－3]∪[1，＋∞)　.  【解析】 表示过点M(x，y)和点 N(2，0) 的直线斜率，如图所示， ∵ kAN＝－3，kBN＝1，结合图形可知 kMN≤kAN 或 kMN≥kBN，∴ 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 四、 解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分) 已知直线l1：(m＋2)x＋my－8＝0与直线l2：mx＋y－4＝0，m∈R. (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若点P(1，m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 解： (1)∵l1∥l2，∴m≠0，且≠， 由，得m2－m－2＝0，解得m＝－1，或m＝2(舍去)，∴m＝－1. (2)∵点P(1，m)在直线l2上，∴m＋m－4＝0，得m＝2，∴点P的坐标为(1，2)，易知直线l斜率存在且不为0，∴设直线l的方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，令x＝0，则y＝2－k，令y＝0，则x＝1，∵直线l在两坐标轴上的截距之和为0，∴12－k＝0，解得k＝1，或k＝2，∴直线l的方程为x－y＋1＝0，或y＝2x. 14. (13分)已知直线l过点P(，－1)，且其倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的. (1)求直线l的方程； (2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程. 解： (1)∵直线的方程为y＝x＋1，∴斜率k＝，倾斜角α＝120°，故所求直线的倾斜角为60°，即斜率为tan 60°＝，∵直线l经过点(，－1)，∴所求直线l方程为y＋1＝(x)，即x－y－4＝0. (2)∵直线m与l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0， ∴＝3，即|4＋c|＝6，∴c＝2，或c＝－10， ∴所求直线m的方程为x－y＋2＝0，或x－y－10＝0. 15. (15分) (2024·安徽怀远一中高二月考)已知P(t，t)，Q(10－t，0)，t∈(0，5]. (1)写出直线PQ的方程； (2)在△OPQ(O为坐标原点)内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上，若|OA|＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值. 解： (1)当t＝5时，直线PQ的斜率不存在，直线PQ的方程为x＝5；当t≠5时，直线PQ的斜率为，直线PQ的方程为y－t＝(x－t)，即(2t－10)y＝t(x＋t－10)，即tx＋(10－2t)y＋t2－10t＝0.综上，直线PQ的方程为x＝5，或tx＋(10－2t)y＋t2－10t＝0. (2)由P(t，t)和四边形ABCD为正方形可知|OA|＝|AD|＝|AB|，∵|OA|＝a，∴A(a，0)，B(2a，0)，C(2a，a). ∵点C(2a，a)在直线PQ上，∴2at＋(10－2t)a＋t2－10t＝0，∴a＝t(10－t)＝(t－5)2，要使正方形ABCD的面积最大，只需a最大，∴当t＝5时，a＝，此时正方形ABCD的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $