精品解析：山西运城东康一中2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家科技企业的品牌标志中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的是（ ） A. 字节跳动 B. 华为 C. 百度 D. 科大讯飞 【答案】B 【解析】 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 两个负数相乘，积为正数 B. 三角形的内角和为 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 在10个同类产品中，有9个合格品，1个次品，从中一次性任意抽出两个进行检验，抽到的都是次品 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两个负数相乘，积为正数，是必然事件； B、三角形的内角和为，是必然事件； C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件； D.、产品中仅有1个次品，一次性抽取两个，不可能都是次品，是不可能事件． 3. 山西运城——盐运之城，“七彩盐湖”是一处独特而奇妙的景观，高空俯瞰，湖内盐田纵横交错，星罗棋布，像是七彩“调色盘”．科研人员检测发现主要是由水体中的微生物嗜盐古菌和杜氏盐藻驱动色彩变化，其中嗜盐古菌的体长约米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. 如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（ ） A. 3米 B. 4米 C. 12米 D. 13米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 6. 如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（ ） A. 线段是中边上的高 B. 线段是中边上的高 C. 线段是中边上的高 D. 线段是中边上的高 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 7. 工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 8. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 9. 如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 10. 如图，平分，，于点，，则的长度为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 【答案】C 【解析】 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方，再计算同底数幂相乘，即可得出结果． 【详解】解：． 12. 如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 13. 2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得；，，根据平行线的性质，得，求解即可； 【详解】解：， ， 根据折叠的性质，得；， ， ， ， ， ． 14. 某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【解析】 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 15. 如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，（，且p是正整数），有理数的乘方，实数的混合运算求解即可； （2）根据单项式的乘除运算法则求解即可； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先利用整式的乘法计算括号内的，再利用整式的除法计算并化简，最后代入求值即可； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式； 18. 闻喜花馍是山西知名非遗民俗技艺，拼豆是广受青少年喜爱的创意手工．学校计划开展非遗体验课，让同学们利用拼豆材料复刻各式经典花馍造型．学校准备了外观、规格完全相同的材料盲盒，随机抽取即可获取对应造型配件．各类造型盲盒数量：花鸟造型3个，寿桃造型4个，喜纹造型2个，福鱼造型3个．从中随机抽取一盒；完成下列问题： （1）求抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率； （2）不改变盲盒总个数，请你自主调整各类造型盲盒数量，使喜纹造型的盲盒被抽到的概率最大，直接写出一种调配方案． 【答案】（1） （2）调配方案：喜纹造型6个，花鸟造型2个，寿桃造型2个，福鱼造型2个（答案不唯一）. 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式，求解即可； （2）根据简单的概率公式，只需让喜纹造型拼豆盲盒的数量最多即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率为：； 【小问2详解】 解：调配方案：喜纹造型6个，花鸟造型2个，寿桃造型2个，福鱼造型2个（答案不唯一）； 19. 已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由推出，再根据推出，进而证明． 【详解】略 20. 五一假期运城各地文旅景点客流火爆，为记录盐湖美景、古城风貌，景区常用航拍无人机进行全景拍摄．无人机飞行时电量不断消耗，当电量过低时会触发自动返航功能．数学兴趣小组以此探究无人机的剩余电量与飞行时间的变化关系．一架航拍无人机满电起飞开展航拍工作，同学们记录下不同飞行时间（分钟）与对应的剩余电量的关系，统计数据如下表： 飞行时间（分钟） 0 5 10 15 20 …… 剩余电量 100 85 70 55 40 …… 行业常规设定：无人机剩余电量低于时，设备将自动启动返航程序，结合表格数据解答下列问题： （1）该变化过程中，自变量是______，因变量是______；由表格数据可得，无人机每分钟飞行需消耗的电量为总电量的______％． （2）请写出剩余电量与飞行时间（分钟）之间的关系式； （3）计算大约飞行多长时间后，无人机会触发自动返航功能．（结果精确到整数） 【答案】（1）飞行时间；剩余电量； （2） （3）大约飞行分钟后，无人机会触发自动返航功能． 【解析】 【分析】（1）依据变量概念判断自变量、因变量，利用表格数据计算每分钟耗电量； （2）结合初始电量与单位时间耗电量，推导函数关系式即可； （3）根据自动返航的电量阈值列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ 飞行时间x主动变化，剩余电量y随飞行时间的变化而变化， ∴自变量是飞行时间x，因变量是剩余电量y， ∵ 飞行5分钟时，剩余电量从降至． ∴ 每分钟消耗电量为． 【小问2详解】 解：∵ 初始剩余电量为，每分钟消耗的总电量， ∴ 剩余电量y与飞行时间x的关系式为． 【小问3详解】 解：∵ 剩余电量低于时触发自动返航． ∴ ，解得． ∵ 结果精确到整数，且飞行26分钟时剩余电量为，未达到触发条件． ∴ 大约飞行27分钟后无人机会触发自动返航功能． 答：大约飞行27分钟后，无人机会触发自动返航功能． 21. 学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． （1）如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． （2）小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（ ） A．小丽正确，小亮不正确 B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确 D．小丽和小亮都不正确 （3）请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）同位角相等，两直线平行 （2） （3）如图即为： 【解析】 【分析】（1）利用同位角相等判定两直线平行； （2）根据同位角相等两直线平行证明小丽正确，根据内错角相等两直线平行证明小亮正确； （3）尺规作一组相等内错角，依据内错角相等两直线平行画出平行线． 【小问1详解】 解：据图可知，小明作图的依据为：同位角相等，两直线平行． 【小问2详解】 解：小丽： ，， ，， ，， ，， ， ， 故小丽正确； 小亮： 垂直平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故小亮正确． 【小问3详解】 解：在直线上任取一点，连接并延长， 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线和直线于点、， 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， 再以点为圆心，长为半径作弧，与上一弧交于点， 作直线即为所求； 证明：， ． 22. 魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： （1）方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． （2）方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． （3）方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 【答案】（1）； （2）内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； （3）①内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米；②平方米 【解析】 【分析】（1）原长方形布料长、宽，裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为，拼接后，内部正方形边长为小长方形的长减宽，整个桌布的边长为小长方形的长加宽； （2）根据题意得出内部正方形的边长为，从而求出面积；再根据整个桌布的面积四个直角三角形的面积内部正方形的面积求解即可； （3）①根据题意得出，拼接后大正方形（桌布）边长为，据此求出桌布总面积；再根据内部正方形的面积桌布总面积原布料面积求解即可； ②根据正方形的面积桌布总面积四个直角三角形的面积，代入求解即可； 【小问1详解】 解：∵原长方形布料长、宽， ∴裁剪为4块全等小长方形后，每个小长方形长为、宽为， ∴内部正方形的边长为：米， 整个正方形桌布的边长为米． 【小问2详解】 解：根据题意可得，4个全等直角三角形的直角边分别为和， 内部正方形的面积， 原布料（4个直角三角形）总面积为， 整个桌布的面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； 【小问3详解】 解：①根据题意，8个全等直角三角形的直角边分别为和，拼接后大正方形（桌布）边长为， 桌布总面积； 原布料（8个直角三角形）总面积为， ∴内部正方形的面积桌布总面积原布料面积， 答：内部正方形面积为平方米，桌布总面积为平方米； ②∵， ∴平方米． 23. 在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （3）的度数为或或 【解析】 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）①由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，从而可得，，最后结合全等三角形的判定定理证明即可； ②由①可得，则，证明出，由折叠的性质可得，再结合，即可得证； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，从而可得，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②略； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 人工智能正深刻改变着我们的生活，国内多家科技企业的品牌标志中蕴含着丰富的几何知识．观察下列人工智能科技企业的图案，其文字上方的图案属于轴对称图形的是（ ） A. 字节跳动 B. 华为 C. 百度 D. 科大讯飞 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 两个负数相乘，积为正数 B. 三角形的内角和为 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 在10个同类产品中，有9个合格品，1个次品，从中一次性任意抽出两个进行检验，抽到的都是次品 3. 山西运城——盐运之城，“七彩盐湖”是一处独特而奇妙的景观，高空俯瞰，湖内盐田纵横交错，星罗棋布，像是七彩“调色盘”．科研人员检测发现主要是由水体中的微生物嗜盐古菌和杜氏盐藻驱动色彩变化，其中嗜盐古菌的体长约米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（ ） A. 3米 B. 4米 C. 12米 D. 13米 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（ ） A. 线段是中边上的高 B. 线段是中边上的高 C. 线段是中边上的高 D. 线段是中边上的高 7. 工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的“三线合一” 8. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 10. 如图，平分，，于点，，则的长度为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算______． 12. 如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 13. 2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 14. 某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 15. 如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 闻喜花馍是山西知名非遗民俗技艺，拼豆是广受青少年喜爱的创意手工．学校计划开展非遗体验课，让同学们利用拼豆材料复刻各式经典花馍造型．学校准备了外观、规格完全相同的材料盲盒，随机抽取即可获取对应造型配件．各类造型盲盒数量：花鸟造型3个，寿桃造型4个，喜纹造型2个，福鱼造型3个．从中随机抽取一盒；完成下列问题： （1）求抽到寿桃造型拼豆盲盒的概率； （2）不改变盲盒总个数，请你自主调整各类造型盲盒数量，使喜纹造型的盲盒被抽到的概率最大，直接写出一种调配方案． 19. 已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 20. 五一假期运城各地文旅景点客流火爆，为记录盐湖美景、古城风貌，景区常用航拍无人机进行全景拍摄．无人机飞行时电量不断消耗，当电量过低时会触发自动返航功能．数学兴趣小组以此探究无人机的剩余电量与飞行时间的变化关系．一架航拍无人机满电起飞开展航拍工作，同学们记录下不同飞行时间（分钟）与对应的剩余电量的关系，统计数据如下表： 飞行时间（分钟） 0 5 10 15 20 …… 剩余电量 100 85 70 55 40 …… 行业常规设定：无人机剩余电量低于时，设备将自动启动返航程序，结合表格数据解答下列问题： （1）该变化过程中，自变量是______，因变量是______；由表格数据可得，无人机每分钟飞行需消耗的电量为总电量的______％． （2）请写出剩余电量与飞行时间（分钟）之间的关系式； （3）计算大约飞行多长时间后，无人机会触发自动返航功能．（结果精确到整数） 21. 学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． （1）如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． （2）小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（ ） A．小丽正确，小亮不正确 B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确 D．小丽和小亮都不正确 （3）请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22. 魔法工坊社团的同学们需要为展区的正方形桌子设计一款创意桌布．现有一块长为米，宽为米的长方形四叶草布料（其中），通过裁剪拼接用作桌布的外围四周区域，正中区域用另一块其他花纹的布料填充．（拼接处所用材料忽略不计） 经过调查，以下三种设计方案备受大家喜欢，该花纹布料裁剪方式如下： （1）方案A如图2所示，把布料按左图裁剪成4块全等的长方形，并按右图拼接成大正方形，内部正方形用其它面料补充，则内部正方形的边长为______米，整个正方形桌布的边长为______米． （2）方案B如图3所示，把布料按左图裁剪成4块全等的直角三角形，按右图方式拼接成大正方形，求内部正方形的面积和该桌布的总面积． （3）方案C如图4所示，把布料按左图裁剪成8块全等的直角三角形，按右图中方式拼接成大正方形． ①通过计算，求内部正方形的面积和该桌布的总面积； ②若，请直接写出正方形的面积． 23. 在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $