第47讲 空间点、线、面的位置关系·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦空间几何核心内容，通过正方体、正四面体等几何体设计5大考点17考法，涵盖选择、解答题，适配一轮复习的基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选/多选）|约20题|平面基本性质、线线关系、平行垂直判定|结合2025-2026各地模拟题，考查异面直线判定（考法4）、等角定理应用（考法6），体现空间观念| |解答题|约10题|线面平行/垂直证明、截面问题、存在性探究|设置分层问题，如证明四点共面（考法2）、探究线段上点使线面平行（考法16），培养推理能力与应用意识|

第47讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 分类练习（解析卷） 考点一：平面的基本性质 2 考法1：平面的基本性质及其推论 2 考法2：证明点共线、线共点与点共面 2 考法3：空间几何体的截面问题 3 考点二：空间线线关系 6 考法4：异面直线的判定 6 考法5：异面直线所成角的计算 7 考法6：等角定理的应用 9 考点三：空间平行关系 9 考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 9 考法8：证明线面平行 9 考法9：证明面面平行 11 考法10：平行性质定理的应用 12 考点四：空间垂直关系 12 考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 12 考法12：证明线线垂直 13 考法13：证明线面垂直 14 考法14：证明面面垂直 17 考点五：空间线面关系的综合应用 18 考法15：正方体中线面关系的综合判定 18 考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 19 考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 21 答案速查表 1 2 3 4 5 D 见解析 ABD 见解析 C 6 7 8 9 10 BCD C ACD 或 B 11 12 13 14 15 见解析 见解析 见解析 见解析 D 16 17 18 19 20 ABD ABC 见解析 见解析 见解析 21 22 23 24 25 见解析 见解析 见解析 见解析 ABD 26 27 28 29 30 见解析 见解析 ACD BCD 考点一：平面的基本性质 考法1：平面的基本性质及其推论 1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设为的中点，则即为所在直线，故平面，所以，故选D. 【点拨】本题考查平面的基本性质，通过寻找平面的交线，结合正方体的几何性质判断线线垂直关系. 考法2：证明点共线、线共点与点共面 2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，. （1）证明：，，，四点共面； （2）设，证明：，，三点共线. 【答案】见解析 【解析】（1）证明：如图，连接，，. 在正方体中，，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ∴，所以，，，四点共面； （2）证明：由，∴，又平面，∴平面， 同理平面，又平面平面， ∴，即，，三点共线. 【点拨】本题考查点共面与点共线的证明，利用平行线的传递性证明四点共面，利用公理3（两个相交平面的公共点必在交线上）证明三点共线. 考法3：空间几何体的截面问题 3.（2026·湖南八中·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【解析】对于A，如图所示，取的中点，连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以，，，四点共面，所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示，取的中点，连接，，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形，又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD. 【点拨】本题考查正方体中的线面关系及截面问题，通过构造平行线和辅助面，结合几何体的性质逐一判断选项. 4.如图，在长方体中，，，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）画出平面与平面的交线，并说明理由； （3）求过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比． 【答案】见解析 【解析】（1）在长方体中，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，，面，∴面， 又平面，∴平面平面； （2）延长与的延长线相交于，连接， 则即为平面与平面的交线，理由如下： ，∴平面，，∴平面， ∴平面与平面的交线为； （3）令与的交点为， 则三棱台的体积为， ∵为棱的中点，∴为的中点， ∴是的中点，是的中点， ∴，， ∴，， ∴三棱台的体积为， ∴过，，三点的平面将四棱柱分成的上部分的体积为. ∴过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为. 【点拨】本题考查面面垂直的证明、截面交线的画法以及几何体体积的计算，利用长方体的性质和锥体体积公式进行求解. 考点二：空间线线关系 考法4：异面直线的判定 5.（2026·浙江湖州·检测）已知正方体，为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】对于直线，在底面内，不与共面，也不相交，所以是异面直线. 对于直线，与不在同一平面，无交点，不平行，所以是异面直线. 对于直线，与相交于中心点，是相交直线，所以不是异面直线. 对于直线，两者无交点，不平行，不在同一平面内，所以是异面直线. 【点拨】本题考查异面直线的判定，利用正方体的结构特征逐一分析各直线与的位置关系即可. 6.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成角 D. 与垂直 【答案】BCD 【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体，如图所示，，，三点是同一点，因此有： 对于A，，分别是，的中点，则，而与异面，故与不平行，故A错误； 对于B，易知与为异面直线，故B正确； 对于C，依题意知，，，故与成角，故C正确； 对于D，连接，则点在平面上的投影在上，所以平面，所以，而，所以与垂直，故D正确. 【点拨】本题考查正四面体的展开与折叠，通过将平面展开图还原为空间几何体，利用中位线定理和正四面体的性质判断线线位置关系. 考法5：异面直线所成角的计算 7.（2026·河南湘豫联盟·检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查“补体法”，体现整体思想. 如图，将直四棱柱补成正六棱柱，连接，，显然，则即为直线与所成的角或其补角.设，则，，所以为正三角形，从而.故选C. 【点拨】本题考查异面直线所成的角，通过补全几何体为正六棱柱，利用平移将异面直线转化为相交直线，在三角形中求解角度. 8.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 四面体的体积为 【答案】ACD 【解析】对于A，正方体中，，则异面直线与所成角即为与所成角，即(或其补角)，而为等腰直角三角形，故，故A正确； 对于B，由于平面，故为在平面内的射影，则直线与平面所成角为，在中，，，故，故B错误； 对于C，设为的中点，连接，，则，，而，，故，，则四边形为平行四边形，故；，则，而，故，设，交于，则，即，则；又平面，平面，故，又，，平面，故平面，故C正确； 对于D，由于，(为三棱锥的高，)，而，，则，故D正确. 【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过线面角的定义、线面垂直的判定以及等体积法计算三棱锥的体积，综合性较强. 考法6：等角定理的应用 9.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】或 【解析】当空间两个角与的两边对应平行，且两边的方向完全一致时，； 当空间两个角与的两边对应平行，且两边方向不完全一致时，. 【点拨】本题考查空间等角定理，空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补. 考点三：空间平行关系 考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 10.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A，如图：当，时，满足，但不能得出，故A错误； 对于B，由垂直于同一直线的两平面互相平行，可得当时，则有，故B满足题意； 对于C，如图：当，且，则有.所以由不能得出，故C错误； 对于D，因为，根据线面垂直的判定定理可得，故D错误. 【点拨】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的判定，利用相关定理及反例进行判断. 考法8：证明线面平行 11.（2026·山东师大附中·检测）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，. （1）证明：平面； 【答案】见解析 【解析】（1）延长交于点，则为的中点，连接，如下图所示： 因为为正的中心，所以， 又因为，即，所以，故 因为平面，平面，故平面. 【点拨】本题考查线面平行的证明，通过构造三角形，利用对应线段成比例得到线线平行，进而证明线面平行. 12.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点． （1）证明：上存在点，使得平面； 【答案】见解析 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以在中，是中位线，故. 又平面，平面， 所以平面. 【点拨】本题考查线面平行的证明，通过取中点构造三角形的中位线，利用中位线平行于底边得到线线平行，从而证明线面平行. 考法9：证明面面平行 13.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； 【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接，如图 ∵，， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴， ∵， 又，平面， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∵，分别为，的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面． 又，平面，， ∴平面平面． 【点拨】本题考查面面平行的证明，通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，从而得到面面平行. 考法10：平行性质定理的应用 14.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点． （1）平面平面，证明：； 【答案】见解析 【解析】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面，所以． 【点拨】本题考查线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与此平面相交，则该直线与交线平行. 考点四：空间垂直关系 考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 15.（2026·浙江强基联盟·联考）已知，是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确. 【点拨】本题考查面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直. 16.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A，由线面垂直的性质定理可知，若，，则，故A是充分条件； 对于B，由线面垂直的判定定理可知，若，，则，故B是充分条件； 对于C，若，，则与可能平行、相交或，故C不是充分条件； 对于D，由面面垂直的性质定理可知，若，，，，则，故D是充分条件. 【点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，利用线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理进行判断. 17.（2024·广东华师附中·检测）（多选）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误； 对于D，若，则在内存在直线，使得，又，所以，所以，故D正确. 【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判定与性质，利用相关定理及反例进行判断. 考法12：证明线线垂直 18.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，. （1）证明：； 【答案】见解析 【解析】（1）不妨设，则，， 所以，所以； 因为为直三棱柱，所以平面， 平面，所以； 又，所以平面； 因为平面，所以. 因为为正方形，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以. 【点拨】本题考查线线垂直的证明，通过勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得到线线垂直. 考法13：证明线面垂直 19.（2026·安徽合肥·一模）如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点． （1）证明：平面； 【答案】见解析 【解析】（1）以为坐标原点，为单位长，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设知，，，． 由得，． 由得，． 而平面，平面，， 所以平面． 【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用空间直角坐标系，通过向量的数量积为0证明线线垂直，进而得到线面垂直. 20.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面， （1）求证：平面． 【答案】见解析 【解析】（1）因为平面，平面， 所以， 在平面内作于点，如下图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面. 【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证得结论. 21.（2026·广东汕头·一模）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； 【答案】见解析 【解析】（1）因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 同理：因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 又因为，，所以平面 【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用长方体的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明结论. 22.（2026·安徽铜陵·检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； 【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以， 又因为与相交于点，平面， 所以平面． 【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用等腰三角形的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明结论. 考法14：证明面面垂直 23.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，． （1）证明：平面平面； 【答案】见解析 【解析】（1）证明：取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又因为三棱柱的所有棱长都是2， 所以四边形为菱形，所以，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【点拨】本题考查面面垂直的证明，通过线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证得结论. 24.（2025·河北保定·一模）在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）若，，证明：平面平面； 【答案】见解析 【解析】（1） 取的中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，四边形是菱形，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【点拨】本题考查面面垂直的证明，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证得结论. 考点五：空间线面关系的综合应用 考法15：正方体中线面关系的综合判定 25.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则 A. 平面 B. C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角的正切值为 【答案】ABD 【解析】对于A，连接，交于，连接， 因为，分别为，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，故B正确； 对于C，连接，，， 因为， 所以或其补角即为与所成的角， 因为为等边三角形， 所以，故C错误； 对于D，因为平面， 所以即为与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过构造平行四边形证明线面平行，利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直，以及异面直线所成角和线面角的计算. 考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 26.如图，在五面体中，平面，，，. （1） 问：在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】（1） 当为线段的中点时，平面； 证明：分别取的中点为，连接， 则，而， 故, 即四边形为平行四边形， 则; 因为平面，平面, 故，则； 由，为中点，故，则， 又平面， 故平面； 【点拨】本题考查线面垂直的存在性问题，通过取中点构造平行四边形，利用线面垂直的判定定理证明结论. 27.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （3） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】见解析 【解析】（3） 取中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 线段存在点，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又平面平面， 所以平面平面，又是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点，使得平面． 【点拨】本题考查线面平行的存在性问题，通过取中点构造平行平面，利用面面平行的性质定理得到线面平行. 考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 28.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 ，于是，取，设， 则，则点到平面的距离为 ，所以或（舍），于是点的轨迹是以边的中点，边的中点为端点的线段，其长度为，A正确； 连，发现与平面不平行，B错误； 根据图形可知当点位于线段的中点时，线段最短，，此时直线与平面所成角最大，故所成角的正弦值的最大值为，C正确； 平移至，根据图形可知当点位于点时，异面直线与所成角最大，其余弦值最小，最小值为，选项D正确. 【点拨】本题考查正方体中的距离与最值问题，通过建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式确定动点的轨迹，进而求解线面角和异面直线所成角的最值. 29.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱台中，平面平面，，，. （2） 当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 【答案】 【解析】（2） 取中点，则，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， ， 设平面的法向量，则 ，取，得， 设直线与平面所成的角为， ，当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 【点拨】本题考查空间中线面角的计算以及几何体体积的最值问题，通过建立空间直角坐标系，利用向量法将线面角的正弦值表示为关于参数的函数，再利用基本不等式求最值. 30.（2026·安徽铜陵·检测）（多选）如图，正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在正方体表面及其内部运动，则（　　） A. 存在点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当时，三棱锥的体积最小值为 D. 当点与点重合时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】在上取一个点，使得，再取的中点，连接， 则平面平面， 若平面， 因为平面， 由线面平行的性质定理可得， 而，可得，且，故必相交，矛盾，故A错误， 由，可得为的三等分点，且， 取的中点，， 又为中点， 故在正方形中， 又，则为平行四边形， 故，所以， 则即为直线与直线所成角， 又， 由余弦定理可得，故B正确， 当时，易知在以为球心，半径为的球面上，（正方体内部）， 由， 四面体为正四面体， 由正弦定理得：底面外接圆半径为， 所以点到平面的距离为， 所以，故C正确， 当重合时，三棱锥即为， 其外接球就是直三棱柱的外接球， 由， 由余弦定理可得：， 所以， 所以的外接圆半径为， 所以外接球的半径， 所以球的表面积为，故D正确. 【点拨】本题考查正方体中的线面关系、异面直线所成角、体积最值以及外接球表面积，综合性较强，需灵活运用几何体的性质及空间向量或几何法求解. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第47讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 分类练习 考点一：平面的基本性质 2 考法1：平面的基本性质及其推论 2 考法2：证明点共线、线共点与点共面 2 考法3：空间几何体的截面问题 2 考点二：空间线线关系 3 考法4：异面直线的判定 3 考法5：异面直线所成角的计算 4 考法6：等角定理的应用 4 考点三：空间平行关系 4 考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 4 考法8：证明线面平行 4 考法9：证明面面平行 5 考法10：平行性质定理的应用 6 考点四：空间垂直关系 6 考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 6 考法12：证明线线垂直 7 考法13：证明线面垂直 7 考法14：证明面面垂直 9 考点五：空间线面关系的综合应用 9 考法15：正方体中线面关系的综合判定 9 考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 10 考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 10 考点一：平面的基本性质 考法1：平面的基本性质及其推论 1.（2025·福建福州·检测）在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（　　） A. B. C. D. 考法2：证明点共线、线共点与点共面 2.如图，在正方体中，，分别是，上的点，且，. （1）证明：，，，四点共面； （2）设，证明：，，三点共线. 考法3：空间几何体的截面问题 3.（2026·湖南衡阳·一模）（多选）如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（　　） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 4.如图，在长方体中，，，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）画出平面与平面的交线，并说明理由； （3）求过，，三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比． 考点二：空间线线关系 考法4：异面直线的判定 5.（2026·浙江湖州·检测）已知正方体，为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，，，，分别是，，，的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（　　） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成角 D. 与垂直 考法5：异面直线所成角的计算 7.（2026·河南湘豫联盟·检测）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，则直线与所成的角为（　　） A. B. C. D. 8.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，则（　　） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 四面体的体积为 考法6：等角定理的应用 9.若空间两个角与的两边对应平行，当时，则＿＿＿＿＿． 考点三：空间平行关系 考法7：平行关系的简单判定与命题辨析 10.（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（　　） A. B. C. D. 考法8：证明线面平行 11.（2026·山东师大附中·检测）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，中心为，，. （1）证明：平面； 12.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，，分别为和的中点． （1）证明：上存在点，使得平面； 考法9：证明面面平行 13.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面平面； 考法10：平行性质定理的应用 14.已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点． （1）平面平面，证明：； 考点四：空间垂直关系 考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析 15.（2026·浙江强基联盟·联考）已知，是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（　　） A. B. C. D. 16.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，则下列选项是“”的充分条件的是（　　） A. B. C. D. 17.（2024·广东华师附中·检测）（多选）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考法12：证明线线垂直 18.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱中，，. （1）证明：； 考法13：证明线面垂直 19.（2026·安徽合肥·一模）如图，在长方体中，，与交于点，为棱的中点． （1）证明：平面； 20.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知平面，平面平面， （1）求证：平面． 21.（2026·广东汕头·一模）如图，在长方体中，点、分别在、上，且，． （1）求证：平面； 22.（2026·安徽铜陵·检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； 考法14：证明面面垂直 23.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱的所有棱长都为2，，是的中点，． （1）证明：平面平面； 24.（2025·河北保定·一模）在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）若，，证明：平面平面； 考点五：空间线面关系的综合应用 考法15：正方体中线面关系的综合判定 25.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体中，若点为底面的中心，则（　　） A. 平面 B. C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角的正切值为 考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题 26.如图，在五面体中，平面，，，. （1） 问：在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 27.如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （3） 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 考法17：空间位置关系中的距离与最值问题 28.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体中，点是正方形内（含边界）一动点，若点到平面的距离为，则（　　） A. 点的轨迹长度等于 B. 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 异面直线与所成角的余弦值的最小值为 29.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱台中，平面平面，，，. （2） 当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 30.（2026·安徽铜陵·检测）（多选）如图，正方体的棱长为2，点为棱的中点，点在正方体表面及其内部运动，则（　　） A. 存在点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当时，三棱锥的体积最小值为 D. 当点与点重合时，三棱锥的外接球表面积为 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $