第25讲 函数的零点问题·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以零点个数为分类轴，整合导数应用、三角函数、同构法等解题方法，构建从单一到多个零点的递进式训练体系，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一个零点问题|5考法|导数几何意义、单调性分析、零点存在性定理|从切线方程到参数范围，构建“判定-求参”基础逻辑| |二个零点问题|6考法|参变分离、极值点偏移、双变量不等式|在单一零点基础上，延伸至零点关系与综合证明| |三个零点问题|4考法|三次函数性质、复合函数分析|通过多极值点情境，深化函数图像与零点分布认知| |三角函数零点|2考法|数形结合、周期性应用|结合三角函数特性，拓展零点问题的特殊解法| |同构法与取点|5考法|同构转化、取点技巧|融合代数变形与逻辑推理，提升复杂问题解决能力|

第25讲 函数的零点问题 · 分类练习 考点一：一个零点问题 考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性 1.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数 2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围 3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小 4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·江西赣州·一模）已知 ，函数 的最大值为 0，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. 1 D. 考法5：零点存在性与不等式证明综合 6.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 考点二：二个零点问题 考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数 7.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围. 8.（2025·江西高三·4月联考）已知函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围 9.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题 10.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和 11.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 12.（2026·山东临沂·一模）已知函数 . （1） 求 的单调区间； （2） 已知 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围. 考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题 13.（2025·江西新余·二模）已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围. 考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明 14.（2026·山东聊城·二模）已知函数 . （1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围； （2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围； （3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 . 考点三：三个零点问题 考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数 15.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围. 考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题 16.（2026·江苏镇江·零模）（多选）已知函数 有三个不同零点 ，其中 ，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 若 成等差数列，则 C. D. 17.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题 18.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 考法18：三个零点背景下的不等式证明 19.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值； （2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值； （3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 考点四：零点问题之三角函数 考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数 20.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 21.（2024·吉安六校·5月联考）已知函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考法20：三角函数零点求和与参数求解 22.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 在 单调递减 23.（2026·湖北十堰·一模）已知向量 . 若 （其中 表示不超过 的最大整数），则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式 24.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. 6 D. 25.（2026·山东淄博·二模）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 考法22：结合导数证明零点差不等式 26.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 . （1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数； （2） 已知直线 与曲线 相交于 两点. ① 求 的取值范围； ② 证明：. 考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在 27.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 . （1） 设函数 ，讨论 的单调性； （2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围； （3） 求函数 的最小值. 考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数 28.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题 29.（2026·广东华南师大附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　） A. B. C. D. 30.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 ＿＿＿＿＿＿． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 函数的零点问题 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 见解析 D A A A 6 7 8 9 10 （1）1个 （2） （1） （2） D （1） （2）① ② B 11 12 13 14 15 C （1）见解析 （2） （1）见解析 （2） 或 （1） （2） （3）证明见解析 （1） （2） 16 17 18 19 20 BCD （1）3 （2）3 （3）证明见解析 C 21 22 23 24 25 A D C （1） （2）① ② 26 27 28 29 30 （1）1个 （2）① ②证明见解析 （1）见解析 （2） （3）0 A D 考点一：一个零点问题 考法1：利用导数几何意义求切线方程及证明零点唯一性 1.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1） 当 时，. 因为 ，当 时，，所以 在 上单调递减. 又 ， 所以 在 上恒成立，即 在 上单调递减. 又 ，所以 在 上没有零点. （2） ①当 时，由（1）知 ，与当 时 矛盾，故 不满足题意. ②当 时，，. 令 ，则 ，所以 在 上单调递增. （i） 若 ，即 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，符合题意. （ii） 若 ，即 ，则存在唯一的 ，使得 . 当 时，，所以 在 上单调递减；当 时，，所以 在 上单调递增. 所以 ，满足题意. ③当 时，，，所以 在 上单调递减. 又 ，若 ，即 ，则存在 ，使得 ，当 时，，不合题意. 若 ，即 ，则 ，符合题意. 综上， 的取值范围为 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数及恒成立问题，需对参数进行分类讨论，并结合零点存在性定理与极值分析. 考法2：利用导数分析单调性判断零点个数或求参数 2.（2026·衡水中学·4月检测）若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知 . 因为 有且只有一个零点，所以方程 没有实数根，或有两个相等的实数根且根为 . 若方程 没有实数根，则 ，解得 . 若方程 有两个相等的实数根且根为 ，则 且 ，显然不成立. 综上所述， 的取值范围为 . 【点拨】本题考查函数零点个数问题，通过因式分解将三次函数零点问题转化为二次方程根的分布问题是解题关键. 考法3：利用端点值符号与零点存在性定理求参数范围 3.（2025·江西三新·5月模拟）若函数 在 上有零点，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 在 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减. 因为 在 上有零点， 所以 ，即 ， 即 ，解得 . 【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，判断出函数的单调性是解题的基础. 考法4：结合导数零点求函数最值或比较大小 4.（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ，得 ，即 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 . 由 ，得 ，设 ，画出图象，交点横坐标为 ，由图可知 . 由 ，得 ，解得 . 所以 . 【点拨】本题考查函数零点的判定与比较，利用函数的单调性及零点存在性定理确定零点所在的区间是解题关键. 5.（2026·江西赣州·一模）已知 ，函数 的最大值为 0，则 的最小值为（ 　　） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】依题意可得函数 的定义域为 ，由函数 的最大值为 0，即 在 上恒成立，即 的图象在 的下方，结合图象可得，当函数 的图象过原点，且 与 相切时， 取得最小值，根据对称性，不妨只考虑 的情况，即当 与 相切时， 取得最小值，即 在 上恒成立，令 ，即 时， 取得最小值，则 ，令 ，则 ，又 时，，即 在 上单调递增； 时，，即 在 上单调递减，所以 ，解得 . 【点拨】本题考查利用导数求函数的最值及参数的范围，通过数形结合将问题转化为切线问题是解题的关键. 考法5：零点存在性与不等式证明综合 6.（2026·石家庄一中·一模）已知函数 . （1） 当 时，试判断 在 上零点的个数，并说明理由； （2） 当 时， 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） 1个；（2） 【解析】（1） 当 时，. 因为 ，所以 在 上单调递增. 又 ，， 所以存在唯一的 ，使得 . 当 时，， 在 上单调递减. 当 时，， 在 上单调递增. 又 ，所以 . 又 ，所以当 时， 在 上有且只有一个零点. （2） ①当 时，，与当 时 矛盾，故 不满足题意. ②当 时，，. 令 ，则 ，. 记函数 ，，则 . 当 时，，所以 在 上单调递增. 当 时，，所以 在 上单调递减. 所以 ，所以 . 又因为 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增. （i） 若 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，符合题意. （ii） 若 ，则 ，使得 ，即 ，使得 . 因为 ，且 在 上单调递增，所以存在唯一的 ，使得 . 当 时，，所以 在 上单调递减. 当 时，，所以 在 上单调递增. 其中 ，且 . 所以 . 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 ，所以 ，满足题意. 结合①②可知，当 时，满足题意. 综上， 的取值范围为 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数及恒成立问题，需对参数进行分类讨论，并结合零点存在性定理与极值分析. 考点二：二个零点问题 考法7：利用导数分析单调性判断两个零点或求参数 7.（2026·安徽淮北·二模）已知函数 . （1） 当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若方程 有两个不同的根，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） 当 时，，，得 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2） ，当 时，， 在 上单调递增，方程 至多有一个实根，不符合题意舍去；当 时，令 解得 ，当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减； 时，； 时，.要使方程 有两个不同的根则 ，即 ，所以 ，即 ，令 ，，故 在 上单调递增，又 ，所以 .综上： 的取值范围是 . 【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数研究方程的根的个数，分离参数或构造函数是常用方法. 8.（2025·江西高三·4月联考）已知函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令 ，得 ，即 ，令 ，则 ，则 .令 在区间 上单调递增；令 在区间 上单调递减.又 ，，则 有且只有两个根，分别为 0，1.当 时，函数 恰有 2 个零点等价于 的图象与直线 和 各有 1 个交点，符合题意.当 时，函数 恰有 2 个零点，等价于函数 的图象与直线 的图象共有 2 个交点，临界情况为两条直线分别与 的图象相切.如图 1，当 与 相切，设对应切点为 ，则相应切线方程为 ；如图 2，当 与 相切，设对应切点为 ，则相应切线方程为 .综上 .故选 D. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，通过换元将复杂方程转化为两个简单方程的根的个数问题是解题的关键. 考法8：结合参变分离与恒成立问题求参数范围 9.（2026·河北金科·2月联考）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 【答案】（1） ；（2） ① ；② 【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 . （2） ① ，，所以 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，所以 ，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，所以当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，构造函数并利用极值点处的导数特征是解题的关键. 考法9：分段函数或绝对值函数的零点问题 10.（2026·广东江门·二模）已知函数 ，，若 恰有 2 个零点，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当 时，，则 ，所以当 时，，函数 在 上单调递增.当 时，，所以当 时，，函数 在 上单调递减；当 时，，函数 在 上单调递增.所以当 时，函数 的取值范围为 .作出 的大致图象，如图所示.由 ，得 ，由图可知，当 时，直线 与 的图象恰有 2 个交点，即 恰有 2 个零点.所以 的取值范围是 .故选 B. 【点拨】本题考查分段函数的零点问题，通过求导分析函数的单调性并作出函数的大致图象，数形结合是解决此类问题的有效方法. 考法10：已知两个零点求参数范围或零点之和 11.（2026·广东佛山·二模）设函数 和 的零点分别为 ，其中 . 当 时，则 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，由 ，得 ，设 的图象与 的图象的交点为 ，而 的图象与 的图象关于直线 对称，函数 的图象也关于直线 对称，因此点 与点 关于直线 对称，则 ，，而当 时，；当 时，，函数 在 上单调递减，所以 .故选 C. 【点拨】本题考查反函数图象的对称性及函数零点的综合应用，利用对称性得到两个零点之间的关系是解题的关键. 12.（2026·山东临沂·一模）已知函数 . （1） 求 的单调区间； （2） 已知 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围. 【答案】（1） 见解析；（2） 【解析】（1） 函数的定义域为 ，.当 时，，所以 在 上单调递增.当 时，由 得 ，当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2） 由（1）知，当 时不合题意.当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，故 在 上取得极大值，也是最大值，最大值 .要满足 有且仅有两个零点，则 ，得 .当 时，，又由 ，得 .综上可知，所求 的取值范围为 . 【点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间及根据零点个数求参数范围，分类讨论及端点效应是解题的常用技巧. 考法11：两个零点背景下的极值点偏移问题 13.（2025·江西新余·二模）已知函数 . （1） 讨论函数 的单调性； （2） 设函数 ，若存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 见解析；（2） 或 【解析】（1） 由 得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） 令 ，由（1）可知， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .依题，存在唯一实数 使函数 的最小值为 0，所以存在唯一实数 使 .令 ，则 .（i） 当 时， 恒成立，故函数 在 单调递增，又因为 ，所以存在唯一实数 使得 ，符合题意；（ii） 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，故函数 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，解得 .综上，实数 的取值范围是 或 . 【点拨】本题考查导数在研究函数最值及参数范围中的应用，通过构造函数并分类讨论是解题的关键. 考法12：两个零点背景下的双变量不等式证明 14.（2026·山东聊城·二模）已知函数 . （1） 若 有极值点，无零点，求 的取值范围； （2） 若 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，求 的取值范围； （3） 设 ，若方程 有两个实数根 ，且 ，求证：，且 . 【答案】（1） ；（2） ；（3） 证明见解析 【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 无零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 . （2） 由 的图象在区间 内存在两条互相垂直的切线，得 使 .当 ，则 ，不符合题意.当 时， 在 上单调递减.所以 在 内的值域为 .所以，由题意可得 ，解得 .因此， 的取值范围为 . （3） 设 ，则 .因为 ，所以 .当 时，， 在 上单调递增，不合题意，所以 .由 ，得 .设 ，则 .因为 ，所以 在 上单调递增.又因 ，所以 ，所以 .所以 .设 ，则 .因为当 时，，所以 在 上单调递减，又因为 ，所以当 时，.即 .因为 ，所以 ，即 .又因 ，所以 ，所以 .又因为 ，，所以 . 【点拨】本题考查导数在研究函数极值、切线及双变量不等式证明中的综合应用，构造函数并利用对数平均不等式放缩是证明的关键. 考点三：三个零点问题 考法13：利用导数分析单调性判断三个零点或求参数 15.（2024·深圳光明·5月模拟）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 恰有三个零点，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1） 时，，所以 ，所以 ，，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （2） 因为 ，所以 是 的一个零点，因为 恰有三个零点，所以方程 有两个不为 2 的实数根，即方程 有两个不为 2 的实数根，令 ，所以 ，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为 ，所以 ，且 ，所以 ，且 ，所以 的取值范围是 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数，通过分离参数将问题转化为两个函数图象的交点问题是解题的常用方法. 考法14：三次函数或复合函数的三个零点问题 16.（2026·江苏镇江·零模）（多选）已知函数 有三个不同零点 ，其中 ，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 若 成等差数列，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】， 或 2， 在 单调递减， 单调递增， 单调递减，， 有三个不同的零点，则 ，，A 错. 是 的三个根，则 .对于 B， 成等差数列，则 ，，，B 对.对于 D，，D 对.对于 C，如图，，，由 知 ，，选 BCD. 【点拨】本题考查三次函数的图象与性质、零点问题及韦达定理的应用，结合图象分析极值点是解题关键. 17.（2025·河南驻马店·3月月考）设 为自然对数的底数，若函数 存在三个零点，则实数 的取值范围是__． 【答案】 【解析】设 ，故 ，即 .对函数 ，其函数图象单调递增，且过点 .令 ，故要满足题意，只需 在 内有一个实数根，且另一个根为 0；或 在 内有一个实数根，且在 内也有一个实数根.所以 或 或 .即 或 或 .解得 . 【点拨】本题考查复合函数的零点问题，通过换元将问题转化为二次方程根的分布问题是解题的有效策略. 考法15：分段函数、绝对值函数或图象交点的三个零点问题 18.（2026·宜春十校·二模）已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 的取值范围是__. 【答案】 【解析】由函数 恰有 3 个零点，则方程 ，即 有 3 个不同的实数根，等价于 图象有 3 个交点，.如图由 图象要有 3 个交点，根据图象可知：，当 时，所以 ，即 .当直线 与 相切时，，设切点为 ，且 ，所以 ，可得 ，所以 ，可得 或 （舍），所以可知 . 【点拨】本题考查分段函数与绝对值函数的零点问题，通过数形结合将零点问题转化为函数图象交点问题，并利用导数处理相切临界状态是解题关键. 考法18：三个零点背景下的不等式证明 19.（2026·湖南邵阳·一模）已知函数 . （1） 若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值； （2） 若 对 恒成立，求整数 的最小值； （3） 当 时，证明： 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 【答案】（1） 3；（2） 3；（3） 证明见解析 【解析】（1） 由 ，可得 .因为曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 ，解得 . （2） 由 ，且 ，由 ，可得 .当 时，，，不符合，故 .当 时，.当 时，.令 ，可得 .所以 在 递增，在 递减.又 ，，所以 ，即 .当 时，可得 ，所以 .所以当 时，均有 对 恒成立.综上所述，整数 的最小值为 3. （3） 证明：由 ，可得 .令 ，可得 .当 时， 在 上递增.而 ，，所以存在 ，使得 .所以 在 单调递减，在 单调递增.又 ，，所以存在 ，使得 .所以 在 递减，在 递增.所以 是 在 上的唯一极小值点.此时 ，，所以在 ，即 上存在唯一零点 ，使得 .下证：.因为 ，所以 ，又因为 在 递增，只需证 .因为 是 的唯一极小值点，可得 ，即 ，可得 .又因为 ，即 .因为 ，只需证明：.令 ，其中 ，则 .所以 在 上单调递增，.所以 成立，证毕.所以 在 上存在唯一零点 和唯一极小值点 ，且 . 【点拨】本题考查导数在研究函数零点及极值点偏移中的应用，通过构造函数并利用三角函数的性质进行放缩是证明不等式的关键. 考点四：零点问题之三角函数 考法19：利用数形结合与周期性求解三角函数零点个数 20.（2026·长沙雅礼·模拟）当 时，函数 的零点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】令 ，即 ，移项可得 .对于 ，其周期 ；对于 ，其周期 .当 时，画出两个函数的图象为： 由图象可以看出，方程 在给定区间 内的解的个数为 6，所以函数 的零点个数为 6. 【点拨】本题考查三角函数的零点个数问题，通过移项转化为两个三角函数图象的交点问题，利用数形结合思想是解题的直观方法. 21.（2024·吉安六校·5月联考）已知函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】由函数 ，可得 ，令 ，即 ，可得 或 ，因为 ，可得 ，当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递减；当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递增；当 时，，所以 ， 单调递减；当 时，，所以 ， 单调递增，所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，在 上递增，在 上递减，在 上递增，其中 两侧函数的单调性相同，可得 不是函数 的极值点，所以 在区间 的极值点为 ，共有 4 个.故选：A. 【点拨】本题考查利用导数研究三角函数的极值点个数，准确判断导函数在各区间的符号是解题的关键. 考法20：三角函数零点求和与参数求解 22.（2026·湖北十一校·二模）已知函数 和 的图象的对称轴完全相同，令 ，则下列结论错误的是（ 　　） A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 在 单调递减 【答案】D 【解析】令 ，则 为 的对称轴方程.令 ，则 为 的对称轴方程.由 与 的对称轴完全相同，则 ，即对称轴为 .所以 .且 ，则 .所以 ，其最小正周期 ，故 也是一个周期，A 对；，故 的图象关于直线 对称，B 对；，当 时，，所以 的一个零点为 ，C 对；，则 ，显然 在给定区间内不单调，D 错.故选 D. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用对称轴重合求出参数是解题的关键. 23.（2026·湖北十堰·一模）已知向量 . 若 （其中 表示不超过 的最大整数），则 的取值范围为__. 【答案】 【解析】因为 ，所以 .当 时，，显然不成立；当 时，，显然成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立；当 时，，显然不成立.所以 ，，.因为 ，所以 的取值范围为 . 【点拨】本题考查平面向量的数量积及取整函数的应用，通过分类讨论确定角 的范围是解题的关键. 考点五：零点问题之同构法与取点技巧 考法21：利用同构法求解零点个数或证明不等式 24.（2026·湖北黄冈·4月调研）设 分别是函数 与 的正零点，则 的最大值为（ 　　） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】已知 是 的正零点，，代入 得：，通分整理得：.即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.再代入 （ 是 的正零点）得：，两边平方整理得：，即点 同时在第一象限的圆 和曲线 上.又 与 互为反函数，图象关于直线 对称，且圆 也关于 对称，因此点 关于 的对称点 ，一定在 上，且仍在圆 上.因为 时 单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点 就是 ，因此：，代入 得：.设 ，代入得：.正弦最大值为 1，因此 的最大值为 6. 【点拨】本题考查反函数图象的对称性及三角换元求最值，通过同构发现两个零点对应的点关于 对称是解题的核心. 25.（2026·山东淄博·二模）已知函数 . （1） 若存在正数 ，使得 ，求实数 的取值范围； （2） 设 在 处的切线方程为 . ① 求 的解析式； ② 当 时， 恒成立，求 的取值集合. 【答案】（1） ；（2） ① ；② 【解析】（1） .当 时，， 无极值点.当 时，令 ，得 .因为对于 ，，对于 ，，所以 是 的极小值点.这时 的值域为 .由 有零点得 ，解得 .综上， 的取值范围为 . （2） ① ，，所以 在 处的切线方程为 ，即 .② 当 时， 恒成立，即当 时，；当 时，.令 ，则 .当 时，，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.当 时，令 ，得 或 .若 ，即 ，当 时，， 单调递增，所以 ，不合题意.若 ，即 或 ，当 时，， 单调递减，所以 ，不合题意.若 ，即 ，当 时，， 单调递减，所以当 时，；当 时，，符合题意.综上， 的取值集合为 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，构造函数并利用极值点处的导数特征是解题的关键. 考法22：结合导数证明零点差不等式 26.（2025·河北五个一·4月联考）已知曲线 ，直线 . （1） 若 ，判断直线 与曲线 公共点的个数； （2） 已知直线 与曲线 相交于 两点. ① 求 的取值范围； ② 证明：. 【答案】（1） 1个；（2） ① ；② 证明见解析 【解析】（1） 解：令 ，则 . 由 ，得 . 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增. 则 ，从而直线 与曲线 的公共点个数为 1. （2） ① 解：令 ，则 . 由 ，得 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增. 则 ，且当 时，，当 时，. 因为直线 与曲线 相交于 两点，所以 ，得 . 故 的取值范围为 . ② 证明：由题可知 是 的零点，不妨设 ，则 ，. 从而要证 ，只需证 ，即证 . 由①可知 在 上单调递减，则只需证 . 因为 ，所以只需证 ，即证 . 令 ，则 . 因为 ，且当仅当 时，等号成立.所以 在 上恒成立. 则 在 上单调递增，则 . 从而 . 所以 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点及极值点偏移问题，通过构造对称函数证明不等式是解题的常用技巧. 考法23：利用零点存在性定理的取点技巧证明零点存在 27.（2026·湖南永州·二模）已知函数 和 . （1） 设函数 ，讨论 的单调性； （2） 若函数 与 的图象有三条公切线，求实数 的取值范围； （3） 求函数 的最小值. 【答案】（1） 见解析；（2） ；（3） 0 【解析】（1） ，. 当 时，，， 在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. （2） 设公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 . 由 得公切线 的方程为 ，整理得 ① 由 得公切线 的方程为 ，整理得 ② 由①②得 ，整理得 . 设 ，则 . 所以 ，得 或 ；，得 . 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减. 又 时，， 时，，，. 故要使 有三个不同的根，需 ，即 . 综上可得， 的取值范围为 . （3） 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增. 又因为 ，，所以 存在唯一零点 ，且 . 故当 时，；当 时，. 即 在 上单调递减，在 上单调递增. 所以 的最小值为 . 因为 ，所以 . 又因为 ，令 ，则 . 因为 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 . 故 的最小值 . 【点拨】本题考查导数在研究函数单调性及公切线问题中的应用，通过构造函数并利用同构思想求解最值是解题的关键. 考法24：结合复合函数与取点技巧分析零点个数 28.（2026·湖南邵阳·5月三模）已知函数 ，若函数 有 8 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作出 的大致图象如下， 设 ，则关于 的方程 有 2 个不同的根 和 ，且关于 的方程 分别有 4 个不同的根. 不妨设 ，易知关于 的方程 的判别式 ，，. （1） 若 ，则 ，所以 ，且 ，即 ，得 . （2） 若 ，则 ，此时 ，符合题意. 故 ，选 A. 【点拨】本题考查复合函数的零点问题，通过换元将问题转化为二次方程根的分布，并结合函数图象分析交点个数是解题的有效方法. 考法25：绝对值函数零点背景下的等差数列问题 29.（2026·广东华南师大附中·5月测试）已知函数 ，其四个零点 恰好成递增的等差数列，则 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数 ，定义域为 . 又 ，所以函数 为偶函数. 当 时，， 令 ，得 ，显然 ，，解得 或 . 由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 . 因零点成递增等差数列，故排序为 ， 设公差为 ，则：，， 即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 . 故选：D. 【点拨】本题考查函数的零点与等差数列的综合，利用函数的偶偶性求出零点的表达式，再结合等差数列的定义求解是关键. 30.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 __． 【答案】 【解析】当 时，，则 ， 由于 恒成立，则 . 当 时，，其对称轴为：， 由于 ，所以当 时，， 则 ，解得：， 由于 ，则 . 当 时， 时，，满足条件， 时，，满足 恒成立. 综上，. 【点拨】本题考查分段函数的最值及恒成立问题，通过分类讨论并结合二次函数的性质求出最值是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $