第30讲 三角函数的图像与性质 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以7大考点21种考法系统覆盖三角函数图像与性质，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像与变换|4考法|图像识别、平移伸缩折叠及几何结合|从图像直观到变换规律，体现数形结合| |解析式确定|3考法|结合图像、性质、向量几何条件|由表及里，从图像特征到代数表达| |定义域值域最值|3考法|辅助角公式、换元法、交点方程|从函数三要素到方程有解问题递进| |周期性|3考法|公式求周期、由零点最值距离及参数求周期|从定义到性质应用，强化逻辑推理| |奇偶性对称性|3考法|奇偶性判断、对称轴中心及参数求解|从函数基本性质到对称关系应用| |单调性|2考法|单调区间及参数不等式问题|从单一性质到综合参数分析| |综合应用|3考法|图像性质综合、零点交点、实际模型|整合多性质，培养模型意识与应用能力|

第30讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习 考点一：三角函数的图像与变换 1 考法1：三角函数图像识别与应用 1 考法2：三角函数图像平移变换 1 考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 2 考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 2 考点二：根据条件确定解析式 2 考法5：结合图像特征求解析式 2 考法6：结合函数性质求解析式 4 考法7：结合向量或几何条件求解析式 4 考点三：三角函数的定义域、值域与最值 5 考法8：利用辅助角公式求值域或最值 5 考法9：结合换元法求值域或最值 5 考法10：三角函数交点与方程有解问题 5 考点四：三角函数的周期性 5 考法11：利用公式求三角函数周期 5 考法12：结合零点或最值点距离求周期 5 考法13：由周期求参数及函数值 6 考点五：三角函数的奇偶性与对称性 6 考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 6 考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 7 考法16：利用对称性求参数或函数值之和 7 考点六：三角函数的单调性 7 考法17：求三角函数的单调区间 7 考法18：结合单调性求参数或解不等式 7 考点七：三角函数性质的综合与应用 7 考法19：三角函数图像与性质综合判断 7 考法20：三角函数交点与零点问题 8 考法21：三角函数实际应用模型 8 考点一：三角函数的图像与变换 考法1：三角函数图像识别与应用 1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为（ 　　） A. B. C. D. 考法2：三角函数图像平移变换 3.（2026·湖北圆创联盟·2月联考）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则（ 　　） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿． 考点二：根据条件确定解析式 考法5：结合图像特征求解析式 7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 8.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 9.（2026·江西南昌·一模）已知函数部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 考法6：结合函数性质求解析式 11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有（ 　　） A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，唯一的，使得 考法7：结合向量或几何条件求解析式 12.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆. （1）若两条相邻的对称轴与相切，求； （2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围. 考点三：三角函数的定义域、值域与最值 考法8：利用辅助角公式求值域或最值 13.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为＿＿＿＿＿＿． 14.（2026·浙江温州·一模）函数在上的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考法9：结合换元法求值域或最值 15.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿；的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法10：三角函数交点与方程有解问题 16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ 　　） A. B. C. D. 考点四：三角函数的周期性 考法11：利用公式求三角函数周期 17.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是（ 　　） A. B. C. D. 考法12：结合零点或最值点距离求周期 18.（2026·广东湛江·高考测试）若是函数的两个相邻的零点，则（ 　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则＿＿＿＿＿＿． 考法13：由周期求参数及函数值 20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数在处取得最大值，则（ 　　） A. B. C. D. 21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称． （1）求的最小正周期； （2）在中，，，边上的中线长为，求的面积． 考点五：三角函数的奇偶性与对称性 考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则（ 　　） A. 当时， B. 和的奇偶性相同 C. 和的周期相同 D. 和的最值相同 23.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ 　　） A. B. C. D. 考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 24.（2025·河北保定·二模）若函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则＿＿＿＿＿＿． 考法16：利用对称性求参数或函数值之和 25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则（ 　　） A. B. C. D. 考点六：三角函数的单调性 考法17：求三角函数的单调区间 26.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为（ 　　） A. B. C. D. 27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿． 考法18：结合单调性求参数或解不等式 28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿ 考点七：三角函数性质的综合与应用 考法19：三角函数图像与性质综合判断 29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 考法20：三角函数交点与零点问题 30.（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则（ 　　） A. B. C. D. 31.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前项和． 考法21：三角函数实际应用模型 32.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 考点一：三角函数的图像与变换 1 考法1：三角函数图像识别与应用 1 考法2：三角函数图像平移变换 3 考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 3 考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 4 考点二：根据条件确定解析式 5 考法5：结合图像特征求解析式 5 考法6：结合函数性质求解析式 7 考法7：结合向量或几何条件求解析式 8 考点三：三角函数的定义域、值域与最值 9 考法8：利用辅助角公式求值域或最值 9 考法9：结合换元法求值域或最值 10 考法10：三角函数交点与方程有解问题 10 考点四：三角函数的周期性 11 考法11：利用公式求三角函数周期 11 考法12：结合零点或最值点距离求周期 11 考法13：由周期求参数及函数值 11 考点五：三角函数的奇偶性与对称性 12 考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 12 考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 13 考法16：利用对称性求参数或函数值之和 13 考点六：三角函数的单调性 14 考法17：求三角函数的单调区间 14 考法18：结合单调性求参数或解不等式 14 考点七：三角函数性质的综合与应用 15 考法19：三角函数图像与性质综合判断 15 考法20：三角函数交点与零点问题 15 考法21：三角函数实际应用模型 16 答案速查表 1 2 3 4 5 B ABC D A AC 6 7 8 9 10 BD （1） （2） A （1）， （2） 11 12 13 14 15 ACD （1） （2） ； 16 17 18 19 20 D C A 或 D 21 22 23 24 25 （1） （2） BD A A 26 27 28 29 30 B AC B 31 32 （1） （2） （3） B 考点一：三角函数的图像与变换 考法1：三角函数图像识别与应用 1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，则得，即，所以.设，因为，所以，解得.因此，可得，结合图象可得，解得. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合向量相等的坐标表示，利用三角恒等变换求解是关键. 2.（2025·江西优创名校·4月联考）（多选）已知函数的部分图象可能为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】对于选项A，由图可知，的最小值为0，则，由，得，经检验，当时，的部分图象可以如选项A所示.对于选项D，由，得，即，则，此时，排除D.对于选项C，由，得，，即，当时，的部分图象可以如选项C所示.对于选项B，当时，，的部分图象可以如选项B所示. 【点拨】本题考查三角函数的图象，需根据图象特征反推参数的值进行验证. 考法2：三角函数图像平移变换 3.（2026·湖北圆创联盟·2月联考）若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】平移后的图象对应的函数为.因为是奇函数，所以.即.又，所以. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及奇偶性，熟练掌握平移法则“左加右减”是解题关键. 考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换 4.（2026·山东济宁·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为，故，故，而，故. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性，利用整体代入法求参数是解题的关键. 5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，则 A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数.对于A，的最小正周期为，A对.对于B，在单调递增，在单调递减，B错.对于C，令，则，时，，是一条对称轴，C对.对于D，对称中心纵坐标为2，D错. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及三角函数的性质，熟练掌握图象变换法则及正弦函数的性质是解题关键. 考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合 6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，之间的距离为，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意，函数的最小正周期，则两点横坐标之差的绝对值为.设在轴上的投影分别为，则，.将纸片沿轴折成夹角为的钝二面角，则.在空间中，，所以.因为，所以，解得.由图可知，即，解得.由图可知函数在处单调递增，所以，故. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合空间向量求距离是解题的关键，考查了空间想象能力和运算求解能力. 考点二：根据条件确定解析式 考法5：结合图像特征求解析式 7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数的部分图象如图所示，则 A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 【答案】BD 【解析】由图象可知，，所以，，A错误；由，得，即，又，所以，所以.令，得，当时，，所以是图象的对称中心，B正确；当时，，所以，所以的值域是，C错误；令，得，所以的单调递增区间是，D正确.故选BD. 【点拨】本题考查由部分图象求三角函数解析式及三角函数的性质，根据图象求出周期和初相是解题的关键. 8.（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由图可得，，所以，且得，又因为，所以，所以.又因为，解得，所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以，因为，所以，即，所以.所以. 【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，以及三角函数的单调区间和三角恒等变换，属于基础题. 9.（2026·江西南昌·一模）已知函数部分图象如图所示，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可知，函数图象在处取得最大值，在处取得零点且处于上升阶段，所以，解得.因为，所以.又函数图象过点，所以，解得.因为，所以.所以，则. 【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，根据图象特征求出周期和初相是解题的关键. 考法6：结合函数性质求解析式 10.（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）因为，由为等腰直角三角形知，，所以，得.因为为偶函数，所以，得，所以最小正实数为. （2）令，则，即，取：，所以.令，且在左侧，则，解得：，故，且在右侧，周期，所以，即.所以，所以. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用三角恒等变换化简解析式，结合等腰直角三角形的性质求出周期是解题的关键. 考法7：结合向量或几何条件求解析式 11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若的图像与的图像关于轴对称，则下列说法正确的有 A. B. C. 的对称轴过的对称中心 D. ，唯一的，使得 【答案】ACD 【解析】，，的图像与的图像关于轴对称，，即，，即，，，A对，B错.，，令，得，即的对称中心为，令，得，即的对称轴为，的对称轴过的对称中心，C对.当时，，，当时，，，且在上单调递增，，唯一的，使得，D对. 【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换、对称性及单调性，需熟练掌握图象变换法则及三角函数的性质. 12.（2025·河北张家口·二模）已知函数，圆. （1）若两条相邻的对称轴与相切，求； （2）若，是的极值点，且点有且仅有两个在的内部，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）圆的圆心为，半径相邻对称轴的距离为.因为两条相邻对称轴与圆相切，所以这两条对称轴之间的距离等于圆的直径，即，所以.又因为对称轴与圆相切，圆心在，半径为，所以两条切线方程为和.所以和是的对称轴.所以，即.因为，当时，.此时，其对称轴为，相邻对称轴包含和，符合题意.所以. （2）若，则.其极值点满足，即.点在圆的内部，即，解得.所以满足的整数有且仅有两个.因为，所以.因为区间的长度为，且包含这个整数.要使该区间内有且仅有两个整数，这两个整数只能是和.所以必须满足且.解得且，即.同时，由于区间是开区间，不能在区间内，所以，即；必须在区间内，所以，即；不能在区间内，所以，即.综合得. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合圆的切线和内部点的条件求参数是解题的关键. 考点三：三角函数的定义域、值域与最值 考法8：利用辅助角公式求值域或最值 13.（2026·八省T8联考·4月联测）在区间上的值域为__． 【答案】 【解析】，其中.因为，所以.因为，所以.当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.所以在区间上的值域为. 【点拨】本题考查利用辅助角公式求三角函数的值域，注意自变量的取值范围是解题的关键. 14.（2026·浙江温州·一模）函数在上的最大值为____． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，所以，函数的最大值为. 【点拨】本题考查三角函数在给定区间上的最值，根据自变量的范围求出整体角的范围是解题的关键. 考法9：结合换元法求值域或最值 15.（2025·江西九师联盟·5月检测）若函数在上的值域是，则的取值范围为__；的取值范围为__． 【答案】； 【解析】当时，，在上单调递增，且，故；当时，，在上单调递减，在上单调递增，且，所以.此时，. 【点拨】本题考查三角函数的值域及三角恒等变换，利用分段函数和换元法求出的范围是解题的关键. 考法10：三角函数交点与方程有解问题 16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数和函数的图象相交于、两点，为坐标原点，则的面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，即，化简得，即，解得或（舍去）.因为，所以或.当时，，即点；当时，，即点.所以的面积. 【点拨】本题考查三角函数图象的交点问题，通过解三角方程求出交点坐标，再利用三角形面积公式求解是关键. 考点四：三角函数的周期性 考法11：利用公式求三角函数周期 17.（2026·安徽华师联盟·4月质检）函数的最小正周期是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以函数的最小正周期. 【点拨】本题考查三角函数的周期，利用降幂公式化简解析式是解题的关键. 考法12：结合零点或最值点距离求周期 18.（2026·广东湛江·高考测试）若是函数的两个相邻的零点，则 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】由题意得，故，因为，所以. 【点拨】本题考查三角函数的周期性，相邻两个零点之间的距离为半个周期. 19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__． 【答案】或 【解析】函数（其中），因为函数的两个相邻零点间的距离为，所以，即，所以，解得或.当时，，则；当时，，则. 【点拨】本题考查三角函数的周期性及求值，注意的正负是解题的易错点. 考法13：由周期求参数及函数值 20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数在处取得最大值，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设，则，，又，则. 【点拨】本题考查三角函数的最值，根据最值点求参数是解题的关键. 21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数在区间单调，其中为正整数，，且图象关于点对称． （1）求的最小正周期； （2）在中，，，边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意，的最小正周期，所以，由为正整数可得，又因为图象关于点对称，所以，即.由，若，，无解；若，，；若，，无解.所以，，的最小正周期为. （2）由可得，又，，从而，故.设边上的中线为，，则，，，，解得.所以的面积. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质以及解三角形，利用向量法求中线长是解题的关键. 考点五：三角函数的奇偶性与对称性 考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数 22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数，函数，则 A. 当时， B. 和的奇偶性相同 C. 和的周期相同 D. 和的最值相同 【答案】BD 【解析】，因此，是偶函数，同理可判断也为偶函数，对于A，时，，，所以此时，又因为、均为偶函数，所以时，，故A错误；对于B，由前述分析可知、均为偶函数，故B正确；对于C，由于的图象如下所示，易知其为非周期函数，又为周期性函数，周期为，故为非周期函数，而，由于、为周期函数，所以为周期函数，因此两者周期性不同，故C错误；对于D，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，，当且仅当且时成立，例如即可取到最大值2，当且仅当且或且时成立，例如即可取到最小值0，故D正确. 【点拨】本题考查三角函数的奇偶性、周期性及最值，结合函数图象分析是解题的关键. 考法15：求三角函数的对称轴或对称中心 23.（2026·广东深圳·一模）函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于，则，，令，解得，当时，，所以对称中心可以为. 【点拨】本题考查三角函数的周期及对称中心，熟练掌握正弦函数的性质是解题的关键. 24.（2025·河北保定·二模）若函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则__． 【答案】 【解析】，由，得，则，即. 【点拨】本题考查正切函数的周期及对称中心，熟练掌握正切函数的性质是解题的关键. 考法16：利用对称性求参数或函数值之和 25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于的方程在上恰有3个根，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，当与的有三个交点时，有，，所以，，所以. 【点拨】本题考查三角函数的对称性，作出图象，寻求交点间的对称性，得到等式求解即可. 考点六：三角函数的单调性 考法17：求三角函数的单调区间 26.（2026·河北石家庄·二模）若函数在区间上单调递减，则实数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，其中.因为，所以.因为在区间上单调递减，且该区间长度为，恰好等于函数的半个周期，所以.所以，解得.所以. 【点拨】本题考查三角函数的单调性，利用辅助角公式化简解析式，结合单调区间长度恰好为半个周期是解题的关键. 27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是__． 【答案】 【解析】因为，函数的单调递增，即，解得，又因为，当时，函数的单调递增区间. 【点拨】本题考查三角函数的单调区间，利用辅助角公式化简解析式，结合定义域求得结果. 考法18：结合单调性求参数或解不等式 28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为_______ 【答案】 【解析】依题意，后，动点走过的弧度数为，则，又，则，的单调递增区间，即的递减区间，则，即，所以的单调递增区间为. 【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简，再求的单调递增区间即可. 考点七：三角函数性质的综合与应用 考法19：三角函数图像与性质综合判断 29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数，则下列说法正确的是 A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，令，解得，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，令，解得，当时，，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，令，解得，所以在区间上单调递增，故D错误. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性、对称性及单调性是解题的关键. 考法20：三角函数交点与零点问题 30.（2026·山东菏泽·二模）已知，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两曲线交点满足，解得，即.对应的纵坐标为.相邻的四个交点为，，，.这四个点构成的四边形只能是，其对角线为和的中点为，的中点为，中点重合，故四边形为平行四边形.要使其为菱形，只需对角线互相垂直，即，，所以，解得. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，求出交点坐标并利用菱形的性质是解题的关键. 31.（2026·河南华大新高考联盟·5月联考）已知函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． （1）求的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由，得，解得或，即或.因为，所以正零点从小到大排列时，，由，得. （2）由（1）知，令，解得，所以函数图象的对称中心为. （3）由（1）知的零点为或，所以.所以，所以. 【点拨】本题考查三角函数的零点与对称中心，结合等差数列求和是解题的关键. 考法21：三角函数实际应用模型 32.（2026·安徽皖南八校·4月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如图所示，点的纵坐标为，设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点，设经过小时后，时针针尖所在点的坐标为，则，在直角三角形中，，因为，所以，又因为，所以点在第一象限内，设，则点坐标为，设点，由，解得或舍去，设，则，所以. 【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $