解答题专训04 立体几何中垂直与平行关系的证明（包含结构不良试题）（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以定理体系为基础，通过“判定-性质-转化”逻辑链整合平行垂直证明方法，涵盖综合、探索及结构不良题型，分层训练提升空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|4类定理+10项技巧|线线-线面-面面转化，向量法辅助，探索问题假设验证|从定理文字/图形/符号语言到综合应用，形成“概念-推理-应用”链条| |题型通法|3类题型（含例题+变式）|综合证明用定理串联，结构不良题条件选择策略|按“基础证明-探索存在-开放选择”梯度进阶，适配高考新题型| |分层过关|13题（巩固9+创新4）|复杂几何体中平行垂直判定，折叠问题转化|从正方体、四棱锥到折叠体，覆盖高频模型，强化空间想象与逻辑推理|

解答题专训04 立体几何中垂直与平行关系的证明（包含结构不良试题） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 立体几何中平行与垂直的综合 3 题型2 立体几何中平行与垂直的探索问题 6 题型3 立体几何中垂直与平行的结构不良试题 9 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 21 解题方法及技巧提炼 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a， a⊂α， l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α， l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a⊂α， b⊂α， a∩b＝P， a∥β， b∥β， ∴α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 3.直线与平面垂直判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 5.线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线. 6.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β). (3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). 7.证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 8.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理． 9.面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 10.向量法证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为μ＝（a2，b2，c2），v＝（a3， b3，c3）.则有： （1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； （2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 题型通法及变式提升 题型1 立体几何中平行与垂直的综合 【例1】（25-26高三下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证. 3.几何法证明平行、垂直关系的转化 【变式1】（25-26高三下·北京大兴·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【变式2】（25-26高三下·北京门头沟·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【解】（1）因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 题型2 立体几何中垂直与平行的探索问题 【例1】如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 【解】(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点． 又OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1， 所以OE∥BD1. 又O为AD1的中点， 所以E为AB的中点． (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下： 设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形， 所以D1D⊥AD， 又平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D， 所以D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中， tan ∠ADE＝， 在Rt△ABC中，tan ∠BAC＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE， 所以AC⊥平面D1DE. 又AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 所以存在点E且AE＝. 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【变式1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (第13题) (1) 求证：平面MNQ∥平面PCD. (2) 在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】 （1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点， 所以NQ∥AB∥CD，MQ∥PC.因为NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以NQ∥平面PCD. 同理MQ∥平面PCD，又NQ∩MQ＝Q，NQ，MQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PCD. （2）线段PD上存在一点E，使得MN∥平面ACE，且＝. 证明如下：取PD的中点E，连接NE，CE，AE， 因为N，E，M分别是PA，PD，BC的中点，BC∥AD，BC＝AD， 所以NE∥MC，NE＝MC，所以四边形MCEN是平行四边形， 所以MN∥CE.因为MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE， 所以MN∥平面ACE，此时＝. 【变式2】（2025·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 题型3 立体几何中垂直与平行的结构不良试题 【例1】（25-26高三下·北京石景山·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面 【变式1】（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 【解】（1）因为在中，，， 所以，即． 因平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又因平面，所以． （2）选条件①：平面． 如图，因为平面，平面， 平面平面，所以． 因为为平行四边形，为的中点，所以为的中点． 所以．因为，所以． ．由（1）已得平面，因平面，故， 又，即两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则， ，因此． 设平面的法向量为，则，即． 令，则，所以． 易知平面的一个法向量， ，所以平面与平面夹角为． 选条件②：． 如图，由（1）得，则， 又，由，可得，因，则为的中点， 则，即，可得， 因平面平面，平面平面，平面，故平面. 取的中点，连接，则，故平面，因平面，则， 又，，且， 又平面，故平面， 因平面，则，即是平面与平面夹角或补角， 在中，，则，故平面与平面的夹角为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【解】在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 2．（25-26高三下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 【解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． 3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,PC的中点,求证:平面DEF⊥平面ABCD. 【证明】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点, 所以BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD, 所以BG⊥平面PAD. (2)如图,连接PG, 因为△PAD为正三角形,G为线段AD的中点, 所以PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD, 又PG∩BG=G,PG,BG⊂平面PGB, 所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB. (3)如图,连接DE,EF,DF. 在△PBC中,FE∥PB, 在菱形ABCD中,GB∥DE. 而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B, 所以平面DEF∥平面PGB. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,PG⊥AD, 所以PG⊥平面ABCD. 又PG⊂平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 所以平面DEF⊥平面ABCD. 4．（25-26高三上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，点E，F分别是，BD的中点．    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面． 【解】（1）连接，，    因为为平行四边形，且点E是的中点， 则点E是的中点， 又因为点F是BD的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为，可知四边形为菱形，则， 又因为，，， 可知，则， 且点F是BD的中点，则， 且，平面，所以平面. 5．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，， 平面，平面，∴平面，∵平面， ∴，由（1）可知，在中，，∴， 则与相似，则，在中，，， ∴，∴， ∴. 6．（25-26高三下·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 7．（25-26高三下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【解】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以. 因为菱形，所以. 又 ,平面，所以平面. 又平面，所以. （2）在菱形中，因为. 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知平面. 因为平面所以又所以平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为平面. 平面，所以平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为平面，平面AEC， 所以 平面 又，平面 所以平面平面， 又平面 所以 平面 8．（25-26高三下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)过点作平面平面交于点，交于点. ①证明：； ②求的值. 【解】（1）连交于，因为底面为平行四边形， 所以为的中点，而为的中点，所以， 又平面平面； 所以平面； （2）①因为平面平面，平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理可得； ②当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明： 因为为上的点，且，所以在中，，所以， 由(1)知平面，因为不在平面内，所以平面， 由①可知，因为不在平面内，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，所以. 9.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，， 所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 创新提升 10．（25-26高三下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 11．（25-26高三下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 12．（25-26高三上·北京·开学考试）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：； (2)线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. (3)求多面体的体积. 【解】（1）因为四边形为正方形，所以. 平面平面，且平面平面，平面, 所以平面. 因为平面,所以. （2）设线段上存在，使得平面.显然点与点不重合. 所以不在平面中，平面, 因为四边形为正方形，所以. 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面, 所以 因为四边形为梯形，且. 如图，取BC的中点H，连接AH,则, 所以四边形为平行四边形，四边形是正方形. 所以,且与的交点即为点,点是的中点. 所以.    当点为的中点时，因为所以. 延长交于点.因为所以. 所以,所以,所以点是的中点.连接 因为四边形为正方形，所以.所以,所以四边形为平行四边形. 因为不在平面中，平面, 所以平面. 因此，线段上是否存在，使得平面，的值为. （3）多面体由三棱锥和三棱柱组成. 由(1)知平面,由已知，. 所以三棱锥的体积. 三棱柱体积. 所以多面体的体积为. 又因为 ， 所以. 13．（24-25高三下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）在直角三角形中， ∵，∴，∴． 又三角形的面积 由（1）知，平面， 所以三棱锥的高为． 所以. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训04 立体几何中垂直与平行关系的证明（包含结构不良试题） 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 立体几何中平行与垂直的综合 3 题型2 立体几何中平行与垂直的探索问题 4 题型3 立体几何中垂直与平行的结构不良试题 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a， a⊂α， l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α， l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a⊂α， b⊂α， a∩b＝P， a∥β， b∥β， ∴α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 3.直线与平面垂直判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 5.线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线. 6.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β). (3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ). 7.证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 8.判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理． 9.面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 10.向量法证明平行、垂直 设直线l的方向向量为a＝（a1，b1，c1），平面α，β的法向量分别为μ＝（a2，b2，c2），v＝（a3， b3，c3）.则有： （1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； （2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 题型通法及变式提升 题型1 立体几何中平行与垂直的综合 【例1】（25-26高三下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用. 2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证. 3.几何法证明平行、垂直关系的转化 【变式1】（25-26高三下·北京大兴·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【变式2】（25-26高三下·北京门头沟·期中）如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 题型2 立体几何中垂直与平行的探索问题 【例1】如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【变式1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点． (第13题) (1) 求证：平面MNQ∥平面PCD. (2) 在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 题型3 立体几何中垂直与平行的结构不良试题 【例1】（25-26高三下·北京石景山·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【变式1】（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，． (1)求证：； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小． 条件①：平面； 条件②：． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 2．（25-26高三下·北京·期中）如图，在正方体 中，为的中点. (1)求证： 平面； (2)取中点，求证：平面平面 3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,PC的中点,求证:平面DEF⊥平面ABCD. 4．（25-26高三上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，点E，F分别是，BD的中点．    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面． 5．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 6．（25-26高三下·北京顺义·期中）如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 7．（25-26高三下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 8．（25-26高三下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)过点作平面平面交于点，交于点. ①证明：； ②求的值. 9.如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 创新提升 10．（25-26高三下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 11．（25-26高三下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 12．（25-26高三上·北京·开学考试）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：； (2)线段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. (3)求多面体的体积. 13．（24-25高三下·北京朝阳·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $