第二章 实数 章末检测 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 初中数学第二章实数单元卷，覆盖无理数、平方根、二次根式等核心知识，通过基础题与材料探究题结合，培养抽象能力、推理意识和应用意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数概念、平方根、二次根式定义|第5题无理数估值考查数感与抽象能力| |填空题|6/26|立方根、二次根式意义、数轴表示|22题结合勾股定理与数轴体现几何直观| |解答题|8/66|计算、分类、作图、规律探究|18题规律探究培养创新意识，16题材料阅读提升推理能力|

第二章 实数 章末检测 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在数字，π，0，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(﹣3) 2的平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．±3 3．下列说法正确的是（　　）． A．4是 的算术平方根 B．0的算术平方根是0 C．-2是 算术平方根 D．-4的算术平方根是-2 4．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．估计 的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．利用如图所示的计算器进行计算，按键操作错误的是（　　） A．计算 的值，按键顺序为 B．计算 的值，按键顺序为 C．计算 的值，按键顺序为 D．计算器显示结果为 时，若按 键，则结果切换为小数格式0.333 333 333 7．若将三个数- ， ， 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A．- B． C． D．无法确定 8．在式子 中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下列计算正确的是（　　） A．（+2）2＝7 B．3﹣＝3 C．＝25 D．＝5 10．如图．从一个大正方形中裁去面积为8m2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（　　） A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 二、解答题（共8题，共66分） 11．用计算器计算下列各式的值（精确到0.001）： （1）； （2）； （3）； （4）. 12．把下列各数填入相应的集合内： ，4， ， ， ，0.15，-7.5，- ，0，2.3． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛ …｝． 13．在下面数轴上作出﹣ 对应的点，尺规作图，保留必要的作图痕迹． 14．计算： （1） ； （2） . 15． （1）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，求 的值． （2）已知a是 的整数部分，b是它的小数部分，求a2+（b+3）2的值． 16．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来.比如：π， 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确. 材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的. 材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如 ，是因为 . 根据上述材料，回答下列问题： （1） 的整数部分是　 　，小数部分是　 　. （2） 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为 ，求 的值. （3）已知 ，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数. 17．阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用和表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以． （1）　 　，　 　；　 　，　 　． （2）如果，，求的立方根． 18．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　 　（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律． ①化简：　 　； ②若（a，b均为正整数），则的值为　 　． 三、填空题（共6题，共26分） 19．已知一个数的两个平方根分别是 和 ，则这个数的立方根是　 　. 20．的算术平方根是　 　，的立方根是　 　，的倒数是.　 　 21．若a是的整数部分，b是它的小数部分，则a﹣b＝　 　． 22．数轴上点A对应的数是-1，点C对应的数是-4，BC⊥AC，垂足为C，且BC = 1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为 　 　 23．若 有意义，则x的取值范围是　 　. 24．在二次根式 ； ； ； ； ； ； 中是最简二次根式的是　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无理数有π，0，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共2个． 故答案为：B 【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可. 2．【答案】D 【知识点】平方根 【解析】【解答】解：∵ ， ∴9的平方根为±3； 故答案为：D． 【分析】根据平方根的定义解答即可。 3．【答案】B 【知识点】算术平方根 【解析】【解答】A. 4是16的算术平方根，故原选项不符合题意； B. 0的算术平方根是0，故原选项符合题意； C.2是 算术平方根，故原选项不符合题意； D. -4没有算术平方根，故原选项不符合题意， 故答案为：B． 【分析】根据算数平方根的定义及计算方法逐项判断即可。 4．【答案】D 【知识点】算术平方根；立方根及开立方 【解析】【解答】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故答案为：D 【分析】利用算术平方根的性质，立方根计算求解即可。 5．【答案】B 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：因为4＜5＜9，所以2＜ ＜3， 所以2＋1＜ ＋1＜3＋1，即3＜ ＋1＜4. 故答案为：B. 【分析】先根据2＜ ＜3，可得2＋1＜ ＋1＜3＋1，即可得到答案。 6．【答案】B 【知识点】计算器在数的开方中的应用 【解析】【解答】计算 的值，按键顺序为 ，B符合题意． 故答案为：B 【分析】根据计算器的按键顺序写出计算的式子再求值即可。 7．【答案】B 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值 【解析】【解答】解：根据二次根式的估算可知 -2＜- ＜-1，2＜ ＜3，3＜ ＜4， 因此可知墨迹覆盖的是 . 故答案为：B. 【分析】比较这三个数与0、3的大小关系从而做出判断。 8．【答案】D 【知识点】二次根式的定义 【解析】【解答】解：根据二次根式的定义，二次根式有 ， ， ， ， 共5个． 故答案为：D． 【分析】利用二次根式的定义满足被开方数为非负数，根指数为2即可． 9．【答案】D 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故答案为：D． 【分析】利用完全平方公式，二次根式的加减，二次根式的化简分别进行求值，然后判断即可. 10．【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【解析】【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2， ∴大正方形边长为： ， ∴大正方形面积为（5 ）2=50， ∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2） 故答案为：D． 【分析】根据题意求出大正方形边长为： ，再根据面积公式求解即可。 11．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【知识点】计算器在数的开方中的应用；近似数及有效数字 【解析】【分析】（1）依次输入2ndF、、868、=可得结果，然后精确到0.001即可； （2）依次输入2ndF、 、0.426254、=可得结果，然后精确到0.001即可； （3）依次输入-、2ndF、 、、=可得结果，然后精确到0.001即可； （4）依次输入±、2ndF、 、2402、=可得结果，然后精确到0.001即可. 12．【答案】解：①有理数集合：｛4， ， ， ，0.15，-7.5，0，2.3…｝； ②无理数集合：｛ ，- …｝； ③正实数集合：｛ ，4， ， ， ，0.15，0，2.3…｝； ④负实数集合：｛-7.5，- …｝． 【知识点】实数的概念与分类 【解析】【分析】由实数分类的概念，进行分类填写即可。 13．【答案】如图，点C即为所求． 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【分析】先过原点作数轴所在的直线的垂线l，再以表示l的点A为圆心，3个单位长度为半径作弧，角直线l于点B，根据勾股定理得出OB的值，最后以原点为圆心，OB为半径作弧，与数轴的负半轴交于点C，则点C即为所求。 14．【答案】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， . 【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根的概念、0次幂的运算性质及二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可； （2）根据二次根式的乘法法则、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式分别去括号，然后进行有理数的加减法运算即可. 15．【答案】（1）解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ∴2a+1=9，3a﹣b﹣1=8， 解得：a=4，b=3， 则原式= =4 （2）解：由题意得：a=3，b= ﹣3， 则原式=9+10=19． 【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值；代数式求值 【解析】【分析】（1）先利用立方根和算术平方根的性质求出a=4，b=3，再将a、b的值代入计算即可； （2）先估算出的大小，即可得到a、b的值，再代入计算即可。 16．【答案】（1）4； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴a=6，b=7， ∴a+b=13； （3）解：∵1＜ ＜2， ∴1+3＜3+ ＜2+3， ∴4＜3+ ＜5， ∴x=4， y=3+ -4= ， x+4y=4+4( -1）=4 ， ∴x+4y的倒数是 . 【知识点】无理数的估值 【解析】【解答】解：（1）∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分是4，小数部分是 -4， 故答案为：4， ； 【分析】（1）由于，据此即得解； （2）由于，根据不等式的性质可得，据此可求出a、b的值，从而得解； （3） 由于1＜ ＜2，根据不等式的性质可得4＜3+ ＜5， 据此可求出x、y的值，再代入计算即可. 17．【答案】（1）1；；3；−3 （2）解：∵2＜＜3，10＜＜11， ∴＜＞＝a=−2，[]＝b=10， ∴， ∴的立方根是2． 【知识点】立方根及开立方；无理数的估值；定义新运算 【解析】【解答】（1）∵1＜＜2，3＜＜4， ∴[]＝1，＜＞＝−1，[]＝3，＜＞＝−3， 故答案为：1，，3，； 【分析】先估算出、的范围，再根据题意规定的表示出即可； （2）先估算出、的范围，即可求出a、b的值，进一步求出即可。 18．【答案】（1） （2） （3）证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立； （4）20；57 【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：（1）， 故答案是：； （2）， 故答案是：； （4）①， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案是：57． 【分析】（1）根据所给的式子，找出规律计算求解即可； （2）求出即可作答； （3）利用分式的加减法和二次根式的性质计算求解即可； （4）①根据所求的规律计算求解即可； ②先求出，再计算求解即可。 19．【答案】4 【知识点】平方根；立方根及开立方 【解析】【解答】解：由题意可知：3a+2+a-10=0， ∴4a=8， ∴a=2 ∴3a+2=8， ∴这个数为64， ∴64的立方根为4， 故答案为：4. 【分析】一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此求出a值，再求解即可. 20．【答案】9；； 【知识点】算术平方根；立方根及开立方 【解析】【解答】解：=81的算术平方根是9，=的立方根是，的倒数是， 故答案为：9，，. 【分析】利用，可求出的值，再求出它的算术平方根；利用立方根的性质可求出的立方根；再利用倒数的定义求出的倒数，然后分母有理化，可求出结果. 21．【答案】 【知识点】无理数的估值；代数式求值 【解析】【解答】解：∵2＜＜3， 又∵a是的整数部分，b是它的小数部分， ∴a＝2，b＝﹣2， ∴a﹣b＝2﹣（﹣2）＝4﹣． 故答案为：4﹣． 【分析】根据2＜＜3，可得a＝2，b＝﹣2，再将a、b的值代入a-b计算即可。 22．【答案】 或 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：根据题意，作图如下： ∵ ∴ 在 中 ，由勾股定理得： 即： ∵ ∴ ∴ ∴点D表示的数为： 或 故答案为： 或 . 【分析】根据题意画出示意图，利用勾股定理求出AB的长度，则可得出点A和点D之间的距离，结合数轴上两点间的距离公式即可求出点D表示的数. 23．【答案】 且 【知识点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解： 有意义， 由①得： 由②得： 所以x的取值范围是： 且 故答案为： 且 . 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数以及负整数指数幂的运算性质：底数不能为0可得x+3≥0且x-2≠0，联立求解即可得到x的范围. 24．【答案】 ， ， 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解： ，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ∴是最简二次根式的有： ， ， ， 故答案为： ， ， ． 【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式的定义一一判断即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $