1.4.2充要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过“地球有水与人类生存”“开关闭合与灯泡亮”等现实情境导入，结合《墨经》引文及上节课充分必要条件的回顾，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于情境创设融合现实与传统文化，任务探究通过小组合作（如平行四边形充要条件讨论）深化概念理解，例题与证明（如直线与圆相切充要条件）培养逻辑推理能力，体现数学思维与语言表达。助力学生提升推理与问题解决能力，为教师提供结构化教学流程与丰富实例，提升教学效率。

1.4 课时2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1 1 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义 学习目标 理解数学定义与充要条件的关系 能通过充分性、必要性解决简单的问题，能对充要条件进行证明. 1 2 创设情境 情境 水是生命的源泉，那么“地球有水”与“人类生存”之间有怎样的关系呢？ 图中“开关A闭合”与“灯泡C亮”之间具有怎样的关系呢? 答：地球有水不一定能得出有人类生存，但是人类生存一定可以得出地球有水；开关A闭合则灯泡C一定亮，反过来不一定成立. 其实我国古代先哲对于“充分”与“必要”的也早有阐释，比如《墨经》有云：有之则必然，无之则未必不然；无之则必不然，有之则未必然.就是对充分、必要条件的解读. 1 3 创设情境 回顾 你能回忆起上节课学习的充分、必要条件的定义吗？ 1 4 问题探究 思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac＜0； （4）若A∪B是空集，则A与B均是空集. 命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题 任务1 探究充要条件的概念及意义. 1 5 知识梳理 概念生成 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”为真命题，即既有p ⇒q,又有q ⇒p，就记作：p ⇔q. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.即：如果p ⇔q，那么p与q互为充要条件. 1 6 所以上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件.则命题(2)(3)中p与q是什么条件？ 一般地， (1)若p⇒q ,但q ⇏p，则称p是q的充分不必要条件； (2)若p ⇏q，但q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； (3)若p ⇏q，且q ⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 1 7 总结 1 8 例题分析 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即p⇔q,所以p是q的充要条件. 解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以q⇏p,所以p不是q的充要条件. 1 9 例题分析 （3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件. 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （3）p:xy>0,q:x>0,y>0; （4）p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0) （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件. 1 10 任务2：探究命题成立的充要条件. 探究：你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报. 答：①四边形的两组对角分别相等； ②四边形的两组对边分别相等； ③四边形的一组对边平行且相等； ④四边形的对角线互相平分，都是“四边形是平行四边形”的充要条件. 另外，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，表明“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的充要条件. “四边形是平行四边形”的每个充要条件都从不同的角度刻画了“平行四边形”这个概念. 1 11 思考：你能此给出“平行四边形”的其他定义形式吗？ 答：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 思考：你能根据“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的充要条件，分别给出“三角形全等”和“三角形相似”的定义形式吗？ 答：“两个三角形全等”的充要条件： ①三边对应相等，两个三角形全等； ②两组对应边及夹角相等，两个三角形全等； ③两组对应角及夹边相等，两个三角形全等； ④两组对应角及一角所对的边对应相等，两个三角形全等. “两个三角形相似”的充要条件：①三边对应成比例，两个三角形相似； ②两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例及夹角相等，两个三角形相似. 1 12 判断充要条件的方法： (1)分清命题的条件和结论 (2)找推式，判断p⇒q和q⇒p的真假 (3)根据条件和推式得出结论 总结归纳 1 13 练一练 指出下列各组中p是q的什么条件 ①p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； ②p：四边形对角线互相平分，q：四边形是矩形； 因为p和q代表的都是等腰三角形，所以p=q，即p⇔q，p是q的充要条件. 普通平行四边形（非矩形），对角线互相平分，但不是矩形 ∴ p不能推出 q，p不是 q的充分条件。 若四边形是矩形，则矩形属于平行四边形，对角线必然互相平分。 ∴ q可以推出 p，p是 q的必要条件。 所以p是q的必要不充分条件。. 1 14 例题分析 例2 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 解：设p：d＝r， q：直线l与⊙O相切． （1）充分性（p ⇒q）：如图,作OP⊥l于点P,则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O 相切. P Q l O 1 15 例题分析 例2 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． （2）必要性（q⇒p）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P， 则OP⊥l，因此，d=OP=r. 由（1）（2）可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. P Q l O 1 16 随堂小测 1、判断正误： （1）当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立. ( ) （2）若p⇏q和q⇏p有一个成立，则p有可能是q的充要条件. （ ） √ × 2、已知 p:x=1或x=-1,q:-1=0,则p是q的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 c 3、(多选)下列说法正确的是(    ) A.“x²−2x=0”是“x=2”的必要不充分条件 B.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件 C.当a≠0时，“b²−4ac<0”是“方程ax²+bx+c=0有解”的充要条件 D.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 ABD 1 17 4、求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明： （1）充分性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”． ∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0． （2）必要性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”． 把x=1代入方程的左边，得a×12+b×1+c=a+b+c． ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程的根．综合（1）（2）知命题成立. 随堂小测 1 18 课堂总结 条件p与结论q的关系与充分必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q⇏p q⇒p, 但p⇏q p⇏q，且q⇏p p⇔q p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的既不充分也不必要条件 p是q的充要条件 1 19 回顾：本节课学习了那些知识点. （1）什么是充要条件，用符号怎么表示？ （2）怎么判断充要条件？ 1 20 加油💪 1 21 $