1.4.2 充要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过课前自主学习问题（如整数倍数关系判断）衔接充分条件与必要条件，以问题链为支架引导学生构建概念。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，借助思维导图呈现“充分/必要条件→充要条件→判断→应用”的推导流程，结合典例分析（如方程根的关系判断）和类题通法（定义法等四种方法）培养学生思维。定向训练与课堂练习强化应用，帮助学生用数学语言表达关系，教师可借此提升教学效率。

1.4.2　充要条件 素养目标 思维导图 1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义(数学抽象). 2.理解数学定义与充要条件的关系(逻辑推理). 课前自主学习 问题1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗? 提示:p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p是q的必要条件. 问题2.“若p,则q”为真命题,“若q,则p”也是真命题,那么p与q的关系是什么? 提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,即p⇔q. 【核心概念】 充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 课堂合作探究 探究点一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 【典例1】(1)“x=1”是“x2-1=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【思维导引】求出方程x2-1=0的解,根据充分条件以及必要条件的性质求解. 【解析】选A.解x2-1=0可得x=±1,所以“x=1”是“x2-1=0”的充分不必要条件. (2)设A,B,U是三个集合,且A⊆U,B⊆U,则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【思维导引】结合充分条件和必要条件的定义可得出结论. 【解析】选C.因为(∁UA)∩(∁UB)= ∁U(A∪B),所以“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件. 【类题通法】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:利用集合的包含关系判断. (3)等价法:利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性. 【定向训练】 1.以下选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解 【解析】选D.对于A,p:x>1,q:x<1,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于B,p⇒q,但q p,所以p是q的充分不必要条件;对于C,p q,但q⇒p,所以p是q的必要不充分条件;对于D,显然q⇔p,所以p是q的充要条件. 2.(多选题)(2025·厦门高一检测)下列命题正确的是 (　　) A.“A∩B=⌀”是“集合A或B为空集”的充要条件 B.“同位角相等”是“两直线平行”的充要条件 C.“a>b且c>0”是“ac>bc”的必要不充分条件 D.“b2=4ac”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根”的充要条件 【解析】选BD.对于A,充分性:当A∩B=⌀时,取A={1,2},B={3},A,B均不为空集,充分性不成立; 必要性:当A或B为空集时,一定有A∩B=⌀,必要性成立, 故“A∩B=⌀”是“集合A或B为空集”的必要不充分条件,故A错误; 对于B,由两直线平行的判定及性质定理得,“同位角相等”是“两直线平行”的充要条件,故B正确; 对于C,充分性:当a>b且c>0时,必有ac>bc,充分性成立; 必要性:当ac>bc时,有c(a-b)>0,即a>b且c>0或a<b且c<0,故不一定有a>b且c>0,必要性不成立,故“a>b且c>0”是“ac>bc”的充分不必要条件,故C错误; 对于D,充分性:当b2=4ac时,Δ=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根,充分性成立; 必要性:当方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根时,b2-4ac=0,即b2=4ac,必要性成立,所以“b2=4ac”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根”的充要条件,故D正确. 探究点二　充分条件、必要条件、充要条件的应用 【典例2】(1)(2025·临沂高一检测)一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1 【思维导引】根据给定条件,利用充要条件的定义,结合一元二次方程根的情况求解即得. 【解析】选A.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,等价于解得a<0,所以所求充要条件是a<0. (2)(一题多问) 已知集合P=,非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},回答下列问题. ①若x∈P是x∈S的必要条件,求实数m的取值范围; ②若x∈P是x∈S的充分条件,求实数m的取值范围; ③若x∈P是x∈S的充要条件,求实数m的取值范围; ④若x∈∁RP是x∈∁RS的必要不充分条件,求实数m的取值范围; ⑤若x∈∁RP是x∈∁RS的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 【问题解读】①根据必要条件的定义可得S⊆P; ②根据充分条件的定义可得P⊆S; ③根据充要条件的定义可得P=S; ④由题意可得P⫋S; ⑤由题意可得S⫋P. 【解析】①由题知P=,非空集合S=,由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,所以,解得0≤m≤3; 即实数m的取值范围是{m|0≤m≤3}; ②由x∈P是x∈S的充分条件,知P⊆S, 所以,解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}; ③若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,所以,解得,m∈∅, 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件; ④因为x∈∁RP是x∈∁RS的必要不充分条件, 所以x∈P⇒x∈S且x∈S x∈P,所以P⫋S.所以或,解得m≥9, 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. ⑤因为x∈∁RP是x∈∁RS的充分不必要条件,所以x∈S⇒x∈P且x∈P x∈S,所以S⫋P. 所以或,解得m≤3, 即实数m的取值范围是{m|m≤3}. 【类题通法】集合法求参数的取值范围的步骤 (1)化简:先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)}. (2)定关系:然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系. (3)列不等式(组):利用A,B关系,借助数轴列相关不等式组,求出参数的取值范围. 【定向训练】 关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2的充要条件是　　　　　　　.  【解析】若方程ax2+bx+c=0有一个根为2,把x=2代入方程ax2+bx+c=0中可得4a+2b+c=0,所以必要性成立. 若4a+2b+c=0,所以c=-4a-2b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-4a-2b=0, 即(x-2)(ax+2a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为2,所以充分性成立. 综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2的充要条件是4a+2b+c=0. 答案:4a+2b+c=0 课堂练习 1.对于实数x,“x<1”是“-1<x<1”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.当x<1时,例如x=-2<1,但-1<x<1不成立,故充分性不成立;反之,若 -1<x<1,则x<1,故必要性成立. 2.若x∈R,则“x>1”是“x>1或x<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.当x>1时,x>1或x<0成立;而当x>1或x<0时,x>1不一定成立,所以“x>1”是“x>1或x<0”的充分不必要条件. √ √ 3.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.  【解析】函数y=x2+mx+1的对称轴为x=-=1,所以m=-2. 答案:m=-2 4.若A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　.  【解析】因为A是B的充分不必要条件,所以A⫋B, 又A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3}. 因此a+2≤-1或a≥3, 所以实数a的取值范围是{a|a≥3或a≤-3}. 答案:{a|a≥3或a≤-3} 谢谢 $