精品解析：2022年陕西省西安市高新区逸翠园学校中考数学模拟试卷（九）

2022年陕西省西安市高新区逸翠园学校中考 数学模拟试卷（九） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 0的相反数是0 B. 任何有理数都有相反数 C. a的相反数是﹣a D. 表示相反意义的量的两个数互为相反数 2. 据《人民日报》国庆期间报道，截至2021年10月2日，31个省（区、市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗22.12亿剂次．将数据“2212000000”用科学记数法表示正确的是（　　） A. 2212×106 B. 2.212×108 C. 22.12×108 D. 2.212×109 3. 下面是空心圆柱体，俯视图正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（ ）. A. B. C. D. 5. 点是一次函数图象上一点，若点在第一象限，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）． A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二 7. 已知为圆的直径，为圆周上一点，，．则的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，不正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 9. 若，则______． 10. 一个多边形的各内角都等于，则这个多边形的对角线共有______条． 11. 已知点和关于原点对称，则的值为______． 12. 矩形的对角线、相交于点，，，，垂足为，那么______，______． 13. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论： ①； ②； ③四边形与面积相等； ④若，，则点的坐标为． 其中正确结论的有____． 三、计算题（本大题共2小题，共11分） 14. 计算题： （1）； （2）． 15. 双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 四、解答题（本大题共11小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 计算： （1）先化简，再求值：，其中满足． （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； （3）若，垂足为，求证：． 19. 如图，若已知中，分别为的中点，则可得，且．�根据上面的结论： （1）你能否说出顺次连结任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形？�并说明理由． （2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由． 20. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． （1）小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 21. 学校计划购买甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元，且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元 (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1200元，则最多可以购买甲种图书多少本？ 22. 夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 （1）计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； （2）如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 23. 甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折．设（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额． （1）根据题意，填写如表：（单位：元） 商品原价 购物金额 ______ 甲商场 ______ 乙商场 ______ （2）分别就两家商场的让利方式，写出关于的函数解析式； （3）春节期间，当在同一商场累计购物超过元时，哪家商场的实际花费少？ 24. 解答： （1）在中，，，点在线段上，，延长交于，于，探究线段与的数量关系，并加以证明． 小白的想法是，将以直线为对称轴翻折，再通过证明得到结论，请按照小白的想法完成此题解答． 证明：延长至点，使，连接交于点． （2）【解决问题】中，，点是线段的延长线上一点，，平分交于点，于，交于，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点从点出发沿线段向点运动，到达点停止，连接，过点作于点，作于点，当时，求点的坐标； （3）如图，设点是线段的中点，连接、、，在点由起点运动到终点的过程中，求周长的最小值． 26. 定义：当点C在线段上，时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．理解：如点C是的中点时，即，则；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 应用： （1）如图1，点C在线段上，若，则　　；若，则　　， （2）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为． ①若点P、Q的运动速度均为，试用含t的式子表示和，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，？ ③拓展：如图2，在三角形中，，，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段匀速运动到点B，点Q沿线段，匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设，当点Q运动到线段上时，请用含n的式子表示．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年陕西省西安市高新区逸翠园学校中考 数学模拟试卷（九） 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 0的相反数是0 B. 任何有理数都有相反数 C. a的相反数是﹣a D. 表示相反意义的量的两个数互为相反数 【答案】D 【解析】 【详解】A中，0的相反数是0本身，故A不符合题意； B中，任何有理数都有相反数，故B不符合题意； C中，a的相反数是﹣a，故C不符合题意； D中，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．而表示相反意义的量的两个数可以用正数和负数表示． 故选D． 【点睛】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2. 据《人民日报》国庆期间报道，截至2021年10月2日，31个省（区、市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗22.12亿剂次．将数据“2212000000”用科学记数法表示正确的是（　　） A. 2212×106 B. 2.212×108 C. 22.12×108 D. 2.212×109 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数． 【详解】解：2212000000＝2.212×109， 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下面是空心圆柱体，俯视图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：该空心圆柱体的俯视图是： 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 4. 如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值． 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4， ∴BE＝， 即PA＋PB的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 5. 点是一次函数图象上一点，若点在第一象限，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：把点代入一次函数得， ． ∵点在第一象限上， ∴，可得， 因此，即， 故选B． 6. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）． A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB， ∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边， ∴,， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键． 7. 已知为圆的直径，为圆周上一点，，．则的度数为（ ） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，利用平行线的性质得出，由等边对等角可得，利用直径所对的圆周角为直角得出，最后根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵AB为直径， ∴， 在中， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查圆周角定理，平行线的性质，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8. 如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，不正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】先通过抛物线开口、对称轴位置、轴交点判断符号，判断正负；根据抛物线与轴交点个数判别式符号；利用对称轴得到，代入的函数值推导大小；再结合与的函数值相加变形判断的符号，最后统计错误结论数量． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ， 对称轴是直线，在轴的右侧， ，异号，即， 函数图象与轴交于正半轴， ， ，故①不正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线对称轴是直线， ， ， 当时，， ，即，故③正确； 当时，，当时，， ，即，故④正确， 不正确的个数为1． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 9. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用完全平方公式将所求代数式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 10. 一个多边形的各内角都等于，则这个多边形的对角线共有______条． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据内角与外角的关系求出多边形的外角度数，再利用多边形外角和定理求出多边形的边数，最后代入多边形对角线公式计算即可． 【详解】解：∵一个多边形的各内角都等于， ∴每个外角为， ∵任意多边形的外角和为， ∴多边形的边数， 即该多边形为六边形， 边形的对角线条数公式为， 将代入得， ． 11. 已知点和关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点关于原点对称的坐标特征，即关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，由此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：点和关于原点对称， ，， 解得，， ． 12. 矩形的对角线、相交于点，，，，垂足为，那么______，______． 【答案】 ①. 12 ②. 9 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得对角线相等且互相平分，推出，结合可得为等边三角形，设，得到，再利用勾股定理求出，再根据等边三角形三线合一得到的长度，进而求出． 【详解】解：如图 ∵ 四边形是矩形， ∴ ，，，， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴ ， ∴ ， ∵ ，是等边三角形， ∴ 为中点， ∴ ， ∴ ． 13. 如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论： ①； ②； ③四边形与面积相等； ④若，，则点的坐标为． 其中正确结论的有____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】设正方形的边长为，表示出，，，，的坐标，利用得到三角形与三角形全等，结论①正确；利用勾股定理表示出与，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形与三角形全等，根据三角形面积三角形面积四边形面积三角形面积，等量代换得到四边形与面积相等，结论③正确；过作垂直于，如图所示，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的值，确定出坐标，即可对于结论④做出判断． 【详解】解：设正方形的边长为， 得到，，，，，， 在和中， ， ，结论①正确； 根据勾股定理，，， 和不一定相等，结论②错误； ， ，结论③正确； 过点作于点，如图所示， ， ，， ，， ，， ， ， ，即， 由得，， 整理得：， 解得：（舍去负值）， 点的坐标为，结论④正确， 则结论正确的为①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，共11分） 14. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）-3；（2）x+1. 【解析】 【分析】（1）根据二次根式、零指数幂和正整数指数幂可以解答本题； (2)把括号中通分后，利用同分母分式的加法法则计算，分子进行合并，同时除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果 【详解】（1） = =-3 （2） = = =． 【点睛】(1)本题考查二次根式的混合运算、零指数幂和正整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． (2)此题考查了分式的化简，加减的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，分式的乘除关键是约分，约分的关键是找出公因式. 15. 双十一期间，某店铺推出的如图的雪球夹销售火爆，其形状可近似地看成图的图形，当雪球夹闭合时，测得，厘米，求这个雪球夹制作的雪球的直径的长度．（结果精确到厘米，参考数据：，，， ， ， ） 【答案】这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 【解析】 【分析】过点O作于点，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点， 厘米，， ，， 厘米 ， 厘米， 即这个雪球夹制作的雪球的直径的长度约为厘米． 四、解答题（本大题共11小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． 17. 计算： （1）先化简，再求值：，其中满足． （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， 当时，原式； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 原不等式组的解集是． 18. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的度数； （3）若，垂足为，求证：． 【答案】（1）证明：连接、，如图， 由作法得，， 而， ， ， 即平分； （2） （3）证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中 ． 【解析】 【分析】（1）作图步骤给出三组相等线段，思路是连接辅助线、，利用证明与全等，通过全等三角形对应角相等，直接证出平分； （2）已知，同旁内角互补，可先由算出的度数；再结合第一问结论是角平分线，所求就是的一半，代入数值即可求出角度． （3）先由平行线内错角相等得到，结合角平分线推出，等角对等边得；又垂直，有两组直角相等，再搭配一组等角与一组等边，用即可证明两个直角三角形全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， 平分， ； 【小问3详解】 略 19. 如图，若已知中，分别为的中点，则可得，且．�根据上面的结论： （1）你能否说出顺次连结任意四边形各边中点，可得到一个什么特殊四边形？�并说明理由． （2）如果将（1）中的“任意四边形”改为条件是“平行四边形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”，那么它们的结论又分别怎样呢？请说明理由． 【答案】（1）解：平行四边形，理由如下， 如图，设四边形的中点分别为，连，， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴顺次连接任意四边形各边中点得到平行四边形； （2）解：形状依次为平行四边形，矩形，菱形，菱形，理由如下， 由（1）知，顺次连结任意四边形各边中点得到的新四边形对边的长度等于对应原四边形的对角线的一半，邻边的位置关系与原四边形的对角线的位置关系一致， ∴得出新四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定的平行四边形， ∵平行四边形的对角线即不垂直也不相等， ∴顺次连结任意平行四边形各边中点，可得到普通平行四边形， ∵菱形的对角线互相垂直， ∴顺次连结菱形各边中点得到平行四边形的邻边互相垂直即为矩形， ∵矩形的对角线相等， ∴顺次连结矩形各边中点得到平行四边形的邻边相等即为菱形， ∵等腰梯形的对角线相等， ∴顺次连结等腰梯形各边中点得到平行四边形的邻边相等即为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的定理得到四边形的对边平行且相等，结合平行四边形的判定定理即可得解； （2）根据四边形的对角线的特点结合三角形的中位线的定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 20. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止． （1）小明完成一次有效转动后，求指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）小明和小颖用转盘做游戏，每人有效转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请用画树状图或者列表法说明理由． 【答案】（1）； （2）不公平，理由如下： 列表如下： 由表可知，所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果， 所以小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为， 由知此游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求出指针所指扇形中的数字是奇数的概率； （2）列表把所有可能出现的情况表示出来，可知所有等可能的情况数为种，其中两次指针所指数字之和为奇数的有种结果，和为偶数的有种结果，所以游戏不公平． 【小问1详解】 解：在标有数字、、的个扇形中，奇数有、这个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为； 【小问2详解】 略 21. 学校计划购买甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元，且购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元 (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)学校计划购买这两种图书共50本，且投入总经费不超过1200元，则最多可以购买甲种图书多少本？ 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元；(2)最多可购买甲种图书20本． 【解析】 【分析】（1）根据“甲种图书的单价比乙种图书的单价多10元”以及“购买3本甲种图书和2本乙种图书共需花费130元”可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据“投入总经费不超过1200元”可以列出相应的不等式，从而可以求得甲种图书最多能购买多少本． 【详解】解：（1）设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意，得： 解得：． 答：甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元． （2）设最多可购买甲种图书m本，则购乙种图书（50﹣m）本，由题意，得： 30m+20×（50﹣m）≤1200 解得：m≤20． 答：最多可购买甲种图书20本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和一元一次不等式． 22. 夏良是一位有心的同学，他把自己八年级第一学期的数学质量检测成绩（单位：分）作了统计（如表）： 质量检测类型 平时 期中 期末 检测 检测 检测 检测 成绩 （1）计算夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩； （2）如果学期总评成绩是按照图所示的权重计算，请计算出夏良该学期的数学总评成绩． 【答案】（1）分 （2）分 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用加权平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：夏良平时四次检测成绩为， 则（分）， 答：夏良该学期数学平时质量检测的平均成绩为分； 【小问2详解】 解：（分）． 答：夏良该学期的数学总评成绩为分． 23. 甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折．设（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额． （1）根据题意，填写如表：（单位：元） 商品原价 购物金额 ______ 甲商场 ______ 乙商场 ______ （2）分别就两家商场的让利方式，写出关于的函数解析式； （3）春节期间，当在同一商场累计购物超过元时，哪家商场的实际花费少？ 【答案】（1）如下表， 商品原价 购物金额 260 甲商场 144 乙商场 242 （2）甲商场：；乙商场： （3）当商品原价大于200元小于600元时，甲商场实际花费少；当商品原价等于600元时，两家商场实际花费相同；当商品原价大于600元时，乙商场实际花费少 【解析】 【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别求解即可； （2）根据两家商场的让利方式分别列式即可； （3）根据题意分别列出方程和不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当商品原价为180元时，甲商场的售价为（元）， 当甲商场的售价为208元时，商品原价为（元）， 乙商场的售价为（元）， 填写表格略； 【小问2详解】 解：根据题意得，甲商场：； 乙商场：当时，； 当时，； ∴； 【小问3详解】 解：∵时， ∴当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当商品原价大于200元小于600元时，甲商场实际花费少；当商品原价等于600元时，两家商场实际花费相同；当商品原价大于600元时，乙商场实际花费少． 24. 解答： （1）在中，，，点在线段上，，延长交于，于，探究线段与的数量关系，并加以证明． 小白的想法是，将以直线为对称轴翻折，再通过证明得到结论，请按照小白的想法完成此题解答． 证明：延长至点，使，连接交于点． （2）【解决问题】中，，点是线段的延长线上一点，，平分交于点，于，交于，求的值． 【答案】（1）结论：． 理由：如图中，延长至点，使，连接交于点． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过延长构造对称点，实现翻折，利用垂直平分线性质得到，结合已知角的数量关系推出，得到直角；再由等腰直角三角形底角得出，找到两组等角，用证明，将等量转化为，而，即可得到线段倍半关系． （2）已知角平分线，采用截长补短构造全等，延长至使，证；结合的倍角条件，外角推导得出；由垂直平分、得，推出，得到线段比例，代入与，化简求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长到，使得，连接． 平分交于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点从点出发沿线段向点运动，到达点停止，连接，过点作于点，作于点，当时，求点的坐标； （3）如图，设点是线段的中点，连接、、，在点由起点运动到终点的过程中，求周长的最小值． 【答案】（1）； （2） ； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可得，求出即可得出答案； （3）是顶角不变的等腰三角形（形状不变），故腰长最小时周长最小，即最小时周长最小，即可求出周长的最小值． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图： 抛物线的函数表达式：：，，点 ，， 令，得， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：． ，，是线段的中点， ， 、、、四点在以为圆心，为半径的圆上， ， 是定值， 是顶角不变的等腰三角形，即形状不变， 腰长最小，即最小时，、最小， 当最小时，，如图： ，， 为中点， 而， ，， ， ， ， ，， ， ， 周长的最小值为． 26. 定义：当点C在线段上，时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．理解：如点C是的中点时，即，则；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 应用： （1）如图1，点C在线段上，若，则　　；若，则　　， （2）已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为． ①若点P、Q的运动速度均为，试用含t的式子表示和，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，？ ③拓展：如图2，在三角形中，，，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段匀速运动到点B，点Q沿线段，匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设，当点Q运动到线段上时，请用含n的式子表示．（直接写出答案） 【答案】（1），； （2）①，，1；②4或；③ 【解析】 【分析】（1）根据题意由即可得到；由得到，根据题意即可得到； （2）①由点P、Q的运动速度均为，得到，，根据定义即可得到，，由即可得到两者的数量关系； ②点P、Q的运动速度分别为和，得到，，，则，，，由即可得到关于t的方程，分别解方程即可得到答案； ③设运动时间为t，设点P的速度为，点Q速度为：，则，再求出与n的关系，代入，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 若， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①∵点P、Q的运动速度均为， ∴，， ∴，， ∴； ②∵点P、Q的运动速度分别为和， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，或， ∴或； ③设运动时间为t， ∵点P、Q同时到达点B， ∴点P的速度：点Q速度＝3：5， 设点P的速度为，点Q速度为：， ∴，则， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $