精品解析：河南省郑州高新区朗悦慧外国语中学2021-2022学年九年级上学期开学测试数学试卷

2021-2022学年河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. x2+=3 B. x2+x=y C. （x﹣4）（x+2）=3 D. 3x﹣2y=0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：依据一元二次方程的定义求解即可． A、分母中含有位置数，是分式方程，故A错误； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误； C、整理后可变形为x2﹣2x﹣11=0，是一元二次方程，故C正确； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误． 考点：一元二次方程的定义． 2. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； D、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，是假命题，符合题意； 3. 如图，在菱形中，，对角线的长为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 4. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=2×2=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OA=AC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 5. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ） A. ﹣8 B. 8 C. 16 D. ﹣16 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1， ∴ =﹣2+1=-1， =﹣2 ， ∴ ， ∴=（﹣4）2=16． 故选：C． 6. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 7. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 8. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 9. 如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可. 【详解】解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８, 勾股定理得ＡＢ＝１０, ∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４, ∴Ｓ正方形GHEF＝４,四个直角三角形的面积＝９６, ∴针扎在小正方形GHEF部分的概率是= 故选Ｄ. 【点睛】本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键. 10. 关于代数式的说法正确的是（ ） A. 当时，代数式有最大值 B. 当时，代数式有最小值 C. 当时，代数式有最大值 D. 当时，代数式有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式将代数式恒等变形，再根据非负数的性质和不等式性质进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ， ，则， ∴当时，代数式有最大值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=__时，四边形ABCD是菱形． 【答案】8 【解析】 【分析】当四边形ABCD为菱形时，则有AC⊥BD，设AC、BD交于点O，结合平行四边形的性质可得AO=3，AB=5，利用勾股定理可求得BO，则可求得BD的长． 【详解】如图，设AC、BD交于点O， 当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO= AC=3，且AB=5， ∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得BO=4， ∴BD=2BO=8， 故答案为8． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定，解题关键在于得到AO=3． 12. 如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是________________． 【答案】（70-3x）（40-2x）=40×70×（1-）． 【解析】 【详解】解：设路宽为xm， 由题意得，（70-3x）（40-2x）=40×70×（1-）． 故答案为：（70-3x）（40-2x）=40×70×（1-）． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程． 13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次颜色相同的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次颜色相同的有4种情况， ∴两个数字都是正数的概率是, 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】过E作，过G作，过H作，与相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】过E作，过G作，过H作，垂足分别为P，Q，R，与相交于I，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴四边形AEPD是矩形， ∴， ∵点E，F分别是AB，BC边的中点， ∴， ，， ∵点G是EC的中点， 是的中位线， ， 同理可求：， 由作图可知四边形HIQP是矩形， 又HP=FC，HI=HR=PC， 而FC=PC， ∴ ， ∴四边形HIQP是正方形， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线与勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键． 15. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形画出图形，然后根据翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，， 设，则， 在中，则有：， 解得， ∴， 综上可得：的长为或15． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）x1，x2 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可． 【详解】原式==， 当时，原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式． 18. 我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学.其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类: A.非常满意；B.很满意；C.一般；D.不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图(如图所示).请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题: （1）接受问卷调查的学生共有__ _人； ； ； （2）补全条形统计图； 频数分布统计表 类别 频数 频率 （3）若该校共有学生人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为类和类的学生共有多少人； （4）为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【答案】（1）300，120，0.2；（2）详见解析；（3）估计该校学生中类和类共有人；（4） 【解析】 【分析】（1）由C组人数与所占的百分比求总人数，利用总人数求； （2）根据的数值补全图形即可； （3）利用样本所占百分比估计总体即可； （4）利用列表法求甲、乙两名同学同时被抽中的概率即可． 【详解】解：（1）由人， 所以接受问卷调查的学生共有人． 人． 故答案为： （2）补全图形如下： （3）(人)． 答:估计该校学生中类和类共有人． （4）列表如下: 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种． P甲乙 答:甲、乙两位同学同时被抽中的概率为． 【点睛】本题考查的是频数分布表，条形统计图以及利用列表法求概率，掌握从图表中获取信息，求概率的方法是解题的关键． 19. 如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，交于O，勾股定理求出，然后求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，交于O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形、矩形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． （1）证 ，得，再由，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得，再求出，则；②由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当时，四边形是矩形； ②． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即当时，四边形是菱形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 22. 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）设这种水果每斤的售价降低x元（），每天的销售量为y斤，求y与x的关系式； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1）；（2）只需将每斤的售价降低1元． 【解析】 【分析】（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可； （2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可． 【详解】（1）当时， （2）由题意得：解得：， 当时，（舍去） 当时， ∴只需将每斤的售价降低1元． 【点睛】本题考查了理解解题的能力，销售量×每斤利润=总利润，掌握利润公式是解题的关键． 23. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．如图，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系， （1）观察猜想：如图，若点O在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是 ； （2）探究证明；如图，若点O在正方形的内部（含边界），且OM=ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由； （3）拓展延伸：若点O在正方形的外部，且OM=ON，请你在如图中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论（不必说明理由）． 【答案】（1）OM=ON （2）三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC），（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）连接OC、OB，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON； （2）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上； （3）如图4，可以运用（2）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论；如图5，可同理得也结论． 【详解】（1）如图2，连接OC、OB， 则由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45° ∵∠MON=90°， ∴∠BOM=∠CON， 在△BOM和△CON中， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴OM=ON， 故答案为OM=ON， （2）三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC）， 如图3，过点O分别作OE⊥BC，OF⊥CD，垂足分别为E，F， 则∠OEM=∠OFN=90°． 又∵∠C=90°， ∴∠EOF=∠MON=90°． ∴∠MOE=∠NOF． 在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON， ∴△MOE≌△NOF（AAS） ∴OE=OF． 又∵OE⊥BC，OF⊥CD， ∴点O在∠C的角平分线上． ∴三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成线段AC（对角线AC）， （3）画图如图4： 过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°， 又∵∠C=90°， ∴∠EOF=90°=∠MON， ∴∠MOE=∠NOF， 在△MOE和△NOF中， ， ∴△MOE≌△NOF（AAS）， ∴OE=OF， 又∵OE⊥BC，OF⊥CD， ∴点O在∠C的平分线上， ∴三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成直线AC， 同理如图5，O'M'=O'N'，同理得O'在∠BCD外角平分线上，即三角板移动过程中所有满足条件的点O在过点C且与AC垂直的直线上， 综上所述，三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成直线AC或过点C且与AC垂直的直线． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年河南省郑州市高新区朗悦慧外国语中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. x2+=3 B. x2+x=y C. （x﹣4）（x+2）=3 D. 3x﹣2y=0 2. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 一组邻边相等的矩形是正方形 D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 3. 如图，在菱形中，，对角线的长为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 5 4. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 5. 关于x的方程的两个根是﹣2和1，则的值为（ ） A. ﹣8 B. 8 C. 16 D. ﹣16 6. 一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 7. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 9. 如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形部分的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 关于代数式的说法正确的是（ ） A. 当时，代数式有最大值 B. 当时，代数式有最小值 C. 当时，代数式有最大值 D. 当时，代数式有最小值 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=__时，四边形ABCD是菱形． 12. 如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是________________． 13. 如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是__________． 14. 如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________． 15. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学.其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类: A.非常满意；B.很满意；C.一般；D.不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完整的统计表和统计图(如图所示).请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题: （1）接受问卷调查的学生共有__ _人； ； ； （2）补全条形统计图； 频数分布统计表 类别 频数 频率 （3）若该校共有学生人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为类和类的学生共有多少人； （4）为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 19. 如图，正方形的边长为1，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ____________________． 20. 如图，在中，点F是的中点，点E是线段延长线上一动点，连接，过点C作的平行线，与线段的延长线交于点D，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，则在点E的运动过程中： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 22. 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）设这种水果每斤的售价降低x元（），每天的销售量为y斤，求y与x的关系式； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 23. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N．如图，若点O与点A重合，容易得到线段OM与ON的关系， （1）观察猜想：如图，若点O在正方形的中心（即两条对角线的交点），OM与ON的数量关系是 ； （2）探究证明；如图，若点O在正方形的内部（含边界），且OM=ON，请判断三角板移动过程中所有满足条件的点O可组成什么图形，并说明理由； （3）拓展延伸：若点O在正方形的外部，且OM=ON，请你在如图中画出满足条件的一种情况，并就“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点O所组成的图形”，写出正确的结论（不必说明理由）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $