精品解析：辽宁大连市第二十三中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

大连市第二十三中学2026年春季学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组 校对人：高三备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B. C. 当时，残差为 D. 点一定在经验回归直线上 5. 在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 13. 若数列的前项和，则的通项公式是________． 14. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求的极值． 16. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各名进行调查统计．记事件“成绩优良”，“有固定阅读习惯”，据统计，． （1）补全列联表，判断是否有的把握认为阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列{}的前项和，求． 18. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 19. 现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为． （1）求，的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第二十三中学2026年春季学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组 校对人：高三备课组 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为全集，则集合为. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 3. 在等差数列中， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 4. 已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 年份代号 成交额万元 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为万元 B. C. 当时，残差为 D. 点一定在经验回归直线上 【答案】C 【解析】 【分析】先计算平均数，再由回归直线经过样本中心得，判断B；由回归直线方程求得预测值即可判断A；由回归方程求出预测值，计算残差值即可判断C；将点坐标代入回归直线方程即可判断D. 【详解】 因，， 因为必过样本中心点，则有，解得. 对于A：年对应，代入得 ，但该预测值不是确定值，故A错误； 对于B：计算得，故B错误； 对于C：当时，实际值，预测值，残差 ，故C正确； 对于D：时，点为即，代入回归方程得， 故点不在回归直线上，故D错误. 5. 在正项等比数列中，若，为方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理、等比数列的性质、对数的运算求解即可. 【详解】由题意得，. 在正项等比数列中，，所以. 所以. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 7. 已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（ ） A. B. 是增函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】由随机变量，得到正态分布曲线关于对称，根据正态分布的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小， 所以函数为单调递减函数，所以B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 所以， 则， 所以的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由选项B知：函数为单调递减函数， 所以的图象不关于对称，所以D错误. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定，再构造函数，通过单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】当时，，，， 相加得， 当时，，，， 相加得， 又当时， 故对任意，可验证得： 令，可得，又， 所以是上的奇函数， 当时，，求导得， 故在单调递增； 由奇函数单调性性质，是上的单调递增函数， 原不等式，代入， 化简得：   由单调递增，得不等式：， 若：，原不等式无解； 若，则， 即，又，解得 综上：的取值范围是. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得，，，. 对选项A：由全概率公式可得， ∴ ，故A正确. 对选项B：， 由条件概率公式得，故B正确. 对选项C：∵ 随机变量服从两点分布，其中， ∴ ，故C错误. 对选项D：∵ 两点分布的方差，其中， ∴ . 又∵ 方差满足性质， ∴ ，故D正确. 10. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 【答案】BD 【解析】 【分析】首先通过递推公式构造等比数列求出 的通项，进而得到 的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项. 【详解】选项 A ：计算得 ， 公差不相等，故 不是等差数列，A错误； 选项B：由 变形得 ，即 ，且 ， 因此 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列，B正确； 选项C：由等比数列通项公式得 ，不是 ， C 错误； 选项D：先化简通项： ，故 ， 前项和裂项相消得 ，D正确. 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,先令 ，求得，再令，可得，即可判断；对于B，令代入求解后，即可判断；对于C，令，代入求解后即可判断；对于D，通过计算可得函数是周期函数，最小正周期为，由此求解即可. 【详解】对于A,令 ，得，解得， 令，得， 即， 所以或， 当时，令，得与矛盾，故舍去; 所以， 即， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 即，解得，故B错误； 对于C，令， 得 所以，故C正确； 对于D，令， 得， 解得， 令，则， 所以，解得， ，解得； 令， 得，解得； ，解得； 所以函数是周期函数，最小正周期为， 又 ， 所以 ，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 13. 若数列的前项和，则的通项公式是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过，分类讨论可求得通项公式. 【详解】当时，； 当时，，由于不适合此式， 所以. 14. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示事件“交换次后，黑球还在罐中”，求出，再由，即可得到，从而得到是等比数列，首项为，公比为，即可求出，从而求出. 【详解】设表示事件“交换次后，黑球还在罐中”， 一次交换后黑球还在罐中，即从罐中摸到的是白球，所以， 事件的发生分成两个互斥事件：发生的情况下，从罐中摸到的是白球， 或者是不发生时，从罐中摸到的是黑球， 所以， 所以，而， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，即． 所以，即交换4次后，黑球还在A罐中的概率为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2） 极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）对求导，代入得斜率和切点，代入点斜式得切线方程； （2）对求二阶导，根据的单调性判断和计算的极值. 【小问1详解】 函数的定义域为，  ，代入得， 即切点为，切线斜率， 由点斜式得切线方程为. 【小问2详解】 对求导得， 定义域，，，故恒成立， 因此在上单调递增. 又，因此 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 因此只有极小值，无极大值，极小值为， 即的极小值为，无极大值. 16. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各名进行调查统计．记事件“成绩优良”，“有固定阅读习惯”，据统计，． （1）补全列联表，判断是否有的把握认为阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 有的把握认为阅读习惯与学业成绩水平有关； （2） 1 2 3 期望． 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望． 【小问1详解】 由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设：阅读习惯与学业成绩水平无关， ， 因为，所以零假设不成立， 所以有的把握认为阅读习惯与学业成绩水平有关； 【小问2详解】 有固定阅读习惯中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ． 17. 已知是公差不为零的等差数列，，且、、成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列{}的前项和，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质可得，再列式求出公差即可； （2）利用错位相减法求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 由题意可得，即， 整理可得，，解得， 因此， ； 【小问2详解】 由（1）知， ① ② ①减②得： 即． 18. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 【答案】（1）0 （2）时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 19. 现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为． （1）求，的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值． 【答案】（1）， （2） （3）由（2）得 第次操作后盒中恰有2个红球的概率，与第次的状态对应关系如下： ，①. ，②. ①②，得. 由（1）得，，，则； . 的可能取值是0，1，2. ； ； . 的分布列为 Xn 0 1 2 P . 的数学期望为定值1． 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出，然后利用全概率公式求出； （2）利用全概率公式求得与的关系，再利用构造法构造数列是等比数列，即可求出； （3）求出的取值及对应的概率，进一步求出期望，再利用（2）结论求值即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 从，盒子中各取1个球交换，共有种； 第1次操作后盒子中恰有2个红球的情况：从取黑球且从取红球，共有种，则； 第1次操作后盒子中恰有1个红球分为两种情况：从取红球且从取红球，或从取黑球且从取黑球，共有种，则； 盒子中有0个红球的概率为. 第2次操作后，盒子中恰有1个红球分为三种情况： ①第1次操作后有0个红球，第2次操作后变为1个红球，概率为； ②第1次操作后有1个红球，第2次操作后仍为1个红球，概率为； ③第1次操作后有2个红球，第2次操作后变为1个红球，概率为； . 【小问2详解】 第次操作后盒中恰有1个红球的概率，与第次的状态对应关系如下： ，化简得； . ，数列是以为首项，为公比的等比数列； ，得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $