第一章 空间向量与立体几何 章末测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 章末测评-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋－等于（　 　）

A. B. C. D.

2.已知在正四面体ABCD中，M为棱BC的中点，O为△ACD的重心，设＝a，＝b，＝c，则＝（　 　）

A.a－b－c B.a＋b＋c C.a＋b－c D.－a＋b＋c

3.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c三个向量共面，则λ＝（　 　）

A.9 B.－9 C.－3 D.3

4.已知空间向量a＋b＋c＝0，且｜a｜＝2，｜b｜＝4，｜c｜＝3，则cos＜a，c＞＝（　 　）

A. B. C. D.

5.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点B到直线AC1的距离是（　 　）

A. B. C. D.

6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝4，PD＝，E是PA的中点，＝2.若点M在矩形ABCD内，且PM⊥平面DEF，则DM＝（　 　）

A. B. C. D.

7.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（　 　）

A. B. C. D.

8.如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，＝，F为OE的中点，则异面直线SB与CF所成角的正切值为（　 　）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在矩形AEFC中，AE＝2，EF＝4，B为EF的中点，现分别沿AB，BC将△ABE，△BCF翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P－ABC，则（　 　）

A.AC⊥BP

B.三棱锥P－ABC的体积为

C.直线PA与直线BC所成角的余弦值为

D.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

10.在四棱锥P－ABCD中，AB＝2，AD＝CD＝1，AB⊥AD，AD⊥DC，动点E∉平面ABCD，且BE⊥CE，F是AE的中点，则（　 　）

A.DF∥平面EBC  B.DE的长可能为3

C.∈（1－，1＋）  D.点F在半径为的球面上

11.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（　 　）

A.当λ＝1时，△AB1P的周长为定值

B.当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值

C.当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP

D.当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝               .

13.已知三棱柱ABC－A1B1C1，点P在△ABC内，D，E，F分别为△A1B1C1三边的一个三等分点，n为平面ABC的一个法向量，且＝1.若P到平面A1B1C1的距离为2，则n·（＋＋）＝               .

14.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，H分别是BB1，CD，CC1的中点，则直线EH到平面A1D1F的距离为               .

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知a＝（x，4，1），b＝（－2，y，－1），c＝（3，－2，z），a∥b，b⊥c，求：

（1）a，b，c；

（2）a＋c与b＋c夹角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.（15分）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为B1C1的中点，M是棱A1B1上一点，且二面角M－FC－E的余弦值为，求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.（15分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点.

（1）求证：BC1∥平面A1CM；

（2）求直线B1C与平面A1CM的所成角的余弦值；

（3）求三棱锥N－A1CM的体积.

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.（17分）如图，在多面体ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，A1A⊥平面ABC，A1A∥B1B，C1C∥B1B，AA1＝2BB1＝4，CC1＝3，O为A1B1的中点.

（1）证明：C1O⊥平面ABB1A1；

（2）若D为棱A1C1上的动点，求B1D与平面A1BC1所成角的正弦值的最大值.

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

              

 

 

 

 

 

 

 

 

              

              

19.（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，点A，B，C，D在圆O上，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，顶点P在底面上的射影为圆心O，点E在线段PD上.

（1）若AB∥CD，PE＝λPD，当AE∥平面PBC时，求λ的值；

（2）若AB与CD不平行，四棱锥P－ABCD的体积为，PO＝，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.