精品解析：陕西咸阳市永寿县豆家中学2025-2026学年度第二学期七年级数学第一阶段素养达标测试

2026春季七年级数学第一阶段素养达标测试北师大版 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二章第1节完，P1~P40） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组角中，互为余角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 若，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 4. 下列选项中，过点 M 作直线l的垂线，三角板放置正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则值为（ ） A. 9 B. C. D. 6. 如图，直线与相交于点，点在上，射线与直线相交于点，图中的对顶角共有（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 7. 通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是(　　) 　　 A. a(a－2b)＝a2－2ab B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 C. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 D. (a＋b)(a－2b)＝a2－ab－2b2 8. 根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 10. 如图，点在直线外，点在直线上移动，当线段最短时，的大小为______. 11. 规定．若，则x的值为______． 12. 如图，点O在直线AB上，，，则∠AOC的度数是______． 13. 已知长方形的面积为，它的宽为，则这个长方形的长为______． 14. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个小长方形按如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；再将其中5个小长方形按如图2摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 17. 如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸上找一点开沟，使沟最短？画出点的位置，并说明理由． 18. 一个角的补角与它余角的和是220度，求这个角的补角． 19. 计算：． 20. 若设某偶数为（为正整数），试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 21. 用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 22. 已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 23. 在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． （1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； （2）若，，求剩余草坪的面积． 24. 如图，直线、相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 25. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式； （2）小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 26. 【阅读理解】 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值． 例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 【理解运用】 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，求的值； （2）若，求的值； 【问题拓展】 （3）某地拟建一个正方形休闲广场，其大致示意图如图所示，点为正方形广场内部一点，在处设立一个自动售货机（大小忽略不计），计划在广场上修建两大主题活动区域，其中正方形为健身活动区域，四边形为文艺活动区域．已知，求健身活动区域与文艺活动区域的面积之和（正方形与四边形面积之和）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季七年级数学第一阶段素养达标测试北师大版 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二章第1节完，P1~P40） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法求解． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列各组角中，互为余角的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，掌握定义是解题的关键．如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．依此定义即可求解． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 3. 若，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握完全平方公式． 根据完全平方公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 4. 下列选项中，过点 M 作直线l的垂线，三角板放置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点M作直线l的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点M， ∴符合上述条件的图形只有选项B． 故选：B． 5. 已知，，则值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用，解题关键是掌握逆用同底数幂的乘法、幂的乘方． 先将化为，再整体代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 6. 如图，直线与相交于点，点在上，射线与直线相交于点，图中的对顶角共有（ ） A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的识别，解题关键是理解对顶角的意义． 根据对顶角的意义求解． 【详解】解：直线与相交于点，构成的对顶角有与，与，共2对； 射线与直线相交于点，构成的对顶角有与，与，共2对， 综上所述，图中的对顶角共有4对， 故选：A． 7. 通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是(　　) 　　 A. a(a－2b)＝a2－2ab B. (a－b)2＝a2－2ab＋b2 C. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 D. (a＋b)(a－2b)＝a2－ab－2b2 【答案】D 【解析】 【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【详解】图1中，阴影部分是不规则图形， ∴阴影部分的面积=a2-ab-2b2， 图2中，阴影部分是长方形， ∴阴影部分的面积=（a+b）（a-2b）， ∴(a＋b)(a－2b)＝a2－ab－2b2， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的运算，需要利用图形的一些性质得出式子，仔细观察图形是解题的关键． 8. 根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律性问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式计算方法． 先根据规律得出，再代入，求得的结果． 【详解】解：根据，，，，， 当时， ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，先分别根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则求出与的值，再比较这两个值的大小． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则：(，为正整数)， ∴， 根据零指数幂的运算法则：， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 10. 如图，点在直线外，点在直线上移动，当线段最短时，的大小为______. 【答案】90° 【解析】 11. 规定．若，则x的值为______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：由定义，可知， ∴， ∴． 12. 如图，点O在直线AB上，，，则∠AOC的度数是______． 【答案】110°##100度 【解析】 【点睛】此题考查垂直的定义，角度的计算，正确计算是解题的关键．利用垂直的定义得到，继而求出，再根据求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：110°． 13. 已知长方形的面积为，它的宽为，则这个长方形的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的应用，根据长方形的长等于面积除以宽，列出式子后运用多项式除以单项式的计算法则计算即可． 【详解】解：这个长方形的长为：． 故答案为： 14. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个小长方形按如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；再将其中5个小长方形按如图2摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1可知，，即①， 由图2可知，，即②， 由①②得， ∴， 即每个长方形的面积为5， 故答案为：5． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂（）和零指数幂（）的运算性质，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算． 先根据负整数指数幂和零指数幂的性质分别化简各项：等于3，等于等于1，等于再按照运算顺序计算乘法，最后进行加减运算． 【详解】计算： 故答案为：． 16. 在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞（沿直线）排成的细胞链长度是多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，根据题意可列式，然后计算求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ． 答：个这样的细胞排成的细胞链的长度为． 17. 如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸上找一点开沟，使沟最短？画出点的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】要找到使沟最短的点，根据“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”这一性质，过点作的垂线段，垂足即为所求的点 ． 本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：如图，点为所求． 理由：直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短． 18. 一个角的补角与它余角的和是220度，求这个角的补角． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、补角与余角，设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，根据等量关系列出方程即可求解，熟练掌握基础知识，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 依题意得：， 解得：， 则这个角的补角为：． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，整式的乘除，解题关键是注意运算顺序． 先计算积的乘方，幂的乘方，再计算整式的乘除． 【详解】解：原式 ． 20. 若设某偶数为（为正整数），试说明比大3的数与的平方差能被3整除． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查因式分解的运用，首先列出代数式并化简，再利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步证得结论即可． 【详解】解：因为 ， 所以能被3整除， 即比大3的数与的平方差能被3整除． 21. 用乘法公式简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 23. 在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a米的通道． （1）用含a、b的式子表示剩余草坪的面积； （2）若，，求剩余草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）260平方米 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用； （1）根据图形利用平移的性质可得剩余草坪的面积为宽为米，长为米的长方形面积，根据多项式乘以多项式，即可求解； （2）将，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，剩余草坪的面积为 答：剩余草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时，原式， ∴剩余草坪的面积是260平方米． 24. 如图，直线、相交于点，是内的一条射线，是内的一条射线，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相交线，对顶角的性质，邻补角的意义，解题关键是掌握对顶角的性质，邻补角的意义． （1）先利用对顶角的性质求得， 再根据，求得，然后可求得； （2）先利用邻补角求出，再根据，求得， 再利用平角的意义求得． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以． 25. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）请你帮小明求出多项式； （2）小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 所以，． 26. 【阅读理解】 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值． 例如：已知，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 【理解运用】 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，求的值； （2）若，求的值； 【问题拓展】 （3）某地拟建一个正方形休闲广场，其大致示意图如图所示，点为正方形广场内部一点，在处设立一个自动售货机（大小忽略不计），计划在广场上修建两大主题活动区域，其中正方形为健身活动区域，四边形为文艺活动区域．已知，求健身活动区域与文艺活动区域的面积之和（正方形与四边形面积之和）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）令，，表示出，，根据计算即可； （3）设，则，根据正方形与四边形面积之和，然后变形代入计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以， 解得：． （2）令， 则， 因为， 所以， 则． （3）设，则，根据题意可得： 正方形与四边形面积之和． 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以正方形与四边形面积之和． 故健身活动区域与文艺活动区域的面积之和为22． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $