第2章 §4 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固]

1．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是(　　)

A.　　　　 B．

C.  D．

解析　因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减．

答案　B

2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是减函数，则(　　)

A．f(－2.5)<f(－1)<f(3)

B．f(－1)<f(－2.5)<f(3)

C．f(3)<f(－2.5)<f(－1)

D．f(3)<f(－1)<f(－2.5)

解析　f(x)是偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，f(－1)＝f(1)，

f(x)在(－∞，－1]上是减函数，

所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

所以f(1)<f(2.5)<f(3)，

故f(－1)<f(－2.5)<f(3)．

答案　B

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　)

A．y＝|x|(x∈R)  B．y＝(x≠0)

C．y＝－x2(x∈R)  D．y＝－x(x∈R)

解析　根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|为偶函数，不符合题意；对于B，y＝(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y＝－x2是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y＝－x是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意．

答案　D

4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解

析式为(　　)

A．f(x)＝－x＋1  B．f(x)＝－x－1

C．f(x)＝x＋1  D．f(x)＝x－1

解析　设x＜0，则－x＞0.

∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．

∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，

∴f(x)＝－x－1(x＜0)．

答案　B

5．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.

解析　设x<0，∴－x>0，

∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.

又∵F(x)为奇函数，

∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.

答案　2x＋3

6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．

解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，

∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0，

∴f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)，

即|x|>2，∴x>2或x<－2.

答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)

7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．

解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，

即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，

∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.

∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，

∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．

答案　f(－2)<f(1)<f(0)

8．已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集．

解析　(1)由题意可知

所以

解得＜x＜，

故函数g(x)的定义域为.

(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，

所以f(x－1)≤－f(3－2x)．

因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3)．

而f(x)在(－2,2)上是减函数，

所以解得＜x≤2.

故不等式g(x)≤0的解集为.

[关键能力·综合提升]

9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有＜0，且f(2)＝0，则满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪(0,1)∪(2，＋∞)

B．(－2,0)∪(1,2)

C．(－2,1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(1,2)

解析　因为f(x)对任意两个正数x1，x2，都有＜0，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

根据奇函数的性质可知，f(0)＝0，f(x)在(－∞，0)上单调递减且f(－2)＝0，

由(x－1)f(x)＞0可得或

解得1＜x＜2或－2＜x＜0.

故选B.

答案　B

10．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当