第2章 §4 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则下列一定是F(x)的单调递减区间的是(　　) A.　　　　 B． C. D． 解析　因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上，F(x)一定单调递减． 答案　B 2．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是减函数，则(　　) A．f(－2.5)<f(－1)<f(3) B．f(－1)<f(－2.5)<f(3) C．f(3)<f(－2.5)<f(－1) D．f(3)<f(－1)<f(－2.5) 解析　f(x)是偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，f(－1)＝f(1)， f(x)在(－∞，－1]上是减函数， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 所以f(1)<f(2.5)<f(3)， 故f(－1)<f(－2.5)<f(3)． 答案　B 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　) A．y＝|x|(x∈R) B．y＝(x≠0) C．y＝－x2(x∈R) D．y＝－x(x∈R) 解析　根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|为偶函数，不符合题意；对于B，y＝(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y＝－x2是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y＝－x是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意． 答案　D 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 解析　设x＜0，则－x＞0. ∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数． ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴f(x)＝－x－1(x＜0)． 答案　B 5．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________. 解析　设x<0，∴－x>0， ∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3. 又∵F(x)为奇函数， ∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3. 答案　2x＋3 6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________． 解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0， ∴f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)， 即|x|>2，∴x>2或x<－2. 答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立， ∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)． 答案　f(－2)<f(1)<f(0) 8．已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)． (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集． 解析　(1)由题意可知 所以 解得＜x＜， 故函数g(x)的定义域为. (2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x)． 因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3)． 而f(x)在(－2,2)上是减函数， 所以解得＜x≤2. 故不等式g(x)≤0的解集为. [关键能力·综合提升] 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有＜0，且f(2)＝0，则满足(x－1)f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0,1)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(1,2) C．(－2,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1,2) 解析　因为f(x)对任意两个正数x1，x2，都有＜0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 根据奇函数的性质可知，f(0)＝0，f(x)在(－∞，0)上单调递减且f(－2)＝0， 由(x－1)f(x)＞0可得或 解得1＜x＜2或－2＜x＜0. 故选B. 答案　B 10．(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－x，则下列说法正确的是(　　) A．f(5)＝0 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2 D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－ 解析　对于A，因为f(5)＝f(1)，f(1)＝12－1＝0，所以f(5)＝0，A正确； 对于B，因为f(1＋x)＝f(3－x)，所以f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确； 对于C，当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝2，因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当2≤x≤4时，f(x)max＝f(2)＝2，综上，当0≤x≤4时，f(x)max＝f(2)＝2，C正确； 对于D，因为f(x＋1)＝f(x－3)，所以f(x)＝f(x－4)，所以f(x)在[6,8]上的最小值，即为f(x)在[2,4]上的最小值，因为当0≤x≤2时，f(x)min＝f＝－，且f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当2≤x≤4时，f(x)min＝－，所以f(x)在[6,8]上的最小值为－，D错误． 答案　ABC 11．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(a)＝8，则f(－a)＝________. 解析　设F(x)＝f(x)－1＝ax3＋bx，则F(x)是R上的奇函数，所以F(a)＝f(a)－1＝7，因此F(－a)＝－7，从而f(－a)＝F(－a)＋1＝－7＋1＝－6. 答案　－6 12．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 解析　因为f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数， 所以图象关于y轴对称，所以2a＋ab＝0， 所以b＝－2或a＝0， 又因为值域为(－∞，4]，所以a≠0，所以f(x)＝－2x2＋2a2，所以2a2＝4， 所以f(x)＝－2x2＋4. 答案　－2x2＋4 13．(2024·江苏淮安期末)已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(2＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2＋x. (1)求f的值； (2)求当x∈[－1,0)时的f(x)的解析式； (3)若函数f(x)在区间[a，b](a<b)上的值域为[2a,2b]，求a＋b的值． 解析　(1)因为f(－x)＋f(x)＝0， f(－x)＝f(2＋x)， 所以f＝f＝f ＝－f＝－＝－. (2)当x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]， 则f(－x)＝x2－x＝－f(x)， 所以f(x)＝－x2＋x，x∈[－1,0)． (3)由(2)可知f(x)＝ 由f(x)的图象(图略)可知f(x)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝2， f(x)min＝f(－1)＝－2， 又f(x)是奇函数，且图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在R上的值域为[－2,2]， 所以[2a,2b]⊆[－2,2]，即[a，b]⊆[－1,1]， 且 若－1≤a<b≤0，则 得此时a＋b＝－1； 若0≤a<b≤1，则得 此时a＋b＝1； 若－1≤a<0<b≤1，则 得此时a＋b＝0. 综上，a＋b的值为－1或1或0. [核心价值·探索创新] 14．(开放题)函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，>0；④f(x)的图象与x轴只有2个交点．请写出函数f(x)的一个解析式：________________. 解析　因为∀x∈R，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．因为当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)的图象与x轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)＝x2－1.(注：其他满足题意的函数解析式均可．) 答案　f(x)＝x2－1(答案不唯一) 15．(新定义)若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x，均有f(x)＋f(2a－x)＝2b.请写出一个a＝2，b＝2的“准奇函数”：________________(填写解析式)． 解析　由题知“准奇函数”f(x)的图象关于点(a，b)对称．若a＝2，b＝2，则f(x)的图象关于点(2,2)对称．由于奇函数的图象关于原点对称，所以可先找一个奇函数，如y＝，将其图象先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到f(x)＝2＋＝的图象，此时f(x)的图象就关于点(2,2)对称． (注：按照上述方法找到的其他满足a＝2，b＝2的“准奇函数”均可．) 答案　f(x)＝(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$