1.1.1 第1课时 集合的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件围绕集合的概念与表示展开，涵盖元素特性、元素与集合关系、常用数集等核心知识。以义务教育阶段数学内容为载体，通过问题情境引导学生用集合语言表达旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于紧扣数学抽象、逻辑推理、直观想象核心素养，通过实例辨析集合确定性（如“著名数学家”不能组成集合）、符号应用（如∈与∉的方向性）及元素互异性应用（如单元素集问题）。采用“知识点-思考-题型-归纳”结构，助学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

§1　集　合 1.1　集合的概念与表示 【素养目标】 1．通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题．(数学抽象) 2．体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号．(逻辑推理) 3．掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)．(直观想象) 4．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(直观想象) 5．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象) 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 在本节学习中，学生依据老师创设合适的问题情境，以义务教育阶段所学过的数学内容为载体，学会用集合语言表达学过的相应内容，理解元素与集合的关系、元素的特征及集合的表示方法． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 第1课时　集合的概念 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　元素与集合的概念 1．集合：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母__________________表示． 2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母__________________表示． 3．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是________的、________的、顺序任意的． A，B，C，…　 知识点1 a，b，c，…　 确定　 互异　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：集合中的“研究对象”所指的就是数学中的数、点、代数式吗？ 提示：集合中的“研究对象”所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　元素与集合的关系 知识点2 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a______A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A __________ a__________集合A ∈　 a∉A　 不属于　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：(1)元素与集合之间有第三种关系吗？ (2)符号“∈”“∉”的左边可以是集合吗？ 提示：(1)对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果． (2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合．如：{1}∈{{1}，{2}} 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　常用数集及其记法 知识点3 数集 意义 符号 自然数集 全体自然数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N＋或N* 整数集 全体整数组成的集合 Z 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数组成的集合 R 正实数集 全体正实数组成的集合 R＋ 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考3：N，N*，N＋有什么区别？ 提示：(1)N为非负整数集(或自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括0，而N*(N＋)不包括0． (2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往会误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N＋，可形象地记为“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．下列各组对象中不能组成集合的是 (　　) A．清华大学2020年入校的全体学生 B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员 C．中国著名的数学家 D．不等式x－1＞0的实数解 [解析]　“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有_____个元素． [解析]　方程x2－1＝0的解为1，－1，x＋1＝0的解为－1，所以两个方程所有解组成的集合有2个元素，故填2． ①④　 2　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 元素与集合的相关概念  　　　　下列各组对象： ①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值． 其中能够组成集合的是________． 例 1 ②③　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合． [解析]　①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合． ②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　下列每组对象能否构成一个集合： (1)我国的小城市； (2)某校2019年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3．∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3，3，能构成集合． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 元素与集合的关系  [分析]　根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集． 2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） C　 2，1，0　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 集合中元素的特性的应用  例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 (　　) A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 [解析]　因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a． 所以a(a－3)≠0．所以a≠0且a≠3． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．下列语句能确定一个集合的是 (　　) A．充分小的负数全体 B．爱好飞机的一些人 C．某班本学期视力较差的同学 D．某校某班某一天的所有课程 [解析]　由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是 (　　) A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形　 D．等腰三角形 [解析]　由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　因为y∈N且y＝－x2＋1，所以y＝0或y＝1． 即A中有两个元素0，1，又t∈A，所以t＝0或1． ∈　 ∉　 ∉　 ∉　 ∈　 ∈　 0，1　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 5．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)与定点A，B等距离的点；(2)高中学生中的游泳能手． [解析]　(1)与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的． (2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为 (　　) A．　　　　 B． C．－2　 D．－ [解析]　∈R，且∉Q，故选A． 3．下列元素与集合的关系判断正确的是________(填序号)． ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R． [解析]　π，为无理数，为实数，故填①④． 　　　　若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，请判断6－2是不是集合A中的元素． [解析]　因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中， 令a＝2，b＝－2，即可得到6－2， 所以6－2是集合A中的元素． 【对点练习】❷　(1)下列关系中，正确的有 (　　) ①∈R；②∉Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q． A．1个　　　　 B．2个 C．3个　 D．4个 (2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为___________． [解析]　(1)是实数，是无理数，|－3|＝3是自然数，|－|＝是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)由题意可得：3－x可以为1，2，3，6，且x为自然数，因此x的值为2，1，0．因此A中元素有2，1，0． 　　　　设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素． (2)集合A不可能是单元素集． [解析]　(1)若a∈A，则∈A． 又因为2∈A，所以＝－1∈A． 因为－1∈A，所以＝∈A． 因为∈A，所以＝2∈A． 根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证． (2)若A为单元素集，则a＝， 即a2－a＋1＝0，方程无实数解． 所以a≠，所以集合A不可能是单元素集． [归纳提升]　根据集合中元素的特性求值的三个步骤 — ↓ — ↓ — 3．用符号“∈”或“∉”填空： 0______N；－3______N；0.5______Z；______Z； ______Q；π______R． 4．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________． $