课时作业(19) 简单幂函数的图象和性质（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十九)　简单幂函数的图象和性质 [基础达标练] 1．已知函数f(x)＝x为幂函数，则a等于(　　) A．－1或2　　　　　　B．－2或1 C．－1 D．1 解析：选C　因为f(x)＝x为幂函数，所以a2－a－1＝1，所以a＝2或－1，又a－2≠0，所以a＝－1. 2．若幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递增，则实数m＝(　　) A．4 B．－1 C．2 D．－1或4 答案：A 3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 解析：选C　选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误； 选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误； 选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－交y轴于正半轴，D错误． 4．下图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n分别取±1，，2四个值，相应的曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为(　　) A．－1，，1，2 B．2，1，，－1 C．，－1，2， D．2，，－1， 答案：B 5．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号). ①y＝x2；②y＝x；③y＝x；④y＝x3； ⑤y＝x-1. 答案：②④ 6．若＞，则实数m的取值范围为 ________． 解析：因为幂函数y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 解得－2≤m<， 故m的取值范围为. 答案： 7．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数？ 解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则 ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1. (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±. 8．比较下列各组数的大小： (1)3－和3.2－； (2)4和 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减， 又3<3.2，所以3－＞3.2－. (2)＝5，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，而5>4, 所以5＞4，即＞4. [能力提升练] 9．(多选)下列结论中，不正确的是(　　) A．幂函数的图象都通过点(0，0)，(1，1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析：选ABD　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x-1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；当α＝－1时，y＝x-1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确． 10．幂函数f(x)＝x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B　∵幂函数f(x)＝x3m-5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m－5<0，即m<. 又∵m∈N，∴m＝0，1. ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． 当m＝0时，f(x)＝x-5是奇函数； 当m＝1时，f(x)＝x-2是偶函数． ∴m＝1. 11．已知x2＞x则实数x的取值范围是 ________． 解析：分别画出函数y＝x2与y＝x的图象，如图所示，由于两函数的图象都过点(1，1)，因此由图象可知不等式x2＞x的解集为{x|x<0或x>1}． 答案：{x|x<0或x>1} 12．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值，由题意，得2＝4α，解得α＝，则y＝x，由x＝3，得x＝9，即明文是9. 答案：9 13．已知幂函数y＝f(x)＝x－m2－2m＋3(其中－2<m<2，m∈Z)满足： ①在区间(－∞，0)上为减函数； ②对任意的x∈R，都有f(－x)－f(x)＝0. 求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0，4]时，f(x)的值域． 解：∵－2<m<2，m∈Z，∴m＝－1，0，1. ∵对任意x∈R，都有f(－x)－f(x) ＝0， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． 当m＝－1时，f(x)＝x4，满足条件①②； 当m＝1时，f(x)＝x0，不满足条件①； 当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都不满足， 故同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x4，且在区间[0，4]上是增函数， ∴当x∈[0，4]时，函数f(x)值域为[0，256]. [素养拓展练] 14．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求函数f(x)的解析式，并画出它的图象； (2)讨论函数g(x)＝a－(a，b∈R)的奇偶数． 解：(1)由幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数，得m2－2m－3<0，即－1<m<3. 又m∈Z，得m＝0，1，2. 因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，所以m2－2m－3是偶数． 将m＝0，1，2分别代入m2－2m－3检验，得m＝1. 所以f(x)＝x-4. f(x)＝x-4的图象如下图所示． (2)把f(x)＝x-4代入g(x)的解析式，得g(x)＝a－＝－bx3(x≠0)， 则g(－x)＝－b(－x)3＝＋bx3. 所以当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数； 当a＝0，b≠0时，g(x)为奇函数； 当a≠0，b＝0时，g(x)为偶函数； 当a＝0，b＝0时，g(x)既为奇函数又为偶函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$