2.3第二课时函数的最大（小）值同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 围绕函数最值，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三阶分层设计，强化数学思维与建模能力，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数最值判断、简单计算|如1-4题直接考查一次函数、二次函数在闭区间的最值，强化概念理解| |中档|单调性与最值综合分析|如10题结合分段函数图象分析单调区间与最值，培养几何直观| |提升|参数问题、实际应用及创新题型|如14题销售利润建模、16题含参函数恒成立问题，发展数学建模与逻辑推理能力|

第二课时　函数的最大（小）值 1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（　　） A.y＝＋2　 B.y＝3x－2 C.y＝x2　 D.y＝1－x 2.函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（　　） A.0　 B. C.2　 D.3 3.用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为（　　） A.3 m　 B.4 m C. m　 D. m 4.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（　　） A.1　 B.0 C.－1　 D.2 5.（多选）下列关于函数f（x）＝x＋｜x－1｜的四种说法正确的是（　　） A.有最小值，最小值为1　 B.没有最小值 C.有最大值，最大值为10　 D.没有最大值 6.（多选）若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（　　） A.最大值为2　 B.最大值为1 C.最小值为－1　 D.无最小值 7.函数y＝f（x）的定义域为[－4，6]，若函数f（x）在区间[－4，－2]上单调递减，在区间（－2，6]上单调递增，且f（－4）＜f（6），则函数f（x）的最小值是　　　　，最大值是　　　　. 8.函数f（x）＝在[a，b]上的最大值为1，最小值为，则a＋b＝　　　　. 9.函数f（x）＝的最大值是　　　　. 10.已知函数f（x）＝｜x｜（x＋1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题. （1）写出函数f（x）的单调区间； （2）求函数f（x）在区间［－1，］上的最大值. 11.若∀x∈（0，］，都有不等式－x＋a＋1≥0成立，则a的最小值为（　　） A.0　 B.－2 C.－　 D.－ 12.（多选）已知函数f（x）＝（≤x＜2），则该函数（　　） A.最大值为 B.最大值为 C.没有最小值 D.在区间（1，2）上单调递增 13.函数f（x）＝x（｜x｜－2）在[m，n]上的最小值为－1，最大值为1，则n－m的最大值为　　　　. 14.某商场销售一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 （1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）； （2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 15.已知函数f（x）＝x2－2（a＋2）x＋a2，g（x）＝－x2＋2（a－2）x－a2＋8.设H1（x）＝max{f（x），g（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}（max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）.记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A－B＝（　　） A.a2－2a－16　 B.a2＋2a－16 C.－16　 D.16 16.在①∀x∈[－2，2]，②∃x∈[1，3]这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题. 已知函数f（x）＝x2＋ax＋4. （1）当a＝－2时，求函数f（x）在区间[－2，2]上的值域； （2）若　　　　，f（x）≥0，求实数a的取值范围. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 第二课时　函数的最大（小）值 1.A　B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A. 2.B　函数y＝x在[1，2]上单调递增，函数y＝－在[1，2]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，2]上单调递增.当x＝2时，ymax＝2－＝. 3.A　设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2（x－3）2＋18（0＜x＜6），所以当x＝3时，S有最大值，为18，故隔墙的长度为3 m时，矩形场地的面积最大.故选A. 4.A　∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1. 5.AD　f（x）＝x＋｜x－1｜＝作出函数的图象如图所示， 由图象可知，f（x）的最小值为1，没有最大值. 6.BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值.故选B、D. 7.f（－2）　f（6）　解析：作出符合条件的函数的简图（图略），可知f（x）min＝f（－2），f（x）max＝f（6）. 8.6　解析：函数f（x）＝在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递减，∴＝1，＝，解得a＝2，b＝4，∴a＋b＝6. 9.　解析：因为1－x（1－x）＝x2－x＋1＝（x－）2＋≥，所以≤.故f（x）的最大值为. 10.解：f（x）＝｜x｜（x＋1）＝的图象如图所示. （1）f（x）在（－∞，－）和（0，＋∞）上单调递增， 在（－，0）上单调递减， 因此f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（0，＋∞）； 单调递减区间为（－，0）. （2）因为f （－）＝，f （）＝， 所以f（x）在区间［－1，］上的最大值为. 11.D　设f（x）＝－x＋a＋1，由不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈（0，］都成立，可得f（x）min≥0.因为f（x）在（0，］上单调递减，所以当x∈（0，］时，f（x）min＝a＋，所以a＋≥0，即a≥－，所以amin＝－，故选D. 12.AD　f（x）＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时等号成立，∀x1，x2∈［，2）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·（1－），x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在［，1）上单调递减且值域为（3，］；当1＜x1＜x2＜2时，有1－＞0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在（1，2）上单调递增且值域为（3，）.所以函数f（x）的最大值为.故选A、D. 13.2＋2　解析：函数f（x）＝x（｜x｜－2），当x≥0时，f（x）＝x2－2x；当x＜0时，f（x）＝－2x－x2.作出y＝f（x）的图象，由图象可得当x＞0时，x2－2x＝1，解得x＝1＋；当x＜0时，－2x－x2＝－1，解得x＝－1－，即有f（x）在[－1－，1＋ ]内的最大值为1，最小值为－1，故n－m的最大值为1＋－（－1－）＝2＋2. 14.解：（1）因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0）， 由表格得方程组解得 所以y＝f（x）＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]. （2）由题意得，P＝（x－30）y＝（x－30）（162－3x） ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润. 15.C　易知f（x）的图象的顶点坐标为（a＋2，－4a－4），g（x）的图象的顶点坐标为（a－2，－4a＋12），并且f（x）与g（x）的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以A－B＝－16. 16.解：（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－2x＋4＝（x－1）2＋3， ∴f（x）在[－2，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝3，f（x）max＝f（－2）＝12， ∴函数f（x）在区间[－2，2]上的值域为[3，12]. （2）选择条件①. 若a≥4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递增， ∴f（x）min＝f（－2）＝8－2a≥0，解得a≤4， 又a≥4，∴a＝4. 若－4＜a＜4，则函数f（x）在区间［－2，－）上单调递减，在区间（－，2］上单调递增， ∴f（x）min＝f（－）＝4－≥0，解得－4≤a≤4，∴－4＜a＜4. 若a≤－4，则函数f（x）在区间[－2，2]上单调递减， ∴f（x）min＝f（2）＝8＋2a≥0，解得a≥－4， 又a≤－4，∴a＝－4. 综上所述，实数a的取值范围为[－4，4]. 选择条件②. ∵∃x∈[1，3]，f（x）≥0， ∴f（x）max≥0，即max{f（1），f（3）}≥0， ∴f（1）≥0或f（3）≥0，解得a≥－5或a≥－，∴a≥－5. 故实数a的取值范围为[－5，＋∞）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $