4.1第一课时奇偶性的概念同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性概念，通过基础巩固-综合应用-探究拓展三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-9题）|奇偶性定义、图象对称、简单性质|单选/填空直接考查概念，如第1题奇函数图象对称，第3题利用f(0)=0求参数，夯实基础认知| |中档层（10-13题）|奇偶性判断、复合函数性质、分段函数奇偶性|解答题分步判断（第10题），多选辨析性质（第12题），提升推理能力| |提升层（14-16题）|含参数函数奇偶性、开放探究、综合应用|第15题开放设计符合条件的函数，第16题结合绝对值讨论奇偶性及图象，发展创新意识与数学表达|

4.1　函数的奇偶性 第一课时　奇偶性的概念 1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－3）＝2，则下列各点中一定在函数f（x）的图象上的是（　　） A.（3，－2）　 B.（3，2） C.（－3，－2）　 D.（2，－3） 2.设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）＝f（x）－f（－x）在R上（　　） A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 3.若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a＝（　　） A.0　 B.－1 C.1　 D.2 4.如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（－2）＋f（－1）＝（　　） A.－2　 B.2 C.1　 D.0 5.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数 C.奇函数的图象一定过坐标原点 D.偶函数的图象一定与y轴相交 6.（多选）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的有（　　） A.f（x）g（x）是偶函数 B.｜f（x）｜＋g（x）是偶函数 C.f（x）｜g（x）｜是奇函数 D.｜f（x）g（x）｜是奇函数 7.若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝　　　　. 8.已知函数f（x）＝则f（x）是　　　　函数.（填“奇”或“偶”） 9.已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，则f（1）＝　　　　. 10.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x5； （2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜； （3）f（x）＝. 11.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（　　） A.y＝x＋f（x）　 B.y＝xf（x） C.y＝x2＋f（x）　 D.y＝x2f（x） 12.（多选）若f（x）为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是（　　） A.f（x）＋f（－x）＝0 B.f（x）－f（－x）＝2f（x） C.f（x）·f（－x）＜0 D.＝－1 13.定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，则a＝　　　　，f（－3）＝　　　　. 14.设函数f（x）＝是奇函数（a，b，c∈Z），且f（1）＝2，f（2）＜3，求a，b，c的值. 15.老师给出一个函数，请三位同学各说出了这个函数的一条性质：①此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③在（0，＋∞）上单调递增.老师评价说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个符合题意的函数为　　　　. 16.设函数f（x）＝x2－2｜x－a｜＋3，x∈R. （1）王鹏同学认为，无论a取何值，f（x）都不可能是奇函数.你同意他的观点吗？请说明你的理由； （2）若f（x）是偶函数，求a的值； （3）在（2）的情况下，画出y＝f（x）的图象并指出其单调递增区间. 第一课时　奇偶性的概念 1.A　f（－3）＝2即点（－3，2）在奇函数的图象上，∴（－3，2）关于原点的对称点（3，－2）必在f（x）的图象上. 2.A　F（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－F（x）.∴F（x）为奇函数. 3.C　∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0得a＝1. 4.A　f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2. 5.AB　由奇函数、偶函数的性质，知A、B说法正确；对于C，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；对于D，如f（x）＝，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.故选A、B. 6.BC　∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴｜f（x）｜是偶函数，｜g（x）｜是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，f（x）｜g（x）｜为奇函数，所以｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确.故选B、C. 7.4　解析：f（x）＝x2＋（a－4）x－4a是偶函数，∴a＝4. 8.奇　解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）2－1＝－（x2＋1）＝－f（x）；当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝－（－x2－1）＝－f（x）.综上可知，函数f（x）是奇函数. 9.1　解析：∵当x＜0时，f（x）＝x2＋2x，∴f（－1）＝－1，又f（x）是奇函数，故f（1）＝－f（－1）＝1. 10.解：（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. （2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数. （3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数. 11.B　法一　∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.令y＝g（x）.对于A，g（－x）＝－x＋f（－x）＝－x－f（x）＝－g（x），∴y＝x＋f（x）是奇函数.对于B，g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），∴y＝xf（x）是偶函数.对于C，g（－x）＝（－x）2＋f（－x）＝x2－f（x），由于g（－x）≠g（x），g（－x）≠－g（x），∴y＝x2＋f（x）既不是奇函数也不是偶函数.对于D，g（－x）＝（－x）2·f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），∴y＝x2f（x）是奇函数. 法二　根据奇、偶函数的运算性质可得A项和D项是奇函数，B项是偶函数，利用定义判断C项既不是奇函数也不是偶函数. 12.AB　∵f（x）在R上为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＋f（－x）＝f（x）－f（x）＝0，故A正确；f（x）－f（－x）＝f（x）＋f（x）＝2f（x），故B正确；当x＝0时，f（x）·f（－x）＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确. 13.0　－3　解析：由定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，可得f（0）＝a＝0.所以当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（－3）＝－f（3）＝－（32－2×3）＝－3. 14.解：由条件知f（－x）＋f（x）＝0， ∴＋＝0，∴c＝0. 又f（1）＝2，∴a＋1＝2b. ∵f（2）＜3，∴＜3，∴＜3， 解得－1＜a＜2，∴a＝0或1. ∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0. 15.f（x）＝x2（答案不唯一）　解析：由题意可得：要求的函数满足下列三条性质中的两条：①此函数为偶函数；②定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；③在（0，＋∞）上单调递增，故这样的函数有多个，其中，函数f（x）＝x2满足①③，不满足②，符合题意. 16.解：（1）我同意王鹏同学的观点. 理由如下： 假设f（x）是奇函数， 则由f（a）＝a2＋3，f（－a）＝a2－4｜a｜＋3， 可得f（a）＋f（－a）＝0，即a2－2｜a｜＋3＝0， 显然a2－2｜a｜＋3＝0无解， ∴f（x）不可能是奇函数. （2）若f（x）为偶函数，则有f（a）＝f（－a）， 即a2＋3＝a2－4｜a｜＋3，解得a＝0. 经验证，此时f（x）＝x2－2｜x｜＋3是偶函数. （3）由（2）知f（x）＝x2－2｜x｜＋3，其图象如图所示， 由图可得，其单调递增区间是（－1，0）和（1，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $