2.2第一课时函数的表示法同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数表示法，分层设计梯度清晰，从基础概念到综合应用，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数值、值域、解析式求法|第1-2题巩固概念，第3题图象识别，夯实数学眼光| |中档|复合函数、实际应用|第8题运费模型、第10题体积问题，体现数学语言表达| |提升|开放探究、综合应用|第15题“同族函数”、第16题二次函数多条件选择，发展创新思维|

2.2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 1.已知函数f（x－1）＝x2－3，则f（2）＝（　　） A.－2　　　　　　　 B.6 C.1　 D.0 2.下表表示y是x的函数，则该函数的值域是（　　） x x＜－1 －1≤x≤3 x＞3 y －2 0 2 A.{y｜－2≤y≤2}　 B.R C.{y｜－1≤y≤3}　 D.{－2，0，2} 3.函数y＝－的大致图象是（　　） 4.已知f（）＝x＋1，则f（x）＝（　　） A.　 B. C.＋2　 D.－1 5.（多选）若一次函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），则该函数的图象还经过的点的坐标为（　　） A.（，5）　 B.（，4） C.（－1，2）　 D.（－2，1） 6.（多选）已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（　　） A.f（－3）＝4　 B.f（x）＝ C.f（x）＝x2　 D.f（3）＝9 7.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出. x 4 5 6 f（x） 1 3 1 x 1 2 3 g（x） 4 5 4 则g（f（5））＝　　　　；f（g（2））＝　　　　. 8.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与其运费y（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为　　　　kg. 9.已知f（＋1）＝x，则函数f（x）的解析式为　　　　. 10.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域. 11.已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，则f（2）＝（　　） A.1　 B.3 C.7　 D.9 12.（多选）设f（x）＝，则下列结论正确的有（　　） A.f（－x）＝－f（x）　 B.f（）＝－f（x） C.f（－）＝f（x）　 D.f（－x）＝f（x） 13.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值为　　　　. x 1 2 3 4 f（x） 1 3 1 3 g（x） 3 2 3 2 14.已知函数f（x）＝. （1）把函数f（x）化为f（x）＝a＋的形式； （2）用平移变换的方法作出函数f（x）的图象，并说明作图过程； （3）若定义域为（0，）∪（1，＋∞），通过观察图象直接写出函数f（x）的值域. 15.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，请写出一个与函数y＝x2，x∈[0，2]同族的函数：　　　　. 16.在①f（x＋1）＝f（x）＋2x－1；②f（x）图象的对称轴为直线x＝1，且f（0）＝3；③f（x）≥2恒成立，且f（0）＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 问题：已知二次函数f（x）的图象经过点（1，2），　　　　. （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在[－1，4]上的值域. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 第一课时　函数的表示法 1.B　令t＝x－1，则x＝t＋1，∴f（t）＝（t＋1）2－3＝t2＋2t－2，∴f（2）＝22＋2×2－2＝6. 2.D　函数的值域就是y的所有取值构成的集合，根据表格看出，该函数的值域为{－2，0，2}，故选D. 3.B　函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位长度得到的，而函数y＝－的图象在第二、第四象限，结合所给的四个图象只有B符合，故选B. 4.C　设＝t，t≠0，则x＝＋1.因为f（）＝x＋1，所以f（t）＝＋1＋1＝＋2，t≠0.所以f（x）＝＋2，x≠0. 5.AC　设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），则由该函数的图象经过点A（1，6）和B（2，8），得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4.显然A、C选项中的坐标符合此函数的解析式.故选A、C. 6.AB　f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f（t）＝（）2＝，则f（x）＝，故B正确，C错误；f（－3）＝＝4，故A正确；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B. 7.4　3　解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4.又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3. 8.19　解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b（a≠0），代入点（30，330）与点（40，630）得解得即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19. 9.f（x）＝x2－x＋1（x≥1）　解析：令t＝＋1，则t≥1.所以x＝（t－1）2＋.故f（t）＝（t－1）2＋（t≥1）.所以函数解析式为f（x）＝x2－x＋1（x≥1）. 10.解：由题意可知该盒子的底面是边长为（a－2x）的正方形，高为x， 所以此盒子的体积V＝x（a－2x）2， 其中自变量x应满足即0＜x＜. 所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x（a－2x）2，定义域为（0，）. 11.D　因为函数f（x）是一次函数，且f[f（x）－4x]＝5恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝5，解得t＝1，所以f（x）＝4x＋1，f（2）＝2×4＋1＝9. 12.BD　因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝f（x），f（）＝＝＝－f（x），f（－）＝＝＝－f（x）. 13.2或4　解析：当x＝1时，f（g（1））＝f（3）＝1，g（f（1））＝g（1）＝3.当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝3.当x＝3时，f（g（3））＝f（3）＝1，g（f（3））＝g（1）＝3.当x＝4时，f（g（4））＝f（2）＝3，g（f（4））＝g（3）＝3.故满足f（g（x））＝g（f（x））的x的值为2或4. 14.解：（1）f（x）＝＝＝1－＝1＋. （2）函数y＝的图象向右平移个单位长度得函数y＝的图象，再向上平移1个单位长度得函数y＝1＋的图象，如图所示. （3）通过观察图象可知，函数f（x）的值域为（－1，1）∪（3，＋∞）. 15.y＝x2，x∈[－2，1]（答案不唯一，参考解析中的t，m的值） 解析：函数y＝x2，x∈[0，2]的值域为[0，4]，因此其同族函数的函数解析式可以是y＝x2，x∈[－2，t]（0≤t≤2），也可以是y＝x2，x∈[m，2]（－2≤m≤0）中的任意一个. 16.解：选条件①. （1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则f（x＋1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＝ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c. 因为f（x＋1）＝f（x）＋2x－1， 所以ax2＋（2a＋b）x＋a＋b＋c＝ax2＋bx＋c＋2x－1， 所以解得 因为函数f（x）的图象经过点（1，2）， 所以f（1）＝a＋b＋c＝1－2＋c＝2，得c＝3. 故f（x）＝x2－2x＋3. （2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11. 所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11]. 选条件②. （1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 则函数f（x）图象的对称轴为直线x＝－. 由题意可得解得 故f（x）＝x2－2x＋3. （2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11. 所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11]. 选条件③. （1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 因为f（0）＝3，所以c＝3. 因为f（x）≥2＝f（1）恒成立，所以 解得 故f（x）＝x2－2x＋3. （2）由（1）可知f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2. 因为－1≤x≤4，所以－2≤x－1≤3， 所以0≤（x－1）2≤9，所以2≤（x－1）2＋2≤11. 所以f（x）在[－1，4]上的值域为[2，11]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $