2.3 第一课时 函数的单调性 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础辨析、综合应用到创新拓展的三层设计，强化函数单调性概念理解与推理应用，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性定义辨析、简单函数单调区间|以选择题（如第1题定义辨析）强化概念理解，培养推理意识| |提升层|二次函数单调性、抽象函数单调性应用|结合参数范围（第8题）、不等式求解（第9题），发展模型意识| |拓展层|单调性证明、新定义运算下单调性|通过证明题（第14题）、创新情境题（第15题），提升创新意识|

§3　函数的单调性和最值 第一课时　函数的单调性 1.下列命题为真命题的是（　　） A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果∃x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）是增函数 B.如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1∪I2上就一定单调递减 C.定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上为增函数 D.∃x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是增函数 2.函数y＝的单调递增区间是（　　） A.（－∞，－3]　　　　 B.［，＋∞） C.（－∞，1）　 D.[－1，＋∞） 3.设函数f（x）是减函数，则（　　） A.f（a）＞f（2a）　 B.f（a2＋1）＜f（a2） C.f（a2＋a）＜f（a）　 D.f（a2）＜f（a） 4.已知函数y＝ax和y＝－在（0，＋∞）上都单调递减，则函数f（x）＝bx＋a是（　　） A.减函数且f（0）＜0　 B.增函数且f（0）＜0 C.减函数且f（0）＞0　 D.增函数且f（0）＞0 5.（多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.y＝2x＋1　 B.y＝3x2＋1 C.y＝　 D.y＝｜x｜ 6.（多选）如图是定义在区间[－5，5]上的函数f（x），则下列关于函数f（x）的说法正确的是（　　） A.函数在区间[－5，－3]上单调递增 B.函数在区间[1，4]上单调递增 C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D.函数在区间[－5，5]上没有单调性 7.函数f（x）＝的单调递增区间为　　　　. 8.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间（，1）上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　. 9.已知f（x）是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f（x－2）＜f（1－x），则x的取值范围是　　　　. 10.判断函数f（x）＝x＋（p＞0）的单调性. 11.已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，A（0，1），B（2，－1）是其图象上的两点，则不等式｜f（x－1）｜＞1的解集为（　　） A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞） C.（1，3） D.（－∞，1）∪（3，＋∞） 12.已知函数f（x）＝在R上单调，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2]　 B.[2，＋∞） C.[4，＋∞）　 D.[2，4] 13.能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间为　　　　. 14.证明：当f（x）恒为正值或恒为负值时，f（x）与具有相反的单调性. 15.在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质： （1）对任意a，b∈R，a*b＝b*a； （2）对任意a∈R，a*0＝a； （3）对任意a，b，c∈R，（a*b）*c＝c*（ab）＋（a*c）＋（b*c）－2c，则函数f（x）＝x*的单调递减区间是（　　） A.（－∞，］　 B.［－，＋∞） C.（－∞，］　 D.（－∞，－］ 16.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）＝f（x）－f（y）. （1）求f（1）的值； （2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）＜2. 第一课时　函数的单调性 1.D　A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所有”“任意”；由f（x）＝，可知B是假命题；若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题. 2.B　由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是［，＋∞）. 3.B　∵a2＋1＞a2，且f（x）是减函数，∴f（a2＋1）＜f（a2）. 4.A　因为y＝ax和y＝－在（0，＋∞）上都单调递减，所以a＜0，b＜0，f（x）＝bx＋a为减函数且f（0）＝a＜0，故选A. 5.ABD　借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝｜x｜在（0，＋∞）上都单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减. 6.ABD　由图可知，函数在区间[－5，－3]，[1，4]上单调递增，故A、B正确；f（x）在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，故C错误；函数在区间[－5，5]上没有单调性，故D正确.故选A、B、D. 7.（－∞，＋∞）　解析：画出函数图象如图所示，由图象可知，f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，即f（x）的单调递增区间为（－∞，＋∞）. 8.（－∞，2]　解析：因为二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的图象的对称轴为直线x＝，又函数f（x）在区间（，1）上单调递增，所以≤，解得a≤2. 9.［1，）　解析：由题意，得解得1≤x＜， 故满足条件的x的取值范围是［1，）. 10.解：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2， 则f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）·.（*） 当x1，x2∈（0，）时，0＜x1x2＜p，x1－x2＜0， 所以（*）式大于0，即f（x1）－f（x2）＞0， 所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上单调递减； 当x1，x2∈[，＋∞）时，x1x2＞p，x1－x2＜0， 所以（*）式小于0，即f（x1）－f（x2）＜0， 所以f（x1）＜f（x2）， 即f（x）在[，＋∞）上单调递增. 同理可得，当x∈（－，0）时， f（x）＝x＋单调递减； 当x∈（－∞，－ ]时，f（x）＝x＋单调递增. 综上所述，f（x）＝x＋（p＞0）在（－∞，－]和[，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减. 11.D　据题意可知f（0）＝1，f（2）＝－1.又f（x）是R上的单调函数，∴f（x）在R上单调递减.由｜f（x－1）｜＞1得，f（x－1）＜f（2）或f（x－1）＞f（0）.∴x－1＞2或x－1＜0，解得x＞3或x＜1.∴原不等式的解集为（－∞，1）∪（3，＋∞）.故选D. 12.D　∵函数f（x）＝是R上的单调函数，设g（x）＝x2－ax＋5，x＜1，h（x）＝1＋，x≥1，h（x）在[1，＋∞）上单调递减，由分段函数的性质可知，函数g（x）在x＜1时单调递减，且g（1）≥h（1），∴解得2≤a≤4. 13.[0，2]（答案不唯一）　解析：由f（x）＝x｜x－1｜＝2可以解得x＝2，作出函数y＝f（x）＝的图象，可知y＝f（x）在（－∞，］和[1，＋∞）上单调递增，在［，1］上单调递减，所以I＝[a，2]，0≤a＜1. 14.证明：若函数y＝f（x）是增函数，取定义域内的两个数x1，x2，且x1≠x2，则（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＞0，易知（x1－x2）·［－］＝－（x1－x2）·.由于f（x）恒为正值或恒为负值，则f（x1）f（x2）＞0，从而（x1－x2）·［－］＜0，故函数y＝是减函数.同理可证，若函数y＝f（x）是减函数，则函数y＝是增函数. 15.D　在性质（3）中令c＝0，则a*b＝ab＋a＋b，所以f（x）＝x*＝x·＋x＋＝＋＝（x＋）2－，易知函数f（x）的单调递减区间是（－∞，－］. 16.解：（1）在f（）＝f（x）－f（y）中， 令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1）， ∴f（1）＝0. （2）∵f（6）＝1， ∴f（x＋3）－f（）＝f（3x＋9）＜2＝f（6）＋f（6）， ∴f（3x＋9）－f（6）＜f（6）， 即f（）＜f（6）. ∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数， ∴解得－3＜x＜9. 即不等式的解集为（－3，9）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $