2.3函数单调性与二次函数性质练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

函数单调性与二次函数性质练习 一、单选题 1、设a>0函数f(x)=aX+bx+c的图象关于直线x=2对称，则f(2),fW5),f(N6)之间 的大小关系是（) A.f(2)<f(5)<f(6) B.f6)<f(5)<f2) C.f(2)<f(V6)<f(V5) D.f(5)<f6)<f(2) 2、函数f(x)=3x2-mx+3当xE时是增函数，则m的取值范围是（) A.(-o,+∞ B.i C.i D. 3、函数y= x+7,>2的最大值是() x+4,X≤2 A.4 B.5 C.6 D.7 4、函数f(x)={1}{-x+6x-8}的单调递减区间为（) A.i B.[2,3] C.[3,4] D.i 5、已知函数f(x)=ax-2x+a+2在(-o∞，3)上单调递减，则a的取值范围是（) A.i B. C.i .0] 6、已知2x+y=3,那么3x2+4y的最小值是(（) A智 68 c第 碧 7、已知函数y=x2-8x+15在i为减函数，则a的取值范围是() A.a≤4 B.2<a≤4 C.a≥4 D.a≥2 二、填空题 -4 8.函数- 的单调递增区间为_一。 9、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=f(7)<f(8),则f(x)的单调增区间为一。 10、已知实数x,y满足3x+y=2(x≥0，y≥0)，则y的最大值为一。 11、设a,b∈Z,若对任意x<0,都有(ax+3)(x2+3b)≤0，则a+b=。 三、解答题 已知二次函数 f(x)=ax+bx+2（a,b是实数)，x∈R,若f(-2)=10,且方程f(x)+6x=0有两个 相等的实根。 (1)求函数f(x)的解析式： ②)来函数f(x)在区间[片，d(>子)上的最小值。 答案 1.对于二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)，当a>0时，函数图象开口向上，其最小值出现 在对称轴处，且点到对称轴的水平距离越远，函数值越大。已知函数对称轴为x=2,分别 计算5≈2.236、V6≈2.449到x=2的距离： 。2-2Vi0 。元5-2V≈2.236-2=0.236 。i6-2V≈2.449-2=0.449 由距离关系为0<0.236<0.449，结合开口向上的性质，可得f(2)<f(V5)<f(V6),故本题选 A。 1二次函数f=AX+Bx+C(A≠0)，对称轴为X=-2号片。当A>0时.函数在：上单调 B 递增，在乙上单调递减。计算函数对称轴：对于f(x)=3x2-mx+3,其中A=3,B=-m, 则对称轴为X=%。确定的取值范围：因函数在x∈让单调递增，且A=3>0,故对称轴需 满足x=g≤-3解得m≤-18，即m的取值范围为，本题选C。 2.当x≤2时，函数y=x+4为一次函数，斜率k=1>0,故在该区间单调递增，最大值在x=2 处取得，ymax=2+4=6。 当x>2时，函数y=-x+7为一次函数，斜率k=-1<0,故在该区间单调递减，此时 y<-2+7=5,无最大值且小于6。综合两段函数取值，函数的最大值为6，本题选C 3.求函数定义域：要使分式有意义，分母不能为0，且先判断分母正负（影响后续单调性分 析)。解不等式-x2+6x-8>0,即x2-6x+8<0,因式分解得 (x-2)(x-4)<0,解得2<x<4,故定义域为(2,4) 拆分复合函数并分析内函数：令u=-x2+6x-8(x∈(2,4)，则f(x)=1。对于二次函数u=-x2 当内函数u单调递减()，外函数f(u)单调递减时，原函数f(x)单调递增。 结合定义域与选项，原函数单调递减区间为[2,3]。故本题选B。 4.分情况讨论的取值： 当a=0时，函数f(x)=-2x+2,为一次函数，斜率k=-2<0,在R上单调递减，自然在(-o∞，3) 二次函数开口向上（保证对称轴左侧单调递减），即a>0;对称轴不小于3（确保(-∞，3） 综合取值范围：结合a=0和0<as合得a的取值范围为0，。答案：D 5.消元转化为单变量函数：由2x+y=3得y=3-2x,将其代入3x2+4y2,得： 3x2+4i 求二次函数最小值：对于二次函数A×2+Bx+C(A>0),最小值在x=-B处取得。此处A=19, 2A 19x -48台+35=19贺晋36-沿B2,治奢案A 19 36119 6 分析二次函数单调性：对于y=-8x+15,对称轴为x=28=4,因二次项系数1>0，散函数在。 2×1 在（上单调递增。确定区间与单调性的关系：已知函数在上为减函数，故（需是（的子集，即a≤4。 需满足a>2(否则区间无意义)，综上2<a≤4。答案：B 7拆分复合离数：令=4，则f侣。 分析内函数的单调性：该函数为二次函数，对称轴为x=-二4=2，二次项系数1>0，故u在上单 2×1 分析外函数的单调性：因底数0<士<1，故外函数在R上单调递减。 根据“同增异减”求原函数单调区间：函数的单调递增区间为(。 8. 求二次函数对称轴：对于二次函数，若fm=f小，则对称轴为x=四”。由f1)=f7),得对称细 判断函数开口方向：已知f(7)<f(8),计算7、8到对称轴x=4的距离：V7-4V元3，V8-4V元4。跙 确定单调增区间：开口向上的二次函数，单调增区间为(，即(。 9. 变形方程表达：由3x+y=2得y=2-3x。根据约束条件求最大值：因x≥0，则-3x≤0，故y=2-3 10.分析的取值：因x≤0，X≥0。 若3b>0（b>0),则x+3b>0恒成立，此时需ax+3≤0对任意x≤0恒成立。但x=0时，0+3= 若3b=0（b=0),则x2+3b=x≥0，当x<0时x>0,需ax+3≤0对x<0恒成立。当x→-o∞时 0 若3b<0(b<0),令x+3b=0,解得x=-V-3b(因x≤0，舍去正根)。此时x+3b在(-o∞ 分析的零点与符号：要使(ax+3(x+3b)≤0对任意x≤0恒成立，需ax+3的零点与x2+3b的零点相同 。当x<--3b时，ax+3<0(与x2+3b>0乘积负)： 当--3bi≤0时，ax+3>0（与x+3b<0乘积负)。 故ax+3在零点处由负变正，说明a>0。 求解整数，：由-3=--3b得9=-3b,即b=-3。因a,b∈Z且a>0,故a是3的正约数，0 a a 验证：（x+3)(x2-9)=元 11.(1)利用列方程：将x=-2代入f(x)=ax2+bx+2,得f(-2)=a×i 利用方程有两个相等实根列方程：f(x)+6x=ax2+bx+2+6x=ax2+(b+6)x+2=0。因方程有两个相等 原方程f(x)+6x=0应为ax2+(b+6)x+2=0,判别式△=元 乙 显然矛盾，推测题目中f(x)=ax2+bx+2应为f(x)=ax+bx+1,或f(-2)=10应为f(-2)=8,按原答 若f(x)=x2-2x+2,则f(-2)=4+4+2=10(符合)，f(x)+6x=x2+4x+2=0,判别式16-8=8≠0， (2)分析函数单调性：f(x)=x2-2x+2=乙 分情况讨论的范围： 当<1≤1时，区间]在对称轴左侧，函数单调递减，最小值在X=处，f衣 。 当t>1时，区间跨越对称轴，函数在[片，1]递减、[1，递增，最小值在x=1处，f飞