2.3第一课时函数的单调性课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖增减函数定义、单调区间等核心知识。通过艾宾浩斯遗忘曲线数据导入，从时间间隔与记忆量的实际关系引出函数变化趋势，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，衔接后续定义辨析与应用。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养，如情境导入抽象函数关系，定义讲解强调区间要求及x1x2的同区间性、任意性等培养逻辑推理，通性通法总结证明四步骤提升运算能力。采用“情境-定义-例题-检测”闭环设计，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

3　函数的单调性和最值 新课程标准解读 核心素养 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象 2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数 学运算 3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大 值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数 学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 第一课时　函数的单调性 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进 行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据： 时间 间隔 t 刚记 忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小 时后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后 记忆 量 y （百 分比） 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 目录 数学·必修第一册（BSD） 　　以上数据表明，记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.艾宾浩斯根据这些 数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”. 【问题】　当时间间隔 t 逐渐增大，你能看出对应的函数值 y 有什么变 化趋势？ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　增函数、减函数的概念 设函数 y ＝ f （ x ）的定义域是 D ， I 是定义域 D 上的一个区间： 如果对于任意的 x1， x2∈ ，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上单调递增. 如果对于任意的 x1， x2∈ ，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上单调递减. 如果对于定义域 D 上任意的 x1， x2，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） ⁠ f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）是增函数. I 　 ＜　 I 　 ＞　 ＜　 目录 数学·必修第一册（BSD） 如果对于定义域 D 上任意的 x1， x2，当 x1＜ x2时，都有 f （ x1） ⁠ f （ x2），那么就称函数 y ＝ f （ x ）是减函数. 提醒　（1）对区间 I 的要求：函数的单调性是函数在某个区间上的性 质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分；（2） x1， x2的三个特征：①同区间性，即 x1， x2∈ I ；②任意性，即不可用 区间 I 上的两个特殊值代替 x1， x2；③有序性，即需要区分大小，通 常规定 x1＜ x2. ＞　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　函数的单调性与单调区间 如果函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上 或 ，那么 就称函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上具有单调性，区间 I 为函数 y ＝ f （ x ） 的 ⁠. 单调递增　 单调递减　 单调区间　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）函数在某个区间上单调递增（减），但是在整个定义域 上不一定是增（减）函数.如函数 y ＝ （ x ≠0）在区间（－∞，0） 和（0，＋∞）上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性.函 数 f （ x ）在某区间 I 上单调，则 I 必为 f （ x ）定义域的一个子集； （2）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪” 连接，而应该用“和”或“，”连接.如函数 y ＝ （ x ≠0）在区间 （－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递减，不能认为 y ＝ （ x ≠0） 的单调递减区间为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）所有函数在定义域上都具有单调性. （　×　） （2）因为 f （－1）＜ f （2），所以函数 f （ x ）在[－1，2]上单调 递增. （　×　） （3）若 f （ x ）是R上的减函数，则 f （－3）＞ f （2）. （　√　） （4）若函数 f （ x ）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则 函数 f （ x ）在区间（1，3）上也单调递增. （　×　） × × √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列函数中，是增函数的是（　　） A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝ x C. y ＝ x2 解析：　根据题意，依次分析选项：对于A， y ＝｜ x ｜＝ 不是增函数，不符合题意；对于B， y ＝ x 是正比例 函数，是增函数，符合题意；对于C， y ＝ x2是二次函数，不是增 函数，不符合题意；对于D， y ＝ 是反比例函数，不是增函数， 不符合题意. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 若函数 f （ x ）＝ ax －3在R上是增函数，则 a 的取值范围为 ⁠ ⁠. （0， ＋∞）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数单调性的判定与证明 【例1】　试用函数单调性的定义证明： f （ x ）＝ 在区间（1，＋ ∞）上单调递减. 目录 数学·必修第一册（BSD） 证明： f （ x ）＝2＋ ， ∀ x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＜ x2， 则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ， 因为1＜ x1＜ x2， 所以 x2－ x1＞0， x1－1＞0， x2－1＞0， 所以 f （ x1）＞ f （ x2）， 所以 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递减. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用定义证明函数单调性的4步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 证明函数 f （ x ）＝ x ＋ 在（1，＋∞）上单调递增. 证明：∀ x1， x2∈（1，＋∞），且 x1＜ x2，则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1＋ ）－（ x2＋ ） ＝（ x1－ x2）＋（ － ）＝（ x1－ x2）＋ ＝ （ x1－ x2）（1－ ）＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） ∵ x2＞ x1＞1，∴ x1－ x2＜0， x1 x2＞1，则－1＋ x1 x2＞0， ∴ ＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2）， ∴ f （ x ）＝ x ＋ 在（1，＋∞）上单调递增. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 求函数的单调区间 【例2】　画出函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜的图象，根据图象写出函 数 f （ x ）的单调区间. 解：函数 f （ x ）的图象如图所示，由图象可知函数 f （ x ）的单调递 增区间是（－∞，－1），（0，1）， 函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求函数单调区间的2种方法 （1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； （2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 求函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间. 解：函数 f （ x ）＝ 的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）， 设 x1， x2∈（－∞，1），且 x1＜ x2，则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ . 因为 x1＜ x2＜1，所以 x2－ x1＞0， x1－1＜0， x2－1＜0， 所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）. 所以函数 f （ x ）在（－∞，1）上单调递减，同理函数 f （ x ）在 （1，＋∞）上单调递减. 综上，函数 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，1），（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 函数单调性的应用 【例3】　（1）若函数 f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3在区间（－ ∞，3]上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ⁠； 解析：∵ f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3的开口向下，要使 f （ x ）在 （－∞，3]上单调递增，只需－（ a ＋1）≥3，即 a ≤－4.∴实数 a 的 取值范围为（－∞，－4]. （－∞，－4]　 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且 f （2 x －3）＞ f （5 x －6），则实数 x 的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：∵ f （ x ）是定义在（－∞，＋∞）上的增函数，且 f （2 x －3）＞ f （5 x －6），∴2 x －3＞5 x －6，即 x ＜1.∴实数 x 的 取值范围为（－∞，1）. （－∞，1）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）若本例（1）的函数 f （ x ）在（1，2）上单调，求 a 的 取值范围. 解：由题意可知－（ a ＋1）≤1或－（ a ＋1）≥2，即 a ≤－3或 a ≥－2. 所以 a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）若本例（2）的函数 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的 减函数，求 x 的范围. 解：由题意可知，解得 x ＞ . ∴ x 的取值范围为（ ，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 利用单调性比较大小或解不等式的方法 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比 较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量转化到同一 个单调区间上； （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性 将符号“ f ”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特 别注意函数的定义域. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 （1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区 间比较，求出参数的取值范围； （2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不 等式（组）求出参数的取值范围. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 若函数 f （ x ）在（－∞，－1]上单调递增，则下列关系式中成立 的是（　　） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　∵ f （ x ）在（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－ ＜ －1，∴ f （－2）＜ f （－ ）＜ f （－1）.故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若 f （ x ）是定义在[0，＋∞）上的减函数，则不等式 f （ x ）＜ f （－2 x ＋8）的解集是 ⁠. 解析：依题意，得不等式组解得 ＜ x ≤4. （ ，4］　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 若函数 f （ x ）是减函数，则有（　　） A. f （3）＜ f （5） B. f （3）≤ f （5） C. f （3）＞ f （5） D. f （3）≥ f （5） 解析：　因为函数 f （ x ）是减函数，3＜5，所以 f （3）＞ f （5）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的单调递减区间是（　　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－∞，2） D. （2，＋∞） 解析：　易知函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的图象是开口向下的抛 物线，其对称轴为 x ＝1，所以其单调递减区间是（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 函数 y ＝｜ x ＋2｜在区间[－3，0]上（　　） A. 单调递减 B. 单调递增 C. 先减后增 D. 先增后减 解析：　因为 y ＝｜ x ＋2｜＝ 作出 y ＝｜ x ＋2｜的图象，如图所示， 易知函数在[－3，－2）上单调递减，在[－2，0] 上单调递增. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）如果函数 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，则对于任意的 x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2），下列结论中正确的是（　　） B. （ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0 C. f （ a ）≤ f （ x1）＜ f （ x2）≤ f （ b ） D. f （ x1）≠ f （ x2） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　由函数单调性的定义可知，若函数 y ＝ f （ x ）在给定 的区间上单调递增，则 x1－ x2与 f （ x1）－ f （ x2）同号，由此可 知，选项A、B正确；对于C，若 x1＞ x2，则 f （ x1）＞ f （ x2），故 C不正确；对于D，因为 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调，且 x1≠ x2， 所以 f （ x1）≠ f （ x2），故D正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 已知函数 y ＝－ x2＋4 ax 在区间[－1，2]上单调递减，则实数 a 的取 值范围是 ⁠. 解析：根据题意，知函数 y ＝－ x2＋4 ax 为二次函数，且图象开口 向下，其对称轴为 x ＝2 a ，若其在区间[－1，2]上单调递减，则2 a ≤－1，所以 a ≤－ ，即 a 的取值范围为（－∞，－ ］. （－∞，－ ］　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $