2.2第一课时函数的表示法课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的表示法，通过京沪高铁解析式、出生人口变化曲线、氰化物浓度表等实例导入，衔接初中知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解解析法、列表法、图象法的内涵。 其亮点在于结合数学抽象与直观想象，通过实例对比三种表示法的优缺点，典型例题涵盖表示法应用、图象作法及待定系数法等解析式求法并总结通性通法。学生能提升数学运算与问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学效率。

2.2　函数的表示法 新课程标准解读 核心素养 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 （图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象 的作用 数学抽象、 直观想象 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、 数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 第一课时　函数的表示法 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 （1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千 米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶 x 小时 后，路程为 y 千米，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示， 其中 y ＝300 x 叫作该函数的解析式. （2）如图是我国近五年出生人口 变化曲线： 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 【问题】　根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么 方法表示函数的？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　函数的表示方法 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　函数三种表示法的优缺点比较 目录 数学·必修第一册（BSD） 提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适 用于所有函数，如狄利克雷函数： D （ x ）＝列表法虽 在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表 法只能表示函数的一个概况或片段. 【想一想】 　所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个函数都可以用解析法表示. （　×　） （2）任何一个函数都可以用图象法表示. （　×　） （3）函数 f （ x ）＝2 x ＋1不能用列表法表示. （　√　） （4）函数的图象一定是一条连续不断的曲线. （　×　） × × √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知函数 f （ x ）由下表给出，则 f （3）＝（　　） x 1≤ x ＜2 2 2＜ x ≤4 f （ x ） 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 不存在 解析：　∵当2＜ x ≤4时， f （ x ）＝3，∴ f （3）＝3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知函数 f （2 x ＋1）＝6 x ＋5，则 f （ x ）的解析式是 ⁠ ⁠. 解析：法一　令2 x ＋1＝ t ，则 x ＝ .所以 f （ t ）＝6× ＋5＝ 3 t ＋2，所以 f （ x ）＝3 x ＋2. f （ x ）＝3 x ＋2　 法二　因为 f （2 x ＋1）＝3（2 x ＋1）＋2，所以 f （ x ）＝3 x ＋2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数的表示法 【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出 台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析 法表示出来. 解：①列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 目录 数学·必修第一册（BSD） ②图象法： ③解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 理解函数表示法的三个关注点 （1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式 表示函数，都必须满足函数的概念； （2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数 的角度描述函数； （3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方 法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，每段都为1 cm的整数倍，并以每 一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用三种方法表示两个正方 形的面积之和 S 与其中一段铁丝长 x （ x ∈N＋）的函数关系. 解：这个函数的定义域为{ x ∈N＋｜1≤ x ＜10}. ①解析法： S ＝（ ）2＋（ ）2. 将上式整理得 S ＝ x2－ x ＋ ， x ∈{ x ∈N＋｜1≤ x ＜10}. 目录 数学·必修第一册（BSD） ②列表法： 一段铁丝长 x（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和 S （cm2） 目录 数学·必修第一册（BSD） ③图象法： 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 函数的图象的作法及应用 【例2】　作出下列函数的图象，并根据图象求其值域： （1） x －4 －2 2 4 y 1 －3 2 3 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：该函数的图象如图①所示，由图可知值域为{－3，1，2，3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1]； 解：作出函数 y ＝－ ， x ∈[－3，0）∪（0，1] 的图象，如图②所示，由图象可知值域为（－ ∞，－4]∪［ ，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3） y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0]. 解：作出函数 y ＝ x2＋4 x ＋1， x ∈[－3，0]的图 象，如图③所示，由图象可知值域为[－3，1]. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 画函数图象的两种常见方法 （1）描点法： ①列表——先找出一些（有代表性的）自变量 x ，并计算出与这 些自变量相对应的函数值 f （ x ），用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点（ x ， f （ x ）），在坐标平 面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接 起来. （2）变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变 换等. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　画出函数 y ＝ x －[ x ]的图象，其中[ x ]表示实数 x 的整数部分. 解：依题意知 y ＝ x －[ x ]的定义域为R，值域[0，1），它的图象如 图所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 【例3】　已知 f （ x ）是二次函数，且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2 －4 x ，求 f （ x ）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）， 则 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＋ a （ x － 1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ＝2 x2－4 x ， ∴∴∴ f （ x ）＝ x2－2 x －1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可设出 f （ x ）的 解析式，再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（组）求出待 定系数，进而求出函数解析式. 目录 数学·必修第一册（BSD） 角度2　利用换元法（配凑法）求函数解析式 【例4】　求下列函数的解析式： （1）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，求 f （ x ）； 解：法一（换元法）　令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t ≥1， 所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1）， 所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）. 法二（配凑法）　 f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝ （ ＋1）2－1. 因为 ＋1≥1， 所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）已知 f （ x ＋2）＝2 x ＋3，求 f （ x ）. 解： f （ x ＋2）＝2 x ＋3＝2（ x ＋2）－1， 所以 f （ x ）＝2 x －1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 换元法、配凑法求函数解析式 （1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个 含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式；利用换 元法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的 定义域； （2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出 g （ x ），用 g （ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替即可. 目录 数学·必修第一册（BSD） 角度3　用方程组法求函数解析式 【例5】　已知函数 f （ x ）对于任意的 x 都有 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1 ＋2 x ，求 f （ x ）的解析式. 解：在 f （ x ）－2 f （－ x ）＝1＋2 x 中，以－ x 代换 x ，可得 f （－ x ） －2 f （ x ）＝1－2 x ， 联立 消去 f （－ x ），可得 f （ x ）＝ x －1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 用方程组法求函数的解析式 　　方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数解析 式，如互为相反数的 f （－ x ）， f （ x ）的函数方程，通过对称规律 再构造一个关于 f （－ x ）， f （ x ）的方程，联立解出 f （ x ）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2，则 f （ x ）的解析式为 ⁠ ⁠. 解析：因为 f （ x2＋2）＝ x4＋4 x2＝（ x2＋2）2－4，令 t ＝ x2＋2（ t ≥2），则 f （ t ）＝ t2－4（ t ≥2），所以 f （ x ）＝ x2－4（ x ≥2）. f （ x ）＝ x2－4 （ x ≥2）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知 f （ x ）是一次函数，且 f （ f （ x ））＝9 x ＋4，求 f （ x ）的解 析式. 解：设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ≠0）. 则 f （ f （ x ））＝ k （ kx ＋ b ）＋ b ＝ k2 x ＋ kb ＋ b ＝9 x ＋4. 所以解得或 所以 f （ x ）＝3 x ＋1或 f （ x ）＝－3 x －2. 目录 数学·必修第一册（BSD） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 1. 已知函数 y ＝ f （ x ）的对应关系如下表，函数 y ＝ g （ x ）的图象 是如图的曲线 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2）， 则 f （ g （2））的值为（　　） 解析：　由函数 y ＝ g （ x ）的图象知， g （2）＝1，则 f （ g （2））＝ f （1）＝2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 一家宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，宾馆经 理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 200元 180元 160元 140元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为（　　） A. 200元 B. 180元 C. 160元 D. 140元 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　在四种情况下每天的收入分别为：200×65%×100＝13 000（元），180×75%×100＝13 500（元），160×85%×100＝13 600（元），140×95%×100＝13 300（元）.可得最大收入为13 600元，所以要使收入每天达到最高，每间应定价为160元. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知函数 f （ x ＋1）＝3 x ＋2，则 f （ x ）的解析式是（　　） A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝3 x ＋1 C. f （ x ）＝3 x ＋2 D. f （ x ）＝3 x ＋4 解析：　令 x ＋1＝ t ，则 x ＝ t －1，∴ f （ t ）＝3（ t －1）＋2＝3 t －1.∴ f （ x ）＝3 x －1. 4. 已知函数 f （ x ）＝ x － ，且此函数图象过点（5，4），则实数 m 的值为 ⁠. 解析：将点（5，4）代入 f （ x ）＝ x － ，得 m ＝5. 5　 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 已知二次函数 f （ x ）满足 f （0）＝1， f （1）＝2， f （2）＝5，求 f （ x ）的解析式. 解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）， 所以解得 所以 f （ x ）＝ x2＋1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $