精品解析：四川省达州市外国语学校2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

四川省达州市外国语学校2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的优异成绩．下列巴黎奥运会体育图标是轴对称图形的是（ ） A. 射击 B. 跳水 C. 柔道 D. 皮划艇静水 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项及单项式除以单项式，掌握相关运算法则是关键．利用幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项及单项式除以单项式的法则逐选项计算即可判断． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，选项计算不正确，不符合题意； B．，选项计算不正确，不符合题意； C．，选项计算不正确，不符合题意； D．，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，这样测量的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；根据证明，即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：． 4. 如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（ ） A. 88° B. 85° C. 65° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：，  ，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，  平分，  ． 5. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 寒来暑往 D. 从只有红球的袋子中摸出黑球 【答案】A 【解析】 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件．根据定义，判断各选项的事件类型，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，故该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； B选项，∵任意三角形的内角和都为，∴画一个三角形，其内角和为是必然事件； C选项，寒来暑往是固定的自然规律，是必然事件； D选项，从只有红球的袋子中不可能摸出黑球，是不可能事件． 6. 如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行 ， ∴ 拐弯前后的两段管道所在的直线平行，  ∴，  ∵  ∴ ． 7. 每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，整式加减中的无关型问题，多项式系数、指数中字母求值，掌握知识点是解题的关键． 计算两个多项式的乘积，合并同类项后，令项的系数为零，解方程即可求出的值． 【详解】解：计算乘积： ， ， ∵该多项式不含项， ∴项的系数为零，即， 解得，． 故答案为：1． 10. 点分别在一张长方形纸条的边上，将这张纸条沿着直线对折后如图，与交于点，如果，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角线段，折叠的性质，平角的定义，先由平行线的性质和对顶角线段得到，再由平角的定义和折叠的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴由折叠的性质可得， 故答案为：． 11. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 【答案】19或20 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0， 解得x＝6，y＝7， ①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19． ②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20． 故答案为：19或20． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 12. 如图，是等边三角形，，则的度数为____．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 13. 如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点C处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：从图（2）看，，， 则当时，点P在点C处， 则． 故答案为：12． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算与化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开完全平方公式与多项式乘积，再合并同类项； （2）根据幂的运算法则计算各项，再合并同类项； （3）分别计算零指数幂、负整数指数幂，逆用积的乘方法则计算最后一项，再求和． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再计算：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 【答案】，，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的性质．由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得． 【详解】解：图中的全等三角形有：，，； ∵，， ∴D是的中点，，， ∵，， ∴； ∵，，， ∴； ∴， ∵，，， ∴． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标：（______，______）； （2）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点P的坐标：P（___，__）． 【答案】（1）见详解， （2）见详解， 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键．（1）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；根据点在坐标系中的位置上写出各点坐标即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 如图，即为所求，； 【小问2详解】 作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，如图， ，此时的值最小， 此时． 18. 在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线一直兴趣浓厚，情绪高涨，于是刘老师顺势在班级开展课题学习活动： 探究平行线的“等角转化”功能． 【问题情境】如图1，某小区门口的“曲臂直杆道闸”可抽象为如图所示的模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），有的同学认为，在该运动过程中的度数是个定值（始终不变）． 【问题探究】 （1）下面是小玉同学的解答过程，请你将它补充完整． 解：如图，过点B作， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴． ∴（ ）°． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 【方法运用】 （2）如图2，已知，求证：． 【深化拓展】 （3）如图3，已知，，，平分，平分，、交于点E，直接写出的度数． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；平行于同一直线的两直线平行； （2）证明：过点作，  ， （平行于同一直线的两直线平行），  （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质、垂直定义、平行公理推论解答即可； （2）过点作，根据平行线的性质即可解答； （3）根据角平分线的性质得出，，过点作，则，根据平行线的性质求出，， 即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 若，，且，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案：． 20. 在不透明的袋子中，仅有颜色不同的7个球，其中3个红球，4个黄球，随机摸出一个球是红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据概率的定义，红球个数除以总球数即可得到概率． 【详解】解：袋中共有7个球，其中红球有3个， 因此随机摸出一个球是红球的概率为红球个数与总球数的比值，即， 故答案为：． 21. 如图，，，若，则的大小为______度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据垂直定义得，即可由，再根据平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 已知在中，，角平分线交于点P，则______． 【答案】##111度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 【答案】3.9 【解析】 【分析】由D是中点且，得是的垂直平分线，所以．由，结合邻补角关系，推出E在的外角平分线上，所以E到的距离与E到的距离相等．过E作延长线的垂线，垂足为G，利用角平分线性质得，再证明，得到对应边相等．根据的长度，结合线段和差关系列等式，求解的长度． 【详解】连接， ∵是中点，， ∴是的垂直平分线， ∴ ． 过作，交的延长线于． ∵，且， ∴， 即平分． 又，， ∴，且． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ ， ∴  ， ∴， 代入， 得． 二．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 24. 用充电器给某手机充电时，其屏幕显示目前电量为20%（如图1所示）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：h）的函数关系图象分别为图2中的线段，．根据以上信息，解答下列问题： （1）单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用______h； （2）求线段对应的函数表达式； （3）先用普通充电器充电h后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，求的值． 【答案】（1）4 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图． （1）根据图象即可得出答案； （2）用待定系数法可得函数关系式； （3）根据一共用3h时，列方程求出的值． 【小问1详解】 解：由图象得，单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：设线段对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得，， 线段对应的函数表达式为，． 【小问3详解】 解：根据题意得，， 解得，． 答：的值为． 25. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①： ②： ③： （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． （3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）① （2）12 （3）12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式、平方差公式在几何中的应用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可； （2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可； （3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故选：①； 【小问2详解】 解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：设正方形与正方形的变成分别为a，b， ∵正方形与正方形面积和为74，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负数舍去）， ∴，即， ∴阴影部分的面积为． 26. 在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足 ，连接、． （1）如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】（1）①如图所示； ②， 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 由， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， 由， ， ， 又， ． （2）或． 【解析】 【分析】本题解题关键在于作出正确的辅助线，构造全等三角形： （1）①根据题意补全图形即可；②延长至点，使得，连接，通过等边三角形的性质及全等三角形的判定证明出，从而得到； （2）辅助线作法与（1）相同，①点在直线左下方，根据和的数量关系仍成立，可证明，故，再根据等腰三角形的性质和周角是求出； ②点在直线右下方，仍可证明，故，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①点在直线左下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与（1）相同，可证明，， ， ， ，， ， 和的数量关系仍成立， ， 在和中， 由， ， ， ． ②点在直线右下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与①相同，可证明， ， 且， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市外国语学校2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的优异成绩．下列巴黎奥运会体育图标是轴对称图形的是（ ） A. 射击 B. 跳水 C. 柔道 D. 皮划艇静水 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接，，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A，B两点之间的距离，从三角形全等的角度分析，这样测量的依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（ ） A. 88° B. 85° C. 65° D. 72° 5. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 画一个三角形，其内角和为 C. 寒来暑往 D. 从只有红球的袋子中摸出黑球 6. 如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是__________． 10. 点分别在一张长方形纸条的边上，将这张纸条沿着直线对折后如图，与交于点，如果，则______度． 11. 已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 ________． 12. 如图，是等边三角形，，则的度数为____．     13. 如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 _______． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 计算与化简： （1）； （2）； （3）． 15. 先化简，再计算：，其中，． 16. 如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标：（______，______）； （2）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请直接写出点P的坐标：P（___，__）． 18. 在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线一直兴趣浓厚，情绪高涨，于是刘老师顺势在班级开展课题学习活动： 探究平行线的“等角转化”功能． 【问题情境】如图1，某小区门口的“曲臂直杆道闸”可抽象为如图所示的模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），有的同学认为，在该运动过程中的度数是个定值（始终不变）． 【问题探究】 （1）下面是小玉同学的解答过程，请你将它补充完整． 解：如图，过点B作， ∴（ ）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴． 又∵（已知）， ∴（ ）． ∴． ∴（ ）°． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能． 【方法运用】 （2）如图2，已知，求证：． 【深化拓展】 （3）如图3，已知，，，平分，平分，、交于点E，直接写出的度数． B卷（共50分） 一．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 若，，且，则的值为____________． 20. 在不透明的袋子中，仅有颜色不同的7个球，其中3个红球，4个黄球，随机摸出一个球是红球的概率为__________． 21. 如图，，，若，则的大小为______度． 22. 已知在中，，角平分线交于点P，则______． 23. 如图，在中，D为中点，交于F，，则的长为______ ． 二．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 24. 用充电器给某手机充电时，其屏幕显示目前电量为20%（如图1所示）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：h）的函数关系图象分别为图2中的线段，．根据以上信息，解答下列问题： （1）单独用快速充电器充满电比用普通充电器少用______h； （2）求线段对应的函数表达式； （3）先用普通充电器充电h后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，求的值． 25. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． （1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①： ②： ③： （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值． （3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和． 26. 在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足 ，连接、． （1）如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； （2）如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $