精品解析：山西省晋中同兴习知学校2021--2022学年下学期九年级摸底测试数学试题

同兴习知学校2022年初三预科数学摸底测试 （试卷满分100分，测试时间75分钟） 一、选择题（本卷共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3. 如图，将向右平移得到，已知A，D两点的距离为1，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 任意实数 6. 若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A. x＋1>y＋1 B. 2x>2y C. > D. x2>y2 7. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 8. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　　） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 1种 9. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的中点，平分，．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 化简______． 12. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是_________ 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2019cm，则AB=______. 14. 如图，一次函数 与一次函数的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是____． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 三．解答题（共6题，满分55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）） 16. 分解因式： （1） （2） 17. 解下列方程 （1）解不等式组：，并在数轴上表示出来； （2）解分式方程：． （3）先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． 18. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 19. 如图，已知点，点． （1）将绕点P逆时针旋转得，画出并写出点C的对应点的坐标为_______； （2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为_______； （3）把向下平移6个单位长度得，画出，由图可知可由绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为_______． 20. 为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍． （1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？ （2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？ 21. 问题情境：数学活动课上，老师提出一个问题：在中，，于点D． （1）如图1，若，点E是线段上一个动点（点E不与A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （2）希望小组提出：若点E是线段延长线上一个动点（点E不与点A，B重合），其他条件不变，请直接写出线段，，之间的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同兴习知学校2022年初三预科数学摸底测试 （试卷满分100分，测试时间75分钟） 一、选择题（本卷共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意． 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所对边的垂直平分线上， 因此到三角形三个顶点距离都相等的点，是这个三角形三边垂直平分线的交点. 3. 如图，将向右平移得到，已知A，D两点的距离为1，，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将向右平移得到，可得图形中每一点都沿平移方向平移了相同的距离，从而可得答案． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用平移的性质解决问题，熟记平移的性质是解本题的关键． 4. 下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据分式值为的条件求解，分式值为需要满足分子为，同时分母不为，结合两个条件即可得到的取值． 【详解】解：∵分式的值为， ∴满足条件， 解方程，得或， 由不等式，得， ∴． 6. 若x>y，则下列不等式不一定成立的是( ) A. x＋1>y＋1 B. 2x>2y C. > D. x2>y2 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意； B选项：两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意； C选项：两边都除以2，不等号的方向不变，故C不符合题意； D选项：0＞x＞y时，x2＜y2，故D符合题意； 故选D． 7. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的乘法，直接将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出答案．正确化简分式是解题关键． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 8. 顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（　　） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 1种 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案． 【详解】当①③时，四边形ABCD为平行四边形； 当①④时，四边形ABCD为平行四边形； 当③④时，四边形ABCD为平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 9. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件， 根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10. 如图，在中，是的中点，平分，．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】因为平分且，所以延长交于点，可证，得到是中点，求出的长，是的中位线，根据中位线定理求即可． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 结合， 可得， ∴，，即是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式加减法的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式的基本性质是进行分式运算的关键． 12. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的边数是_________ 【答案】 【解析】 【分析】设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数. 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，得 ， 等式两边同时除以，得 ， 解得. 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2019cm，则AB=______. 【答案】2019cm 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，则有BC=BE，然后求出△ADE的周长=AB． 【详解】解：∵∠C=90°，BD平分∠CBA，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△BCD和Rt△BED中， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BC=BE， 又 AC=BC ∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB， ∵△ADE的周长为2019cm， ∴AB=2019cm． 故答案为2019． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ADE的周长=AB是解题的关键． 14. 如图，一次函数 与一次函数的图象交于点 ，则关于 的不等式 的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 【答案】## 【解析】 【详解】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C=，AC=BC=， ∴AB==2， ∴BD=2×=， C′D=×2=1， ∴BC′=BD−C′D=−1． 故答案为：−1. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 三．解答题（共6题，满分55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式y，再利用平方差公式即可直接分解； （2）首先利用平方差公式因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解即可； 【小问1详解】 = = 【小问2详解】 = = = 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 17. 解下列方程 （1）解不等式组：，并在数轴上表示出来； （2）解分式方程：． （3）先化简，然后选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）不等式组的解集为，； （2）原分式方程无解； （3）化简结果为，当取时，值为． 【解析】 【小问1详解】 解：原不等式组为， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 数轴略； 【小问2详解】 解：原分式方程为， 方程整理得， 方程两边同乘去分母得， 展开整理得， 解得． 检验：当时，原方程分母， 因此是增根，原分式方程无解； 【小问3详解】 解： ， 要使原式有意义，则，，，， 即，，， 取，代入得原式． 18. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【答案】 证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB． ∴△OAB是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练． 19. 如图，已知点，点． （1）将绕点P逆时针旋转得，画出并写出点C的对应点的坐标为_______； （2）画出△ABC关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标为_______； （3）把向下平移6个单位长度得，画出，由图可知可由绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质将绕点P逆时针旋转得，画出并写出点C的对应点的坐标即可； （2）根据中心对称的性质将△ABC关于原点成中心对称的图形，并写出点A的对应点的坐标即可； （3）根据平移的性质将向下平移6个单位长度得，画出，并写出与的旋转中心坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求.点C的对应点的坐标为． 故答案为． 【小问2详解】 )如图，即为所求.点A的对应点的坐标为． 故答案为． 【小问3详解】 如图，即为所求.由图可知可由绕点Q逆时针旋转90°而得到，则点Q的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查中心对称变换、旋转变换作图和平移作图，解题的关键是掌握旋转的性质． 20. 为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍． （1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？ （2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？ 【答案】（1）1.8元；2.5元 （2）2000个 【解析】 【分析】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，根据用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍列出方程，解方程即可． （2）先设B种品牌口罩购进m件，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据全部出售后所获利润不低于3000元列出不等式，求解即可． 【详解】（1）设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，依题意得： 解得x=1.8， 经检验x=1.8是原方程的解， x+1.8=2.5（元）， 答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元． （2）设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据题意得， （2-1.8）（6000-m）+（3-2.5）m≥1800， 解得m≥2000， ∵m为整数， ∴m的最小值为2000． 答：最少购进种B品牌的口罩2000个． 【点睛】考查了分式方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是弄清题意，表示出A、B两种品牌的口罩每个进价，根据购进的口罩的数量关系列出分式方程． 21. 问题情境：数学活动课上，老师提出一个问题：在中，，于点D． （1）如图1，若，点E是线段上一个动点（点E不与A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （2）希望小组提出：若点E是线段延长线上一个动点（点E不与点A，B重合），其他条件不变，请直接写出线段，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，证明，进一步可得结论； （2）证明，可得，证明，进一步可得结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴, ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $