2.1.1直线的倾斜角与斜率导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程。2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 问题 生活里我们上下楼梯、走斜坡人行道，同样高度差的两段坡道：一段台阶密、坡很陡，一段台阶疏、坡平缓。 思考问题：怎么用一个统一的数字，精准描述坡道的倾斜陡峭程度？这个数字和坡面与水平面形成的夹角又有什么关系？ 参考答案　我们用竖直高度与水平距离的比值（斜率）量化坡道的陡峭程度，坡面与水平面的夹角为倾斜角，斜率等于倾斜角的正切值，倾斜角的大小、范围决定斜率的正负与有无，直观体现坡面倾斜状态 一、直线的倾斜角 知识梳理 （1）定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：。 当时，表示直线与轴平行或与轴重合. 【注意】1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 【例1】若直线的向上的方向与轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【解析】如图，直线有两种情况，故的倾斜角为60°或120°. 【变式1-1】(多选)如果直线过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么的倾斜角可能是（ ） A．0° B．120° C．90° D．60° 【答案】ABC 【解析】依题意，直线过原点，且不经过第三象限，则或， 所以ABC选项符合，D选项不符合 【变式1-2】已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 【答案】【解析】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系可得，故直线的倾斜角为. 2、 直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即． 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，；（2）直线与轴垂直时，，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. （2）斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. （3） 直线的方向向量 若直线的方向向量为＝()(≠0)，则直线的斜率 【例2】(多选)下列说法中正确的是（ ） A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan 【答案】ABC 【解析】由直线的倾斜角与斜率的概念，可知A，B，C均正确；因为倾斜角是90°的直线没有斜率，所以D说法不正确． 【变式2-1】(多选)已知下列命题错误的是（ ） A．直线的斜率为，则直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为，则. C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角 D．坐标平面上所有的直线都有斜率 【答案】ABD 【解析】对于A ,，直线的倾斜角为，不是，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，是对的，C正确；对于D，倾斜角是的直线没有斜率，D错误。 【例3】求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1,1)、(2,4)； （2）(－3,5)、(0,2)； （3）(4,4)、(4,5)； （4）(10,2)、(－10,2)． 【解析】（1），∴倾斜角是锐角． （2） ，∴倾斜角是钝角． （3）倾斜角是90°． （4），倾斜角为0° 【变式3-1】（1）直线过A（﹣a，8），B（2，2a）两点且＝12，求实数a的值. （2）已知经过两点A（5，m），B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）k＝12，∴a. （2）1，化为：（m﹣5）（m）＜0，解得.∴实数m的取值范围是. 【例4】直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 【答案】斜率的范围：；倾斜角的范围：. 【解析】如图所示. ∵，， 又直线过点，且与以，为端点的线段有公共点， 所以由图像可得：，因此倾斜角的范围为： 【变式4-1】已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点， 由图，可知，，当时，直线与线段有交点． 故选：B 【变式4-2】已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 【答案】 【解析】如图所示： 设直线过A点时直线的斜率为，直线过B点时直线的斜率为， 则，，， 所以要使直线与线段AB有公共点，则直线的斜率的取值范围为：, 所以倾斜角的取值范围. 【例5】若三点A（2，-3）、B（4，3）、C（5，k）在同一条直线上，则实数_____________． 【答案】6 【解析】可利用斜率公式列方程来求的值，由直线上两点的斜率公式得． 又，，解得 易错点提示（1）每一个直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是90°时，没有斜率。（2）直线不一定是函数。 巩固加练 1.直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】由题意得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 2.如图所示，三条直线，，，且三条直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知：,,,且直线的倾斜角小于直线的倾斜角,所以,综上可知：.故选：B 3.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 解析　由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±. 答案　A 4.已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线的斜率， 直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是或． 5.经过两点A（4，2y＋1），B（2，–3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（ ） A．–1 B．–3 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由过两点的直线的斜率公式可得kAB=，解得y=–1 6.直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【解析】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 7. 过，两点的直线l的倾斜角为，求的值为 【答案】. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 8. 光线从点A（2，1）射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B（4，3），试求点Q的坐标及入射光线的斜率． 【答案】 【解析】设，则由题意得． ∵， ∴，解得，即点Q的坐标为， ∴． 9.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 【答案】，，理由见解析. 【解析】如下图所示， 当直线经过点时，斜率为，此时倾斜角为 ； 当直线经过点时，斜率为， 此时倾斜角为， 由题意可知，当直线从过点的位置开始，逆时针旋转至过点的位置，经过图中阴影部分时都能满足题意， 旋转过程中，倾斜角先从变化到，再从变化到， 所以倾斜角的取值范围是：； 旋转过程中，斜率先从变化到，再从变化到， 所以斜率的取值范围是：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 学习目标　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率 的过程。2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 问题 生活里我们上下楼梯、走斜坡人行道，同样高度差的两段坡道：一段台阶密、坡很陡，一段台阶疏、坡平缓。 思考问题：怎么用一个统一的数字，精准描述坡道的倾斜陡峭程度？这个数字和坡面与水平面形成的夹角又有什么关系？ 一、直线的倾斜角 知识梳理 （1）定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴的 与 的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 （2）倾斜角的范围： 当 时，表示直线与轴平行或与轴重合. 【注意】1、定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 【例1】若直线的向上的方向与轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【变式1-1】(多选)如果直线过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么的倾斜角可能是（ ） A．0° B．120° C．90° D．60° 【变式1-2】已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角. 2、 直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率， 常用表示，即 【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，；（2）直线与轴垂直时，，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. （2）斜率公式 已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式 （3） 直线的方向向量 若直线的方向向量为＝()(≠0)，则直线的斜率 【例2】(多选)下列说法中正确的是（ ） A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan 【变式2-1】(多选)已知下列命题错误的是（ ） A．直线的斜率为，则直线的倾斜角为 B．直线的倾斜角为，则. C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角 D．坐标平面上所有的直线都有斜率 【例3】求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1,1)、(2,4)； （2）(－3,5)、(0,2)； （3）(4,4)、(4,5)； （4）(10,2)、(－10,2)． 【变式3-1】（1）直线过A（﹣a，8），B（2，2a）两点且＝12，求实数a的值. （2）已知经过两点A（5，m），B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围. 【例4】直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围. 【变式4-1】已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______． 【例5】若三点A（2，-3）、B（4，3）、C（5，k）在同一条直线上，则实数_____________． 易错点提示（1）每一个直线都有一个确定的倾斜角，但不一定都有斜率，当直线的倾斜角是90°时，没有斜率。（2）直线不一定是函数。 巩固加练 1.直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.120° D.150° 2.如图所示，三条直线，，，且三条直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 3.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 4.已知点，，若直线l过点，且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A．或 B． C． D． 5.经过两点A（4，2y＋1），B（2，–3）的直线的倾斜角为45°，则y的值为（ ） A．–1 B．–3 C．0 D．2 6.直线的倾斜角的大小为____________． 7. 过，两点的直线l的倾斜角为，求的值为 8. 光线从点A（2，1）射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B（4，3），试求点Q的坐标及入射光线的斜率． 9.经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围，并说明理由． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $