2.1.1 倾斜角与斜率 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“倾斜角与斜率”，引导学生理解倾斜角的定义与范围、斜率的概念及计算公式，掌握两者关系及应用。通过探究“确定直线的条件”“直线束方向差异”等问题，从平面几何的点与方向过渡到坐标系中用角和正切值刻画倾斜程度，搭建“形”到“数”的学习支架。 资料以问题驱动探究，结合“梳理教材”“典例变式”“课堂达标”等环节，通过几何直观（数学眼光）观察直线方向，逻辑推理（数学思维）推导斜率公式，数学语言表达倾斜程度与斜率的关系，培养学生抽象能力和应用意识，助力提升解决问题的能力。

2.1.1　倾斜角与斜率 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例，理解直线的倾斜角的概念. 2.结合教材实例，理解斜率的概念及计算公式. 3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题. 一、直线的倾斜角 探究1　在平面内，我们如何才能确定一条直线？ 探究2　在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束，如图，这些直线的区别是什么？ 探究3　如何表示这些直线的方向？ ★梳理教材 1.倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l'的倾斜角是∠BPx. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. ★温馨提示　（1）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角（未作旋转时倾斜角为0°）. （2）倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等. （3）一条直线的倾斜角存在且唯一. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任一直线都有倾斜角，若直线确定，则倾斜角确定.（ 　） （2）倾斜角的取值范围是[0，π].（ 　） （3）方向不同的直线，倾斜角可能相等.（ 　） 【典例1】　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转40°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ 　） A.α＋40° B.α－140° C.140°－α D.当0°≤α＜140°时，为α＋40°，当140°≤α＜180°时，为α－140° ★解题感悟 　　1.求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论. 2.关于直线的斜率 定义的前提是α≠90°，即当α＝90°时，没有斜率，所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的. 【练习1】　（1）已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 . （2）已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为 . 二、直线的斜率 探究4　日常生活中，常用坡度（坡度＝）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 探究5　结合探究4的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角α的正切值：①直线过O（0，0），P（，1）；②直线过P1（－1，1），P2（，0）；③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2. ★梳理教材 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k＝ . 2.斜率公式 经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率. ★温馨提示　（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，如倾斜角为90°的直线不存在斜率. （2）斜率从“代数”的角度刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度，它的取值范围是（－∞，＋∞）. （3）斜率的三种计算方法虽然适用情况不同，但必要时可以相互转化. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）倾斜角为135°的直线的斜率为1.（ 　） （2）若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.（ 　） （3）直线的斜率的取值范围是（－∞，＋∞）.（ 　） 【典例2】　（1）已知直线l的方向向量的坐标为（1，），则直线l的斜率为. （2）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A（2，3），B（4，5）；②C（－2，3），D（2，－1）；③P（－3，1），Q（－3，10）. （3）求经过两点A（a，2），B（3，6）的直线的斜率. ★解题感悟 　　1.利用斜率公式求直线的斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的. （2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时交换位置. 2.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜 角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 【练习2】　直线l1经过两点A（0，0），B（，1），直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（ 　） A. B. C.1 D. 三、直线的倾斜角、斜率的应用 探究6　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？ 探究7　你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ ★梳理教材 1.设直线的倾斜角为α，斜率为k α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k的增 减性 — 随α的增大而 — 随α的增大而 2.特殊角的正切值要熟记 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 －1 ★温馨提示　（1）根据正切函数在［0，）∪（，π）上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况. （2）正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意倾斜角为90°的直线不存在斜率. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线倾斜角的取值范围是（α，β），则其斜率的取值范围是（tan α，tan β）.（ 　） （2）直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大.（ 　） （3）任一直线都有倾斜角，都存在斜率.（ 　） 【典例3】　直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 . 【变式探究1】　若将本典例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 【变式探究2】　若将本典例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围. ★解题感悟 　　1.直线的斜率与倾斜角的函数关系 直线的斜率k＝tan α，0≤α＜π且α≠. 　　2.求代数式的最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 【练习3】　已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）. （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的取值范围. ★课堂达标 1.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ 　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 2.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为（ 　） A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α 3.若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是 . 4.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解析版 2.1.1　倾斜角与斜率 ★学习目标　1.结合教材实例，理解直线的倾斜角的概念. 2.结合教材实例，理解斜率的概念及计算公式. 3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题. 一、直线的倾斜角 探究1　在平面内，我们如何才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一个点和一个方向也可以确定一条直线. 探究2　在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束，如图，这些直线的区别是什么？ 提示：在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同. 探究3　如何表示这些直线的方向？ 提示：这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用角来表示这些直线的方向. ★梳理教材 1.倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴　正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l'的倾斜角是∠BPx. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围是　0°≤α＜180°　，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. ★温馨提示　（1）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角（未作旋转时倾斜角为0°）. （2）倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等. （3）一条直线的倾斜角存在且唯一. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任一直线都有倾斜角，若直线确定，则倾斜角确定.（　√　） （2）倾斜角的取值范围是[0，π].（　✕　） （3）方向不同的直线，倾斜角可能相等.（　✕　） 【典例1】　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转40°得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　D　） A.α＋40° B.α－140° C.140°－α D.当0°≤α＜140°时，为α＋40°，当140°≤α＜180°时，为α－140° 解析：根据题意，画出图形，如图所示. 图1 图2 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，所以不合题意. 由图1可知，当0°≤α＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α＜180°时，如图2所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D. ★解题感悟 　　1.求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论. 2.关于直线的斜率 定义的前提是α≠90°，即当α＝90°时，没有斜率，所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的. 【练习1】　（1）已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　60°或120°　. （2）已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　135°　. 二、直线的斜率 探究4　日常生活中，常用坡度（坡度＝）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值，即k＝tan α（α≠）来定义直线的倾斜程度. 探究5　结合探究4的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角α的正切值：①直线过O（0，0），P（，1）；②直线过P1（－1，1），P2（，0）；③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2. 提示：对于①，向量＝（，1），由正切函数的定义，tan α＝＝；对于②，向量＝（＋1，－1），可平移使＝＝（＋1，－1），于是tan α＝＝1－；对于③，类比②可知tan α＝. ★梳理教材 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的　正切　值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示，即k＝　tan α　. 2.斜率公式 经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝　　.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率. ★温馨提示　（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，如倾斜角为90°的直线不存在斜率. （2）斜率从“代数”的角度刻画了直线相对于x轴正方向的倾斜程度，它的取值范围是（－∞，＋∞）. （3）斜率的三种计算方法虽然适用情况不同，但必要时可以相互转化. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）倾斜角为135°的直线的斜率为1.（　✕　） （2）若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.（　✕　） （3）直线的斜率的取值范围是（－∞，＋∞）.（　√　） 【典例2】　（1）已知直线l的方向向量的坐标为（1，），则直线l的斜率为　. 解析：直线l的斜率为＝. （2）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A（2，3），B（4，5）； ②C（－2，3），D（2，－1）； ③P（－3，1），Q（－3，10）. 解：①存在，直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α＜180°， 所以倾斜角α＝45°. ②存在，直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α＜180°， 所以倾斜角α＝135°. ③不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. （3）求经过两点A（a，2），B（3，6）的直线的斜率. 解：当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. ★解题感悟 　　1.利用斜率公式求直线的斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的. （2）斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时交换位置. 2.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜 角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 【练习2】　直线l1经过两点A（0，0），B（，1），直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（　D　） A. B. C.1 D. 解析：因为直线l1的斜率为＝， 所以直线l1的倾斜角为. 又因为直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍， 所以直线l2的倾斜角为， 所以直线l2的斜率为tan ＝. 故选D. 三、直线的倾斜角、斜率的应用 探究6　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什么？ 提示：由正切函数图象及单调性可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且斜率随着倾斜角的增大而增大. 探究7　你能发现直线的方向向量与斜率之间的关系吗？ 提示：我们知道，若P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，直线P1P2上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为（x2－x1，y2－y1）. 当直线P1P2与x轴不垂直时，x1≠x2，此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为（x2－x1，y2－y1），即＝（1，k），其中k是直线P1P2的斜率.因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则k＝. ★梳理教材 1.设直线的倾斜角为α，斜率为k α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 k＞0 不存在 　k＜0　 k的增 减性 — 随α的增大而　增大　 — 随α的增大而 　增大　 2.特殊角的正切值要熟记 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 　－　 －1 　－　 ★温馨提示　（1）根据正切函数在［0，）∪（，π）上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况. （2）正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意倾斜角为90°的直线不存在斜率. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若直线倾斜角的取值范围是（α，β），则其斜率的取值范围是（tan α，tan β）.（　✕　） （2）直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大.（　✕　） （3）任一直线都有倾斜角，都存在斜率.（　✕　） 【典例3】　直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为　（－∞，－]∪[1，＋∞）　. 解析：设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－.如图，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞）. 当直线l由PC变化到PB时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的取值范围为（－∞，－]，故直线l的斜率取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）. 【变式探究1】　若将本典例中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围. 解：如图，∵P（－1，0），A（2，1），B（0，）， ∴kAP＝＝，kBP＝＝. ∴直线l的斜率的取值范围为［，］. 【变式探究2】　若将本典例中的B（0，）改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围. 解：如图，∵P（1，0），A（2，1），B（2，－1）， ∴kAP＝＝1，kBP＝＝－1， ∴直线PA的倾斜角为45°， 直线PB的倾斜角为135°. ∴l的倾斜角α的取值范围为［0，］∪［，π）. ★解题感悟 　　1.直线的斜率与倾斜角的函数关系 直线的斜率k＝tan α，0≤α＜π且α≠. 　　2.求代数式的最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 【练习3】　已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）. （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的取值范围. 解：（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的取值范围是［，］. ★课堂达标 1.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（　A　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析：tan 45°＝＝1，解得m＝2. 2.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为（　D　） A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α 解析：如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α； 如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 图1 图2 3.若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是　互补　. 解析：设两直线斜率分别为k1，k2，若k1＝－k2，则tan α1＝－tan α2＝tan（180°－α2），∴α1＝180°－α2，则α1＋α2＝180°，∴倾斜角互补. 4.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0. 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 页 学科网（北京）股份有限公司 $