第十三章 三角形 章末综合试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦人教版八年级上册三角形章节，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖三角形性质、角平分线、中线等核心知识点，强化推理与几何直观，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等边三角形性质、等腰三角形周长计算|结合三角尺、直尺实物情境，考查几何直观| |填空题|5|中线分面积、角平分线角度计算|注重图形变换与面积关系推理| |解答题|8|作图、角度证明、综合探究|分层设计，从基础作图到“结论探究-应用-拓展”综合题，培养推理能力与创新意识|

第十三章 三角形 章末综合试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上学期 一、单选题 1．若等边三角形的一条高为，则其边长为(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 2．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（  ） A．18 B．25 C．29 D．25或29 3．如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为d，等边三角形的高为，则d与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，等于（   ） A． B． C． D． 8．如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为________． 10．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为_____． 11．如图，在三角形中，D，E分别为边上的点，且，连接，使得交于点F，已知三角形的面积为，那么三角形的面积为______．    12．如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为_____． 13．如图，在中，，D为BC延长线上的一点，与的平分线相交于点，则__________；与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，要使的度数为整数，则n的最大值为__________．    三、解答题 14．请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    15．若、、分别为三边，化简：． 16．如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 17．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 18．如图，在中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 19．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 20．【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 21．如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 22．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C B C C B 1．A 根据等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解． 解：如图，    ∵AB=AC=BC，AD⊥BC， ∴BD=BC=AB， ∴在直角三角形ABD中， 根据勾股定理，得AB2=AD2+BD2， 即 解得AB=2， 故选：A． 2．D 解：，，， ，， ，， 当a为底边长时，三条边长分别为7，11，11，，能构成三角形，此时周长为：， 当a为腰长时，三条边长分别为7，7，11，，能构成三角形，此时周长为：， 因此周长是25或29， 故选D． 3．C 首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数． 解：如图， ∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=25°，∠F=30°， ∴∠BEF=∠1+∠F=55°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠BEF=55°， 故选：C． 4．C 采用面积法构造等式问题可解. 解：如图， 连接BP，过点P做PD⊥BC，PE⊥AB，分别交BC，AB于点D，E， ∴S△ABC=S△BPC+S△BPA =BC•PD+AB•PE =BC•PD+BC•PE =BC（PD+PE） =d•BC =h•BC， ∴d=h， 故选：C． 5．B 本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论． 解：， ， ， ， ， 故选B． 6．C 本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．C 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案． 解：如图， ，， ， 故选：C． 8．B 本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9． 本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴ ∵E是的中点， ∴，     ∴阴影部分的面积为， 故答案为：8． 10．/68度 本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．延长，交于点，先根据角平分线的定义可得，，再设，，则，，根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 解：如图，延长，交于点， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， 由三角形的外角性质得：， 即， 由①②得：，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 11．60 本题主要考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，连接，先根据题意得到，，，设，根据图形面积之间的关系得到，解方程组即可得到答案． 解；如图所示，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60．    12．9°、51°、129° 分三种情况讨论：①当时，②当于F时，③当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 解：①如图1，当时， ，， ， 平分， ， ； ②如图2，当于F时， ， ； ③如图3，当时， 平分， ， ， ． 综上所述，的度数为9°、51°、129°． 故答案为：9°、51°、129°． 本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键． 13． 32 6 利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求，再依此类推得，,……，，即可求解． 解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形的外角性质，，， ∴， 整理得：， 同理可得， …… 其规律为：． 要使的度数为整数，的最大值为6． 故答案为：32，6． 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的是解题的关键． 14．作图见解析 本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      15． 本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 16． 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 17．(1) (2) 本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形中线的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形中线的定义可得，则由三角形周长计算公式可得，据此求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．(1) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线有关的计算，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的性质得，运用三角形外角性质以及，进行角的等量代换得，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质，得出，再结合以及由（1）中，进行计算，即可作答． （1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， 即． 19．(1) (2)或 本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． （1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 20．（1）不平行，理由见解析；（2） （1）首先表示出，然后得到，进而得到，进而求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后根据，列方程求解即可． 解：（1）不平行．如图所示， 由题意可得，． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是锐角， ∴m小于， ∴小于， ∴与的和不等于， ∴与不平行； （2）如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴ 解得． 此题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．(1) (2) (3)或 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 22．（1）证明：如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）； （3） 本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． （1）略 （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴由（1）可知，， ∴； ∴； （3）延长，交于点G， ∵，， ∴，， ∴． ∵四边形的内角与外角的平分线交于点 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $