2.1函数概念同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，覆盖函数概念、定义域、值域等核心知识点，从概念辨析到创新应用，梯度合理，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数定义、定义域等单一概念|第1题函数定义辨析，第2题定义域求解，强化抽象能力| |中档层|值域求法、函数相等、综合运算|第10题定义域与函数求值综合，第14题值域多方法求解，培养推理能力| |提升层|创新应用、抽象问题|第11题“孪生函数”情境建模，第16题新定义运算，发展创新意识与模型意识|

§2　函数 2.1　函数概念 1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是（　　） A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 2.函数f（x）＝＋的定义域是（　　） A.[－1，＋∞）　　　 B.（－∞，－1] C.R　 D.[－1，1）∪（1，＋∞） 3.若函数f（x）＝ax2－1，a为一个正数，且f（f（－1））＝－1，那么a的值是（　　） A.1　 B.0 C.－1　 D.2 4.已知函数f（x）＝，则f（x）的值域是（　　） A.（－∞，］　 B.［，＋∞） C.（0，］　 D.（0，＋∞） 5.（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝x，g（x）＝ B.f（x）＝x，g（x）＝ C.f（x）＝x－1（x≠－1），g（x）＝ D.f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0 6.（多选）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（　　） A.f（x）＝｜x｜　　　　　 B.f（x）＝x－｜x｜ C.f（x）＝x＋1　 D.f（x）＝－x 7.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝　　　　. 8.函数y＝的定义域为　　　　. 9.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为　　　　. 10.已知函数f（x）＝＋. （1）求函数的定义域； （2）求f（－3），f （）的值； （3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值. 11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有（　　） A.10个　 B.9个 C.8个　 D.4个 12.（多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（　　） A.f（x）＝x－1，x∈[1，5] B.f（x）＝－x2＋4 C.f（x）＝ D.f（x）＝x＋－2（x＞0） 13.函数f（x）的定义域为（0，3），则函数y＝的定义域是　　　　. 14.试求下列函数的定义域与值域： （1）y＝（x－1）2＋1； （2）y＝； （3）y＝x－. 15.若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝f（2x）的定义域是（　　） A.[0，2]　 B.[0，1] C.[0，4]　 D.（0，1） 16.规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b（a，b为正实数）且1*k＝3. （1）求正整数k； （2）求函数y＝k*x的值域. 2.1　函数概念 1.A　按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.只有选项A符合函数定义. 2.D　由解得故定义域为[－1，1）∪（1，＋∞），故选D. 3.A　∵f（x）＝ax2－1，∴f（－1）＝a－1，f（f（－1））＝f（a－1）＝a·（a－1）2－1＝－1.∴a（a－1）2＝0.又∵a为正数，∴a＝1. 4.C　∵x2＋2≥2，∴0＜≤，∴f（x）的值域为（0，］.故选C. 5.AC　A中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，且g（x）＝＝x，是同一个函数；B中f（x）定义域是R，g（x）定义域是R，但g（x）＝｜x｜，不是同一个函数；C中f（x）定义域是{x｜x≠－1}，g（x）定义域是{x｜x≠－1}，且g（x）＝＝x－1（x≠－1），是同一个函数；D中f（x）定义域是R，g（x）定义域是{x｜x≠0}，不是同一个函数.故选A、C. 6.ABD　在A中，f（2x）＝｜2x｜＝2｜x｜，2f（x）＝2｜x｜，满足f（2x）＝2f（x）；在B中，f（2x）＝2x－｜2x｜＝2（x－｜x｜）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）；在C中，f（2x）＝2x＋1，2f（x）＝2（x＋1）＝2x＋2，不满足f（2x）＝2f（x）；在D中，f（2x）＝－2x＝2（－x）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）. 7.16　解析：因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16. 8.（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6]　解析：要使函数有意义，需满足即∴函数的定义域为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6]. 9.{－1，1，3，5，7}　解析：∵x＝1，2，3，4，5，且f（x）＝2x－3.∴f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}. 10.解：（1）使根式有意义的实数x的集合是{x｜x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x｜x≠－2}， 所以这个函数的定义域是{x｜x≥－3}∩{x｜x≠－2}＝{x｜x≥－3，且x≠－2}. （2）f（－3）＝＋＝－1； f （）＝＋＝＋＝＋. （3）因为a＞0，故f（a），f（a－1）有意义. f（a）＝＋； f（a－1）＝＋＝＋. 11.B　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”. 12.AC　x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C. 13.（－1，1）∪（1，2）　解析：函数f（x）的定义域为（0，3），对于函数y＝，有解得－1＜x＜2且x≠1.因此函数y＝的定义域为（－1，1）∪（1，2）. 14.解：（1）函数的定义域为R，因为（x－1）2＋1≥1，所以函数的值域为{y｜y≥1}. （2）函数的定义域是{x｜x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y｜y≠5}. （3）要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x｜x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1（t≥0），于是f（t）＝t2－1－t＝（t－）2－.又t≥0，故f（t）≥－.所以函数的值域是. 15.B　∵y＝f（x）的定义域是[0，2]，∴要使g（x）＝f（2x）有意义，需0≤2x≤2，即0≤x≤1. 16.解：（1）由已知得，1*k＝＋1＋k＝3， 解得＝1或＝－2（舍去），所以k＝1. （2）y＝k*x＝＋1＋x＝（＋）2＋（x＞0）， 令t＝，则y＝（t＋）2＋（t＞0），结合函数的图象（图略）， 可得y＞（0＋）2＋＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $