第七章 概率与统计的综合问题课件 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦概率与统计的综合问题，通过典型例题（如学生身高频率分布直方图、掷实心球测试数据）导入，从统计图表数据获取到古典概型、相互独立事件概率计算，构建统计与概率的知识脉络，以例题精析和通性通法总结为学习支架。 其亮点在于以现实情境（如空气污染指数监测、手机销量调查）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分步推理（如分层抽样计算、对立事件概率转化）发展数学思维，用数据列举和频率估计概率强化数学语言表达。帮助学生提升综合应用能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

培优课 概率与统计的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 古典概型与统计 【例1】　随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照 区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180）， [180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）求频率分布直方图中 x 的值及身高在170 cm以上的学生人数； 解：由频率分布直方图可知，5 x ＝1－5×（0.07＋0.04＋0.02 ＋0.01），得 x ＝0.06. 因此身高在170 cm以上的学生人数为100×（0.06×5＋0.04×5 ＋0.02×5）＝60. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）将身高在区间[170，175），[175，180），[180，185]内的学 生依次记为 A ， B ， C 三个组，用分层随机抽样的方法从三个组 中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数； 解： A ， B ， C 三组的人数分别为0.06×5×100＝30， 0.04×5×100＝20，0.02×5×100＝10. 因此应该从 A ， B ， C 三组中每组分别抽取30× ＝3（人）， 20× ＝2（人），10× ＝1（人）. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算 B 组 中至少有1人被抽中的概率. 解：在（2）的条件下，设 A 组的3名学生分别为 A1， A2， A3， B 组的2名学生分别为 B1， B2， C 组的1名学生为 C1，则从6名学 生中抽取2人可能出现的样本点共15个，分别为：（ A1， A2）， （ A1， A3），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， C1），（ A2， A3），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， C1），（ A3， B1）， （ A3， B2），（ A3， C1），（ B1， B2），（ B1， C1），（ B2， C1）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 其中 B 组的2名学生至少有1人被抽中包含的样本点有9个，分别 为：（ A1， B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2）， （ A3， B1），（ A3， B2），（ B1， B2），（ B1， C1），（ B2， C1）. 所以 B 组中至少有1人被抽中的概率为 ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 古典概型与统计综合问题的解题策略 　　该类问题需要利用统计中频率分布表或频率分布直方图等统计图 表获取相关的数据信息，再利用样本估计总体的统计思想，解决生活 实践情境下的实际问题.具体步骤如下： （1）分析题意，构建（古典概型）数字模型； （2）由统计图表获取样本数据； （3）求解该事件的样本空间及含有该事件的样本点数，求出该事件 的概率； （4）用样本事件的概率估计总体事件的概率，从而解决问题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某市2024年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要 污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75， 81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64， 79，86，85，75，71，49，45. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）作出频率分布表； 解：频率分布表如下： 分组 频数 频率 [41，51） 2 [51，61） 1 目录 数学·必修第一册（BSD） 分组 频数 频率 [61，71） 4 [71，81） 6 [81，91） 10 [91，101） 5 [101，111] 2 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）作出频率分布直方图； 解：频率分布直方图如图所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；污染 指数在51～100之间时，空气质量为良；污染指数在101～150之 间时，空气质量为轻度污染；污染指数在151～200之间时，空 气质量为中度污染.从30天中任意选取一天，则这天空气质量为 优或良的概率是多少？ 解：共有30天，污染指数在0～100之间的有28天，故所求概率 为 ＝ . 目录 数学·必修第一册（BSD） （4）请对该市的空气质量给出一个简短评价. 解：答对下述两条中的一条即可. ①由（3）知，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的 ， 说明该市空气质量基本良好. ②轻度污染有2天，占当月天数的 .污染指数在80以上的接近 轻度污染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17 天，占当月天数的 ，超过50%，说明该市空气质量有待进一 步改善. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 相互独立事件的概率与统计 【例2】　为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，得到频率分布直方图如图所示. 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球” 项目测试的人数； 解：由题意可知（0.2＋0.15＋0.075＋ a ＋0.025）×2＝1，解 得 a ＝0.05. 所以此次测试的总人数为 ＝40. 故此次参加“掷实心球”项目测试的人数为40. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若测试数据与成绩之间的关系如下表： 测试数据（单位：米） （0，6） [6，8） [8，12] 成绩 不合格 及格 优秀 根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意 选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率； 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设“从该市初二年级男生中任意选取一人，‘掷实心球’ 成绩为优秀”为事件 A . 由频率直方图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二 男生，成绩优秀的频率为（0.15＋0.05）×2＝0.4， 由频率估计概率得 P （ A ）＝0.4. 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）在（2）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定 两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实 心球”成绩为优秀的概率. 解：记事件 Ai ：第 i 名男生成绩优秀，其中 i ＝1，2.两人中恰有 一人成绩优秀可以表示为 A1 ＋ A2 ，由（2）知， P （ A1） ＝ P （ A2）＝0.4，则 P （ ）＝ P （ ）＝0.6， 因为 A1， 相互独立， A2， 相互独立， 目录 数学·必修第一册（BSD） 所以 P （ A1 ）＝ P （ A1） P （ ）＝0.24， P （ A2 ）＝ P （ A2） P （ ）＝0.24， 又因为 A1 ， A2 互斥， 所以 P （ A1 ＋ A2 ）＝ P （ A1 ）＋ P （ A2 ）＝0.48. 所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 相互独立事件与统计的综合问题的解题策略 （1）正难则反：灵活应用对立事件的概率关系（ P （ A ）＋ P （ ） ＝1）简化问题，是求解概率问题最常用的方法； （2）化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找 所求事件与已知事件之间的关系：“所求事件”分几类（考虑 加法公式转化为互斥事件）还是分几步组成（考虑乘法公式转 化为相互独立事件）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 10月1日，某品牌的两款新手机（记为 W 型号， T 型号）同时投放市 场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机 调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表： A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 若在10月1日当天，从 A ， B 这两个手机店售出的新款手机中各随机抽 取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机的概率. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：将从 A 手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲，从 B 手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙，设“甲手机为 T 型号手机”为事件 M1，“乙手机为 T 型号手机”为事件 M2， 依题意，有 P （ M1）＝ ＝ ， P （ M2）＝ ＝ ，且事件 M1， M2相互独立. 设“抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机”为事件 M ，则事件 M 的对立事件为 M1 M2，所以 P （ M ）＝1－ P （ M1 M2）＝1－ × ＝ ，即抽取的2部手机中至少有1部为 W 型号手机的概率为 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. . 已知事件A、事件B为独立随机事件，事件C表示为事件A、B至少有一件发生，则 = （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.  B.  C.  D.  目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　事件A,B为独立随机事件，事件C表示事件A,B至少有一个发生，则对立事件为事件A,B都不发生，即. 故答案为：C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多 人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福.某课外兴 趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕 刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2022年春节前，某兴趣 小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出，希望能抛出虎的图案朝上 （即虎的图案在最上面），两人各抛一次，则恰好出现一次虎的图 案朝上的概率为（　　） A. C. 　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　抛出一次恰好出现虎的图案朝上的概率为 ，出现其他 图案朝上的概率为 ，由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立，故 所求概率为 × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （2026春·广州期末）天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是（　　） A．0.2 B．0.48 C．0.52 D．0.92 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　设事件A表示甲地降雨，事件B表示乙地降雨， 因为P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，且事件A与事件B相互独立， 所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.48， 所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.6＋0.8－0.48＝0.92． 故选：D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通 电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是 （　　） A. C. 　 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　当开关合上时，电路畅通，即 A 至 B 畅通，且 B 至 C 畅 通，可求得 A 至 B 畅通的概率为1－ ×［1－（1－ ）×（1－ ）］＝ ， B 至 C 畅通的概率为1－ × ＝ ，所以电路畅通的概 率为 × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批 水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水 稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概 率为 ⁠. 解析：设事件 A 为水稻种子发芽，事件 B 为出芽后的幼苗成活， 则 P （ A ）＝0.8， P （ B ）＝0.9，所以这粒水稻种子能成长为幼 苗的概率为 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝0.8×0.9＝0.72. 0.72　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 7. 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层随机抽 样的方法从 A ， B ， C 三个区抽取7个工厂进行调查，已知 A ， B ， C 三个区分别有18，27，18个工厂. （1）求从 A ， B ， C 区分别抽取的工厂个数； 解：工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中 的个体数比为 ＝ ，所以从 A ， B ， C 三个区抽取的工厂 个数分别为2，3，2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求 这2个工厂中至少有1个来自 A 区的概率. 解：设 A1， A2为在 A 区抽得的2个工厂， B1， B2， B3为在 B 区抽得的3个工厂， C1， C2为在 C 区抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能出现的样本点有 （ A1， A2），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， B3），（ A1， C1），（ A1， C2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， B3），（ A2， C1），（ A2， C2），（ B1， B2），（ B1， B3），（ B1， C1），（ B1， C2），（ B2， B3），（ B2， C1），（ B2， C2），（ B3， C1），（ B3， C2），（ C1， C2），共有21个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 随机抽取的2个工厂至少有1个来自 A 区（记为事件 X ）的样 本点有（ A1， A2），（ A1， B1），（ A1， B2），（ A1， B3），（ A1， C1），（ A1， C2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ A2， B3），（ A2， C1），（ A2， C2），共有11个. 所以这2个工厂中至少有1个来自 A 区的概率为 P （ X ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $