第1章 微专题2 一元二次不等式中的恒成立、能成立问题（课件PPT）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

预备知识 微专题二　一元二次不等式中 的恒成立、能成立问题 第一章 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 D 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解析 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 B 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 解 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 谢谢观看 返回导航 高中数学 必修 第一册 (北)　 在一元二次不等式恒成立问题中，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 一、在R上的恒成立问题 [例1] (2025·贵阳高一月考)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2，若不等式y≥－2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 由y＝mx2＋(1－m)x＋m－2≥－2对一切实数x恒成立， 即mx2＋(1－m)x＋m≥0对一切实数x恒成立， 当m＝0时，x≥0，不满足题意； 当m≠0时，则满足解得m≥， 综上所述，实数m的取值范围为. 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 [练1](2025·广州高一检测)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是 (　　) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－2<a<1} D．{a|－1＜a<2} 当a－2＝0，即a＝2时，不等式－12<0恒成立，满足题意； 当a－2≠0时，由不等式解集为R得， 解得－1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 二、在给定区间上的恒成立问题 [例2] 已知函数y＝mx2－mx－1，若对于x∈{x|1≤x≤3}，y<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为 (　　) A．{m|m≤0} B．{m|0≤m<} C．{m|m<0，或0<m<} D．{m|m<} 由y<－m＋4，得m(x2－x＋1)<5， ∵1≤x≤3，∴1≤x2－x＋1≤7， ∴m(x2－x＋1)<5转化为m<， 又当x＝3时，取得最小值，∴m<， ∴实数m的取值范围是{m|m＜}，故选D. 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 若ax2＋bx＋c>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式ax2＋bx＋c>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). [练2](2025·绵阳高一检测)若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1，2)恒成立，则实数t的取值范围为 (　　) A．{t|t<2} B．{t|t>} C．{t|t≥1} D．{t|t≥} 因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1，2)恒成立， 所以t>＝x＋在区间(1，2)上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1，2)上单调递增， 且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<， 故实数t的取值范围是{t|t≥}． 三、不等式能成立或有解问题 [例3] 若存在实数2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为 (　　) A．{m|m＞13} B．{m|m＞5} C．{m|m＞4} D．{m|m＜13} 原式可化为m>x2－2x＋5，设y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，2≤x≤4，当x＝2时，ymin＝5，若∃2≤x≤4，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>ymin，∴m>5.故选B. 解不等式能成立问题的策略 解不等式能成立问题一般是转化为代数式的最值，即m＞ax2＋bx＋c能成立⇒m＞(ax2＋bx＋c)min；m≤ax2＋bx＋c能成立⇒m≤(ax2＋bx＋c)max. [练3] 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴m的取值范围为{m|m≥－2}． $$