第十三章三角形单元拔高训练2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过基础辨析、性质应用及推理证明的层级设计，系统整合三边关系、内角和、特殊线段等知识，渗透分类讨论、辅助线添加等思想方法，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|7题（选择1-6、12，填空13）|三角形三边关系、中线定义、重心性质|从边的关系（三边关系）到特殊线段（中线），构建概念认知基础| |性质应用|9题（选择7-11，填空14-17，解答19）|内角和定理、外角性质、面积转化（中点）|由角的性质（内角和、外角）延伸至几何量计算（高、面积），形成性质应用链| |推理证明|5题（解答20-23）|辅助线添加（延长线）、分类讨论（等腰三角形）|通过全等、等腰三角形等综合问题，强化逻辑推理与模型意识|

第十三章三角形单元拔高训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 2．同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．小阳有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框，那新选的木条的长度可以为（     ） A． B． C． D． 5．若是的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．平分 D． 6．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点 ②在三角形中，如果两个角的和等于，那么这个三角形是直角三角形 ③三角形的一个外角大于任何一个内角 ④在中，当时，这个三角形是直角三角形 A．个 B．个 C．个 D．个 9．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 证明：延长交 ※ 于点， 因为， 所以 ◎ ． 又，得 ▲ ， 故．（ @ 相等，两直线平行） 则回答正确的是（   ） A．◎代表 B．@代表同位角 C．※代表 D．▲代表 10．在中，，，若的长为整数，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 12．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 二、填空题 13．等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是______． 14．在中，是边上的高，若，，则的长为________． 15．如图，在中，，是边上的高，点E，F，G分别是，，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是________．    16．如图，直线，点A在直线a上，在中，，，，则的度数为_____． 17．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 18．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是______． ①的面积等于的面积；②；③． 三、解答题 19．如图，在中，E是中线的中点，的面积是1，求的面积． 20．如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 21．已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 22．如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高． (1)在图中将图形补充完整； (2)当，时，求的度数． 23．画出图中三角形的三条高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章三角形单元拔高训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A D D B D B 题号 11 12 答案 D B 1．D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x， 则，即， 四个选项中只有9符合条件． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查三角形的三边关系，设第三根小木条的长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到x的取值范围，根据选项中所给长度选求解即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， 根据题意，得，则， 根据选项中数据，选项A中的符合题意， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了三角形的内容和定理，已知三角形的两个角，利用三角形内角和为求出第三个角是否为即可． 【详解】解：第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意； 第三个角的度数是，是直角三角形，故选项符合题意； 第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意； 第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：． 4．C 【分析】设新选木条的长度为，根据三边关系求出，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设新选木条的长度为，根据三角形三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∵已有两边长度分别为和， ∴， 化简得， 对比选项，只有满足该范围． 5．A 【分析】本题主要考查三角形的中线的概念及性质，掌握三角形的中线的概念及性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴平分 ， ∴，， 是的中线不能得出，故A符合题意． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 先计算出另外两边之和，再根据三角形任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：A．若三角形的一边长为4，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； B．若三角形的一边长为5，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； C．若三角形的一边长为6，则三角形另外两边之和为：，能构成三角形，故本选项不符合题意； D．若三角形的一边长为7，则三角形另外两边之和为：，不能构成三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线．根据三角形高线的性质可判断①，根据直角三角形的定义可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，结合三角形内角和定理可判断④，进而可求解． 【详解】解：①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，故①的说法错误； ②在三角形中，如果两个角的和等于，那么这个三角形是直角三角形，故②的说法正确； ③三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故③的说法错误； ④在中，当时，则，，，则这个三角形是直角三角形，故④的说法正确． 故正确的个数有个． 故选：B． 9．D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形外角性质，利用三角形外角的性质、邻补角的概念、等量代换及平行线的判定求解可得． 【详解】证明：延长交于点， 因为， 所以． 又，得， 故．（内错角相等，两直线平行） 所以※代表，C选项错误，◎代表，A选项错误，▲代表，D选项正确，@代表内错角，B选项错误， 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合为整数即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，三角形三边关系为两边之差小于第三边，两边之和大于第三边， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵的长为整数， ∴， 故选：． 11．D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 12．B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 13．29 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①因为等腰三角形，当腰为12时，，，所以能构成三角形，周长是：． ②当腰为5时，，所以不能构成三角形；不满足三边关系，舍掉． 故答案为：29． 14．或 【分析】分为点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别计算的长度，即可求解． 【详解】解：是边上的高，分两种情况讨论： 当点在线段上时，； 当点在的延长线上时， ； 综上，的长为或． 15．15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形中线将三角形的面积分为相等的两部分．先根据等腰三角形性质得出，和的面积相等，然后根据中线的性质得出图中阴影部分中三角形的面积，据此作答即可． 【详解】解：∵中，，是边上的高， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴图中阴影部分的面积为： ． 故答案为：15． 16．/40度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可得的度数，进一步可得的度数，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ，， ， ， ， 直线， ， 故答案为：． 17．1 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 18．①②③ 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 19． 【分析】本题考查三角形的中线．根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：作于点H， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴同理可得． 20．(1)5，3 (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 21．(1)见解析 (2)①见解析；②或 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 22．(1) 如图所示： (2) 【分析】（1）根据高的定义补充图形； （2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，平分， ， 是边上的高， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键． 23．见解析 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键，自三角形的顶点向对边 作垂线，顶点与垂足之间的线段即为三角形的高． 【详解】解：如图线段即为的三条高． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $