培优专题01 与三角形相关的线段5考点18题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线段核心考点，以"考点-题型-典例"三层架构系统覆盖三边关系、高线、中线、角平分线及综合应用，突出解题方法与知识逻辑的递进关联。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形三边关系|4题型16题|重构成条件与绝对值化简，高频第三边取值|从基本性质到综合应用，结合方程与几何直观| |三角形高线|6题型24题|重作图与面积法，难最值与边比计算|从作图技能到面积转化，渗透数形结合思想| |三角形中线|3题型16题|高频长度与面积计算，重重心性质|围绕中点性质展开，构建面积等量关系| |角平分线|2题型8题|重性质应用，综合三线交叉问题|结合角平分线性质与面积法，强化综合推理| |综合问题|3题型12题|难坐标结合与新定义问题|整合线段知识，培养创新意识与模型观念|

专题01 与三角形相关的线段 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 题型1 构成三角形的条件（重） 题型2 确定第三边的取值范围（高频） 题型3 三角形三边关系的应用 题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合（重） 考点二 三角形的高线 题型1 画三角形的高（重） 题型2 面积法（高频） 题型3 面积法中的整体求值（重） 题型4 根据三角形的高线求最值 题型5 由三角形中的边比推导计算（难） 题型6 三角形高线的综合计算（难） 考点三 三角形的中线 题型1 根据三角形的中线求长度（高频） 题型2 根据三角形的中线求面积（高频） 题型3 重心的概念与性质（重） 考点四 三角形的角平分线 题型1 三角形角平分线性质的应用（重） 题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 考点五 三角形线段有关的综合问题 题型1 三角形有关的线段与坐标结合（难） 题型2 三角形有关线段中的面积计算综合（难） 题型3 三角形有关线段的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 ◆题型1 构成三角形的条件 1． 【答案】C 2． 【答案】C 3． 【答案】4 4． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． ◆题型2 确定第三边的取值范围 5． 【答案】C 6． 【答案】3 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 解题时首先求出的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，最后取整，看有几种情况，即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 将代入得:， 解得:， 将代入得:， 解得：， ∴方程组的解. ∵的两边是方程组的解， ∴第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：． ∴这样的三角形有个． 故答案为：． 7． 【答案】26 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得确定a的所有可能取值，最后求和即可． 【详解】解：∵三边长分别为（为整数）， ∴，即， ∵关于x的不等式组无解， ∴整理得无解，则，解得：， ∴ ∴a的值为5，6，7，8， ∴满足所有条件的a的和为：． 故答案为26． 8． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． ◆题型3 三角形三边关系的应用 9． 【答案】C 10． 【答案】9 11． 【答案】(1) (2)周长为或 12． 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． ◆题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合 13． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 14． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 15． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 16． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 考点二 三角形的高线 ◆题型1 画三角形的高 17． 【答案】C 18． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 19． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）解：如图所示，点为所作； 20． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析； (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点A到的距离是线段的长． （2）解：如图，即为所求． （3）解：∵， ∴点E到的距离与点F到的距离相等， ∴， 即与面积相等的三角形是． ◆题型2 面积法 21． 【答案】B 22． 【答案】B 23． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 24． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． ◆题型3 面积法中的整体求值 25． 【答案】C 26． 【答案】D 27． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 28． 【答案】(1) (2)或者，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据列式化简，可得，代入数据进行计算即可； （2）分类讨论，当点P在线段上时，由（1）已证得；当点P在线段的延长线上时，根据列式化简可得． 【详解】（1）解：，，， ， 即． ， ． ，， ； （2）解：或者．理由如下： 当点P在线段上时， 由（1）已证得； 当点P在线段的延长线上时， 如图， ， 即． ， ． 综上所述，或者． ◆题型4 根据三角形的高线求最值 29． 【答案】B 30． 【答案】 【分析】先求出的面积，根据垂线段最短可得当时，有最小值，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴； ∵为上一动点， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∵， ∴此时，即的最小值为． 31． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 32． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． ◆题型5 由三角形中的边比推导计算 33． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 34． 【答案】 【分析】（1）根据题意，设点到的高为，结合面积公式的计算得到的面积与的面积的比值为； （2）根据题意得到，分别算出的面积得到，如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M，由面积的计算得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）的延长线分别交线段，于点G，D，， 设点到的高为， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积的比值为； （2）∵，，，和四边形的面积都相等， ∴， 解得，， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点F到的高为， ∴， ∴ ． 35． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 36． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． ◆题型6 三角形高线的综合计算 37． 【答案】D 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 38． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键． 根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得，再运用等量代换即可判断②；先说明，再结合角平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可计算即可解答． 【详解】解：∵是中线， ， ∴的面积等于的面积，即①正确； ∵ ，是高， ∴ ， ∵是角平分线， ∴ ， ， 又 ， ∴ ，故②正确； ， ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，解得：．故④正确． 综上，正确的有4个． 故选：D． 39． 【答案】①②④ 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 40． 【答案】①②③④ 【分析】根据平移的性质，即可判断①正确；②根据平行的性质进行求解即可；③根据平移的性质，进行求解即可；④先求出，根据，，即可得出答案． 【详解】解：①∵三角形平移得到三角形， ∴，故①正确； ②过点O作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据平移可得：，， ∴阴影部分的周长为： ，故③正确； ④过点A作于点N，如图所示： ∵， ∴， 当时，， ，， ∴， ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 考点三 三角形的中线 ◆题型1 根据三角形的中线求长度 41． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 42． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 43． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 44 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． ◆题型2 根据三角形的中线求面积 45． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46． 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 47． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，设两个小三角形面积为未知数，根据中线平分三角形面积的性质列出二元一次方程组，解方程组后将两个未知数相加得到四边形面积． （2）连接，设两个基础小三角形面积为未知数，根据线段比例推出同高三角形的面积倍数关系，结合总面积列出二元一次方程组，求出未知数后代入计算的面积． 【详解】（1）解：连接， 设，则， 由题意，得， 可列方程组 解得， ∴． （2）解：如图，连接 设， 解得 48． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 重心的概念与性质 49． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 51． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 52． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为． 考点四 三角形的角平分线 ◆题型1 三角形角平分线性质的应用 53． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 54． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 55． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 56． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． ◆题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 57． 【答案】 【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与面积的比例，再结合四边形面积为建立等式，进而求出的面积． 【详解】解：连接，四边形可拆分为和， 设的面积为， 点是的中点， ， ∵和等高 ， 是上靠近的三等分点， ， 和等高， ， ，， ， 和等高， ， ∵， ， 解得：． 58． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 59． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 60． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 考点五 三角形线段有关的综合问题 ◆题型1 三角形有关的线段与坐标结合 61． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据非负性求出的值即可； （2）设将线段向右平移个单位，则，，根据三角形的中线平分面积，得到是中点，根据中点坐标公式求出的值，即可得出结果； （3）根据垂线段最短，得到当时，的长度最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， （2）解：由（1）可知，， 设将线段向右平移个单位，则，， ∵三角形与三角形面积相等， ∴是中点， ∵点在轴上， 故其横坐标为0， ∴ 解得， ∴，； （3）解：过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 则轴， 当时，此时的长度最短， 由（2）知：，； ∴，，， ∴， ∴. 62． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）先根据三角形面积公式求出x、y的值，再根据点所在象限作答即可； （3）①根据直线的定义求出，，进而根据割补法计算即可； ②设，根据三角形面积公式求出，可知，根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵C在线段上， ∴此时C在第三象限，如图所示， ∵， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵C在第三象限， ∴； （3）解：①∵T为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设， ∵将向右平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点T到两坐标轴的距离相等，且点T在第一象限内， ∴，即， ∵点T为线段的中点， ∴，， ∴，， ∴． 63． 【答案】(1)；4；1；1 (2)①3；②；. (3)或. 【分析】（1）根据非负性进行求解即可； （2）①分割法求面积即可；②等积法求出的长，进而求出的坐标； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴， ∴， 画图略； （2）解：①作轴，轴， 由（1）知：； ∴， ∴ ∴的面积； ②∵的面积， ∴， ∴； ∵的面积， ∴， ∴， ∴. （3）解：当点在线段上，即，且时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，满足要求； 当点在线段的延长线上，即，且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，满足题意； 综上：或. 64． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)点的横坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，轴，点到的距离为，代入三角形的面积公式计算即可； （2）由，可得，即可求解； （3）由已知可得，点不可能在线段的延长线上，按照点在线段上、点在线段的延长线上，进行分类讨论，分别计算点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴点到的距离为， ∴三角形的面积为． （2）． 理由如下： ∵轴 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴点不可能在线段的延长线上， ∴当在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， 当在线段的延长线上时，如图， ∵ ∴； 解得， ∴， 解得， ∴点的横坐标为或． ◆题型2 三角形有关线段中的面积计算综合 65． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点H．结合三角形的面积公式证明即可； （2）连接，由，得出的面积为4，再结合，计算即可得出结果； （3）连接，，，．先证明，，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 66． 【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 67． 【答案】 （1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②略 （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 68． 【答案】（1）①； ②如图2， （2）①； ②； （3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： ◆题型3 三角形有关线段的新定义问题 69． 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 70． 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 71． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 72． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 2． 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 3． 【答案】A 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 4． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 5． 【答案】B 【分析】利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步推导各部分三角形的面积． 【详解】解：连接． ∵ 是的中线， ∴． ∴，即：． ∵， ∴． ∵ 是的中点， ∴． ∵ 是的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线与面积的关系，解题关键是多次利用“中线分三角形为面积相等的两部分”这一性质，逐步缩小面积范围，最终得到目标三角形的面积． 6． 【答案】 12 【分析】先根据D是的中点，得出和面积相等，求出的面积；然后根据，利用等高三角形面积比等于底边比，求出的面积． 【详解】解：∵D是的中点， ， ， ∵点E在上，且， ， 和的高相等，均为点C到的距离， ， ． 7． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 8． 【答案】4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 9． 【答案】 【分析】连接，设，根据中线平分三角形面积得和的面积均为面积的一半．由的线段比例关系，可得到的面积与面积的比例关系．由，，，，得，解得，即得． 【详解】解：连接，设， ∵是边上的中线，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 联立， 解得， ∴． 10． 【答案】 【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 11． 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 12． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 13． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 14． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)20 (4)12 【分析】本题考查三角形的综合应用，包括三角形中线的性质，重心的性质，以及三角形面积的计算，解决本题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，重心的性质． （1）根据三角形中线的性质可得面积相等，即，，，再根据面积关系证明即可． （2）根据（1）中结论可得，再由高相同即可求解． （3）根据（2）中结论可得，再由，，即可求解边长，根据三角形面积可求解的面积，再由（2）中的结论即可求解四边形的面积． （3）由重心的性质得；，作于点H，则当时，取得最大值，进而可求出面积的最大值． 【详解】（1）证明：猜想，证明如下： 由题意可知，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵与同高记作h， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． （3）解：由（2）可得， ∵，， ∴；； ∵， ∴， ∴， ∴四边形． （4）解：过点A作于点H，如图， ∵中线，中线， 且， ∴；， ∴， ∵， 所有当时，取得最大值为4， 由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴的最大值为， 的最大值为， 则面积的最大值为． 故答案为：12． 15． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)0.9或2.4或3.6或5.6 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）分为的面积与的面积是或，进一步得出结果； （4）分为点P在上，点P在上和点P在上．当点P在上时，P点运动距离是；当点P在上时，点P运动的距离是4.8或7.2，当点P在上时，可得，从而得出点P运动距离是，进一步求得结果． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述：或； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 当点P在上时，， ∴， 综上所述：或2.4或3.6或5.6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形相关的线段 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 题型1 构成三角形的条件（重） 题型2 确定第三边的取值范围（高频） 题型3 三角形三边关系的应用 题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合（重） 考点二 三角形的高线 题型1 画三角形的高（重） 题型2 面积法（高频） 题型3 面积法中的整体求值（重） 题型4 根据三角形的高线求最值 题型5 由三角形中的边比推导计算（难） 题型6 三角形高线的综合计算（难） 考点三 三角形的中线 题型1 根据三角形的中线求长度（高频） 题型2 根据三角形的中线求面积（高频） 题型3 重心的概念与性质（重） 考点四 三角形的角平分线 题型1 三角形角平分线性质的应用（重） 题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 考点五 三角形线段有关的综合问题 题型1 三角形有关的线段与坐标结合（难） 题型2 三角形有关线段中的面积计算综合（难） 题型3 三角形有关线段的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 ◆题型1 构成三角形的条件 1．（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，， 根据三角形三边关系得 ，即 ， 三角形周长为奇数，周长为 ，且是奇数， 必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数， 边长为正整数， 符合条件的为，共个， 满足条件的三角形个数为个． 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． ◆题型2 确定第三边的取值范围 5．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用三角形大角对大边的性质和三角形三边关系，求出边长a的取值范围，再结合选项得到答案． 【详解】解：∵在中，是最大内角，对的边为， ∴根据大角对大边，可得是最长边， 又∵，，， ∴， 三角形任意两边之和大于第三边， ， 的取值范围为，选项中只有C选项6符合该范围． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 解题时首先求出的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，最后取整，看有几种情况，即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 将代入得:， 解得:， 将代入得:， 解得：， ∴方程组的解. ∵的两边是方程组的解， ∴第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：． ∴这样的三角形有个． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）已知的三边长分别为（为整数），且关于的不等式组无解，则满足条件的的和为________． 【答案】26 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得确定a的所有可能取值，最后求和即可． 【详解】解：∵三边长分别为（为整数）， ∴，即， ∵关于x的不等式组无解， ∴整理得无解，则，解得：， ∴ ∴a的值为5，6，7，8， ∴满足所有条件的a的和为：． 故答案为26． 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． ◆题型3 三角形三边关系的应用 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系即可解答． 【详解】解：在 中，由三角形的三边关系可知： ， ，即 ， 观察各选项，只有 在此范围内． 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 【答案】9 【分析】三角形周长为，将三个已知等式左右分别相加，可得到，整体除以2即可直接求出周长，无需单独解出、、． 【详解】解：由题意列方程组： ， 将三式左右两边分别相加： ， 整理得： ， 提取公因数： ， 等式两边同时除以： ， 三角形周长为三边长度之和，因此该三角形周长为． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】(1) (2)周长为或 【分析】（1）根据三角形的三边关系，得出第三边的取值范围，再结合整数得到第三边的可能取值，即可得解； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：一个三角形的两边，， 第三边的取值范围为，即， 各边均为整数， 第三边的可能取值为2、3、4、5、6， 可以组成5个不同的三角形． （2）解：当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 当等腰三角形的腰长为，底边为时，满足三角形的三边关系，可以组成三角形， 此时周长为； 综上可知，等腰三角形的周长为或． 12．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． ◆题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合 13．（25-26八年级上·全国·期末）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 14．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，的值分别为13，13，7 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 16．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 考点二 三角形的高线 ◆题型1 画三角形的高 17．（25-26八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 18．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 19．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）解：如图所示，点为所作； 20．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． 【答案】(1)图见解析，； (2)见解析； (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． 点A到的距离是线段的长． （2）解：如图，即为所求． （3）解：∵， ∴点E到的距离与点F到的距离相等， ∴， 即与面积相等的三角形是． ◆题型2 面积法 21．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 22．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 23．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 24．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． ◆题型3 面积法中的整体求值 25．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 26．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 27．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或者，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据列式化简，可得，代入数据进行计算即可； （2）分类讨论，当点P在线段上时，由（1）已证得；当点P在线段的延长线上时，根据列式化简可得． 【详解】（1）解：，，， ， 即． ， ． ，， ； （2）解：或者．理由如下： 当点P在线段上时， 由（1）已证得； 当点P在线段的延长线上时， 如图， ， 即． ， ． 综上所述，或者． ◆题型4 根据三角形的高线求最值 29．（25-26七年级下·广西河池·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】B 【分析】根据垂线段最短得出，当时，线段最小，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：根据题意，当时，线段最小， ∵， ∴． 30．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出的面积，根据垂线段最短可得当时，有最小值，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴； ∵为上一动点， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∵， ∴此时，即的最小值为． 31．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 32．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． ◆题型5 由三角形中的边比推导计算 33．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 34．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意，设点到的高为，结合面积公式的计算得到的面积与的面积的比值为； （2）根据题意得到，分别算出的面积得到，如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M，由面积的计算得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）的延长线分别交线段，于点G，D，， 设点到的高为， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积的比值为； （2）∵，，，和四边形的面积都相等， ∴， 解得，， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， 如图所示，连接，过点作延长线于点，过点作于点，过点D作于点M， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点F到的高为， ∴， ∴ ． 35．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 36．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． ◆题型6 三角形高线的综合计算 37．（2026·河南周口·二模）如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 38．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交AD于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线、三角形的面积公式等知识点，根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系是解题的关键． 根据三角形的中线的性质即可判断①；根据直角三角形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得，再运用等量代换即可判断②；先说明，再结合角平分线的定义即可判断③；直接运用三角形的面积公式可计算即可解答． 【详解】解：∵是中线， ， ∴的面积等于的面积，即①正确； ∵ ，是高， ∴ ， ∵是角平分线， ∴ ， ， 又 ， ∴ ，故②正确； ， ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，解得：．故④正确． 综上，正确的有4个． 故选：D． 39．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 40．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据平移的性质，即可判断①正确；②根据平行的性质进行求解即可；③根据平移的性质，进行求解即可；④先求出，根据，，即可得出答案． 【详解】解：①∵三角形平移得到三角形， ∴，故①正确； ②过点O作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③根据平移可得：，， ∴阴影部分的周长为： ，故③正确； ④过点A作于点N，如图所示： ∵， ∴， 当时，， ，， ∴， ， ∴ ，故④正确； 综上，正确的有①②③④． 考点三 三角形的中线 ◆题型1 根据三角形的中线求长度 41．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 42．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 43．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 44．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． ◆题型2 根据三角形的中线求面积 45．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 47．（25-26七年级下·山西长治·期末）阅读材料： 如图1，已知的面积为，、边上的中线、相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，则， 由题意，得， 可列方程组 ．．．．．． 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为____________； (2)如图2，已知的面积为相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，设两个小三角形面积为未知数，根据中线平分三角形面积的性质列出二元一次方程组，解方程组后将两个未知数相加得到四边形面积． （2）连接，设两个基础小三角形面积为未知数，根据线段比例推出同高三角形的面积倍数关系，结合总面积列出二元一次方程组，求出未知数后代入计算的面积． 【详解】（1）解：连接， 设，则， 由题意，得， 可列方程组 解得， ∴． （2）解：如图，连接 设， 解得 48．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 重心的概念与性质 49．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 51．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）由（1）中的结论即可得出． 【详解】解：（1）， 由题意可知，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，，， ∴的面积为， 故答案为；； （3）由（1）知，， ∵与等高， ∴，即． 52．（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为． 考点四 三角形的角平分线 ◆题型1 三角形角平分线性质的应用 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故选：B． 54．（25-26八年级上·山东泰安·开学考试）如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 55．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 56．（专题01三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版））图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． ◆题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 57．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与面积的比例，再结合四边形面积为建立等式，进而求出的面积． 【详解】解：连接，四边形可拆分为和， 设的面积为， 点是的中点， ， ∵和等高 ， 是上靠近的三等分点， ， 和等高， ， ，， ， 和等高， ， ∵， ， 解得：． 58．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 59．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 60．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 考点五 三角形线段有关的综合问题 ◆题型1 三角形有关的线段与坐标结合 61．（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据非负性求出的值即可； （2）设将线段向右平移个单位，则，，根据三角形的中线平分面积，得到是中点，根据中点坐标公式求出的值，即可得出结果； （3）根据垂线段最短，得到当时，的长度最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， （2）解：由（1）可知，， 设将线段向右平移个单位，则，， ∵三角形与三角形面积相等， ∴是中点， ∵点在轴上， 故其横坐标为0， ∴ 解得， ∴，； （3）解：过点作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 则轴， 当时，此时的长度最短， 由（2）知：，； ∴，，， ∴， ∴. 62．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足：． (1)直接写出点的坐标：______，______； (2)在图1中，点为线段上的一点，且满足，求点的坐标； (3)定义：平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，则点为线段的中点．如图2，点是第一象限一点，点为线段的中点，且点在第一象限内，将向右平移1个单位得到点，使． ①求的面积； ②若点到两坐标轴的距离相等，求此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）先根据三角形面积公式求出x、y的值，再根据点所在象限作答即可； （3）①根据直线的定义求出，，进而根据割补法计算即可； ②设，根据三角形面积公式求出，可知，根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵C在线段上， ∴此时C在第三象限，如图所示， ∵， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵C在第三象限， ∴； （3）解：①∵T为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设， ∵将向右平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点T到两坐标轴的距离相等，且点T在第一象限内， ∴，即， ∵点T为线段的中点， ∴，， ∴，， ∴． 63．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 【答案】(1)；4；1；1 (2)①3；②；. (3)或. 【分析】（1）根据非负性进行求解即可； （2）①分割法求面积即可；②等积法求出的长，进而求出的坐标； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴， ∴， 画图略； （2）解：①作轴，轴， 由（1）知：； ∴， ∴ ∴的面积； ②∵的面积， ∴， ∴； ∵的面积， ∴， ∴， ∴. （3）解：当点在线段上，即，且时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，满足要求； 当点在线段的延长线上，即，且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，满足题意； 综上：或. 64．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)点的横坐标为或． 【分析】（1）由已知可得，轴，点到的距离为，代入三角形的面积公式计算即可； （2）由，可得，即可求解； （3）由已知可得，点不可能在线段的延长线上，按照点在线段上、点在线段的延长线上，进行分类讨论，分别计算点的横坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴点到的距离为， ∴三角形的面积为． （2）． 理由如下： ∵轴 ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴点不可能在线段的延长线上， ∴当在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， 解得， 当在线段的延长线上时，如图， ∵ ∴； 解得， ∴， 解得， ∴点的横坐标为或． ◆题型2 三角形有关线段中的面积计算综合 65．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点C作于点H．结合三角形的面积公式证明即可； （2）连接，由，得出的面积为4，再结合，计算即可得出结果； （3）连接，，，．先证明，，，，再结合，计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点C作于点H． ∵，， ∴； （2）解：连接． ∵的面积为1，， ∴的面积为4， ∵， ∴的面积； （3）解：连接，，，． ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 66．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 67．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【答案】 （1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②略 （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， ， 解得． 故答案为：27． 68．（25-26七年级下·山东聊城·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①； ②如图2， （2）①； ②； （3）． 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高； （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②与，之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即； （3）连接，如图5所示： 是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即：， 解得：， ． 故答案为： ◆题型3 三角形有关线段的新定义问题 69．（25-26七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则______．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 70．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 71．（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 72．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（   ） A．4.8 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质，逐步推导各部分三角形的面积． 【详解】解：连接． ∵ 是的中线， ∴． ∴，即：． ∵， ∴． ∵ 是的中点， ∴． ∵ 是的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线与面积的关系，解题关键是多次利用“中线分三角形为面积相等的两部分”这一性质，逐步缩小面积范围，最终得到目标三角形的面积． 6．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________． 【答案】 12 【分析】先根据D是的中点，得出和面积相等，求出的面积；然后根据，利用等高三角形面积比等于底边比，求出的面积． 【详解】解：∵D是的中点， ， ， ∵点E在上，且， ， 和的高相等，均为点C到的距离， ， ． 7．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 【答案】4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是边上的中线，点在线段上且，线段与线段交于点，的面积 为20，则的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，设，根据中线平分三角形面积得和的面积均为面积的一半．由的线段比例关系，可得到的面积与面积的比例关系．由，，，，得，解得，即得． 【详解】解：连接，设， ∵是边上的中线，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 联立， 解得， ∴． 10．（2026·安徽马鞍山·三模）已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】 【分析】(1) 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； (2) 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 12．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 13．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_______． (3)图4中，G是的重心，点D、E在的边、上，、交于点G，，，，求四边形的面积． (4)已知的中线，中线，则面积的最大值为________． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)20 (4)12 【分析】本题考查三角形的综合应用，包括三角形中线的性质，重心的性质，以及三角形面积的计算，解决本题的关键是熟练掌握三角形中线的性质，重心的性质． （1）根据三角形中线的性质可得面积相等，即，，，再根据面积关系证明即可． （2）根据（1）中结论可得，再由高相同即可求解． （3）根据（2）中结论可得，再由，，即可求解边长，根据三角形面积可求解的面积，再由（2）中的结论即可求解四边形的面积． （3）由重心的性质得；，作于点H，则当时，取得最大值，进而可求出面积的最大值． 【详解】（1）证明：猜想，证明如下： 由题意可知，，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵与同高记作h， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． （3）解：由（2）可得， ∵，， ∴；； ∵， ∴， ∴， ∴四边形． （4）解：过点A作于点H，如图， ∵中线，中线， 且， ∴；， ∴， ∵， 所有当时，取得最大值为4， 由（1）知，被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴的最大值为， 的最大值为， 则面积的最大值为． 故答案为：12． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 (4)0.9或2.4或3.6或5.6 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）分为的面积与的面积是或，进一步得出结果； （4）分为点P在上，点P在上和点P在上．当点P在上时，P点运动距离是；当点P在上时，点P运动的距离是4.8或7.2，当点P在上时，可得，从而得出点P运动距离是，进一步求得结果． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 综上所述：或； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 当点P在上时，， ∴， 综上所述：或2.4或3.6或5.6． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与三角形相关的线段 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 题型1 构成三角形的条件（重） 题型2 确定第三边的取值范围（高频） 题型3 三角形三边关系的应用 题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合（重） 考点二 三角形的高线 题型1 画三角形的高（重） 题型2 面积法（高频） 题型3 面积法中的整体求值（重） 题型4 根据三角形的高线求最值 题型5 由三角形中的边比推导计算（难） 题型6 三角形高线的综合计算（难） 考点三 三角形的中线 题型1 根据三角形的中线求长度（高频） 题型2 根据三角形的中线求面积（高频） 题型3 重心的概念与性质（重） 考点四 三角形的角平分线 题型1 三角形角平分线性质的应用（重） 题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 考点五 三角形线段有关的综合问题 题型1 三角形有关的线段与坐标结合（难） 题型2 三角形有关线段中的面积计算综合（难） 题型3 三角形有关线段的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 三角形的三边关系 ◆题型1 构成三角形的条件 1．（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（     ）． A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个 3．（25-26七年级下·福建福州·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 4．（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． ◆题型2 确定第三边的取值范围 5．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知中，是最大内角，其三边长分别为，，， 那么a的值可能是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有________个． 7．（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）已知的三边长分别为（为整数），且关于的不等式组无解，则满足条件的的和为________． 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． ◆题型3 三角形三边关系的应用 9．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，小亮在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的长可能是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 11．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）一个三角形的两边，． (1)当各边均为整数时，可以组成 个不同的三角形． (2)若此三角形是等腰三角形，求其周长． 12．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ ◆题型4 三角形三边关系与绝对值化简结合 13．（25-26八年级上·全国·期末）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 14．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 15．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 16．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 考点二 三角形的高线 ◆题型1 画三角形的高 17．（25-26八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 18．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 19．（25-26九年级下·江西九江·阶段检测）如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 20．（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． ◆题型2 面积法 21．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 22．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 24．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． ◆题型3 面积法中的整体求值 25．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 26．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 28．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． ◆题型4 根据三角形的高线求最值 29．（25-26七年级下·广西河池·期末）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（     ） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 30．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 31．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 32．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． ◆题型5 由三角形中的边比推导计算 33．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 34．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点E，F在内，，，和四边形的面积都相等，的延长线分别交线段，于点G，D，． （1）的面积与的面积的比值为_______． （2）若的面积为364，则的面积是_______． 35．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 36．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． ◆题型6 三角形高线的综合计算 37．（2026·河南周口·二模）如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 38．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交AD于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 40．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，，，三角形以每秒的速度沿方向平移t秒，得到三角形，与相交于点O，连接．则下列结论：①；②；③阴影部分的周长为；④当时，三角形与三角形的面积的差为．其中正确的结论是_________（填序号）． 考点三 三角形的中线 ◆题型1 根据三角形的中线求长度 41．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 42．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 44．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． ◆题型2 根据三角形的中线求面积 45．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 47．（25-26七年级下·山西长治·期末）阅读材料： 如图1，已知的面积为，、边上的中线、相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，则， 由题意，得， 可列方程组 ．．．．．． 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为____________； (2)如图2，已知的面积为相交于点，求的面积． 48．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． ◆题型3 重心的概念与性质 49．（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 50．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 51．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究 问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． 探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，． 猜想证明： （1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 拓展延伸： （2）如图2，在中，若，则的面积为________； （3）在图2中，求的值． 52．（25-26八年级上·北京海淀·期中）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 考点四 三角形的角平分线 ◆题型1 三角形角平分线性质的应用 53．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 54．（25-26八年级上·山东泰安·开学考试）如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 55．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 56．（专题01三角形模型应用、构造与综合（考题猜想，6种热考模型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版））图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． ◆题型2 三角形中线、角平分线、高线的综合 57．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 58．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 59．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 60．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 考点五 三角形线段有关的综合问题 ◆题型1 三角形有关的线段与坐标结合 61．（25-26七年级下·河南周口·期末）根据要求完成下列小题； 【提示：在平面直角坐标系中，若两点，，线段的中点是，则点的坐标为】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，且满足如下等式，直接写出____________，____________． (2)将线段向右平移若干个单位，对应点依次为、，线段与轴交于点．若三角形与三角形面积相等，求点、的坐标． (3)在（2）问的条件下，动点在过点且垂直于轴的直线上左右移动，当线段长度最短时，求此时三角形的面积． 62．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足：． (1)直接写出点的坐标：______，______； (2)在图1中，点为线段上的一点，且满足，求点的坐标； (3)定义：平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，则点为线段的中点．如图2，点是第一象限一点，点为线段的中点，且点在第一象限内，将向右平移1个单位得到点，使． ①求的面积； ②若点到两坐标轴的距离相等，求此时点的坐标． 63．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 64．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．点P为直线上一点（不与点A，B重合），连接． (1)三角形的面积为______； (2)若轴，探究和是否相等，说明理由； (3)若，求点的横坐标． ◆题型2 三角形有关线段中的面积计算综合 65．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比． (1)如图1，的边上有一点M，请证明：． (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，，求的面积． (3)【迁移应用】如图3，四边形中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形、四边形、四边形的面积分别为5、6、7，试求四边形的面积． 66．（25-26七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      67．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    68．（25-26七年级下·山东聊城·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点． （1）①如图1， 中， 则的三条高所在的直线交于点 ；②如图2， 中， 已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．(不写画法，保留作图痕迹)． 【综合应用】 （2）如图3，在 中，平分，过点B作边上的高线交于点E． ①若 则 ； ②请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图4，点M是上一点，则有 ．如图5，中，点M是上一点且 点N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） ◆题型3 三角形有关线段的新定义问题 69．（25-26七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则______．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 70．（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 71．（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 72．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 2．（2026·河南周口·三模）如图，在 中，点在上，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，若的面积是，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上任意一点，是的边上的中线，，分别是，的中点，，则的值为（   ） A．4.8 B．6 C．8 D．12 6．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________． 7．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 8．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 9．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是边上的中线，点在线段上且，线段与线段交于点，的面积 为20，则的面积为____________． 10．（2026·安徽马鞍山·三模）已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 12．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 13．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心． 图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想． (2)由（1）中得出的结论，直接写出图3中的比为_______． (3)图4中，G是的重心，点D、E在的边、上，、交于点G，，，，求四边形的面积． (4)已知的中线，中线，则面积的最大值为________． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值． (3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值． (4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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