4.2一元二次不等式及其解法同步练习- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖一元二次不等式解法从单一求解到综合应用的知识路径，强化运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直接求解、解集表示、根与系数关系|以具体不等式（如9x²+6x+1≤0）直接考查概念，强化符号意识与运算能力| |能力提升|含参数不等式、多选辨析、解答题规范|通过多选（如第6题）和解答题（如第10题）考查分类讨论，培养推理能力| |综合拓展|类比迁移、实际应用、新定义问题|结合新定义（如第11题[x]）和类比解法（如第15题），发展创新意识与模型观念|

4.2　一元二次不等式及其解法 1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（　　） A.　 B. C.∅　 D. 2.若0＜m＜1，则不等式（x－m）＜0的解集为（　　） A.　 B. C.　 D. 3.二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，如果a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为（　　） A.{x｜x＞3或x＜－2}　 B.{x｜x＞2或x＜－3} C.{x｜－2＜x＜3}　 D.{x｜－3＜x＜2} 4.若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（　　） 5.（多选）下列四个不等式中，解集为∅的是（　　） A.－x2＋x＋1≤0 B.2x2－3x＋4＜0 C.x2＋3x＋10≤0 D.－x2＋4x－＞0（a＞0） 6.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－＜x＜2}，则下列结论正确的是（　　） A.a＞0　 B.b＞0 C.c＞0　 D.a＋b＋c＞0 7.不等式x2＋3x－4＜0的解集为　　　　　　. 8.若A＝（－2，5），则以A为解集的一个一元二次不等式可以是　　　　　　. 9.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　　　　. 10.解下列不等式： （1）x2＋2x－15＜0； （2）－x2＋3x＋2＜6x－2； （3）x2＋2x＋4＞0； （4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）. 11.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－63[x]＋45＜0成立的x的取值范围是（　　） A.[1，15）　 B.[2，8] C.[2，8）　 D.[2，15） 12.（多选）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　） A.6　 B.7 C.8　 D.9 13.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，则（　　） A.a＞0 B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－4} C.a＋b＋c＞0 D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞} 14.已知函数y＝ax2－（2a＋1）x＋2. （1）当a＝2时，解关于x的不等式y≤0； （2）当a＞0，解关于x的不等式y≤0. 15.对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，得a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}.参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则关于x的不等式＋＜0的解集是（　　） A.{x｜－2＜x＜1或1＜x＜3} B.{x｜－3＜x＜－1或1＜x＜2} C.{x｜－3＜x＜－2或－1＜x＜1} D.{x｜－2＜x＜－1或1＜x＜2} 16.已知函数y＝x2＋bx＋c，且不等式y≤0的解集为[－1，2]. （1）求函数y的解析式； （2）解关于x的不等式my＞2（x－m－1），其中m≥0. 4.2　一元二次不等式及其解法 1.D　原不等式可化为（3x＋1）2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－. 2.D　∵0＜m＜1，∴＞1＞m.∴（x－m）（x－）＜0的解集为. 3.C　由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2＋bx＋c＞0可化为ax2－ax－6a＞0，又a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3，故选C. 4.B　因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，图象开口向下，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B. 5.BCD　对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为∅；对于D，－x2＋4x－＞0（a＞0）对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4×2＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为∅.故选B、C、D. 6.BCD　因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－＜x＜2}，所以相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故B、C正确；由二次函数的图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故D正确. 7.{x｜－4＜x＜1}　解析：易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为{x｜－4＜x＜1}. 8.x2－3x－10＜0（答案不唯一）　解析：设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－2，5）.则－2和5是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0.即不妨设a＝1，解得b＝－3，c＝－10.所以以A为解集的一个一元二次不等式可以是x2－3x－10＜0. 9.{m｜m＜0}　解析：∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m｜m＜0}. 10.解：（1）x2＋2x－15＝（x＋5）（x－3）＜0， 解得－5＜x＜3， 所以原不等式的解集为{x｜－5＜x＜3}. （2）－x2＋3x＋2＜6x－2⇒x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－4， 所以原不等式的解集为{x｜x＜－4或x＞1}. （3）x2＋2x＋4＞0，Δ＝4－4××4＝0， 故x≠－4，所以原不等式的解集为{x｜x≠－4}. （4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）⇒x2＋5x＋9＜0， Δ＝25－36＝－11＜0，无解， 所以原不等式的解集为∅. 11.A　不等式4[x]2－63[x]＋45＜0，即为（4[x]－3）（[x]－15）＜0，解得＜[x]＜15，则[x]∈{1，2，3，…，14}，因此1≤x＜15.故选A. 12.ABC　设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则解得5＜a≤8.又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选A、B、C. 13.ABD　关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，所以a＞0，A项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a＜0，C项错误；不等式bx＋c＞0即－2ax－8a＞0，解得x＜－4，B项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即－8ax2＋2ax＋a＜0，即8x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞，D项正确.故选A、B、D. 14.解：（1）当a＝2时，y＝2x2－5x＋2≤0， 可得（2x－1）（x－2）≤0， ∴≤x≤2，∴解集为. （2）ax2－（2a＋1）x＋2≤0，即a（x－2）≤0. ①当0＜a＜时，有＞2，解得2≤x≤； ②当a＝时，有＝2，解得x＝2； ③当a＞时，有＜2，解得≤x≤2. 综上，当0＜a＜时，不等式的解集为； 当a＝时，不等式的解集为{x｜x＝2}； 当a＞时，不等式的解集为. 15.B　若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则关于x的不等式＋＜0可看成前者不等式中的x用代替得到的，则∈{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则x∈{x｜－3＜x＜－1或1＜x＜2}，故选B. 16.解：（1）因为y≤0的解集为[－1，2]，所以x2＋bx＋c＝0的根为－1，2， 所以 解得 所以y＝x2－x－2. （2）my＞2（x－m－1），即（mx－2）（x－1）＞0， 当m＝0时，不等式为2（x－1）＜0，不等式的解集为（－∞，1）； 当＞1，即0＜m＜2时，不等式的解集为（－∞，1）∪； 当＝1，即m＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）； 当＜1，即 m＞2时，不等式的解集为∪（1，＋∞）. 综上得：当m＝0时，不等式的解集为（－∞，1）， 当0＜m＜2时，不等式的解集为（－∞，1）∪， 当m＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）， 当m＞2时，不等式的解集为∪（1，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $